几何图形的计数趣谈.doc

第五讲 几何图形的计数趣谈一、常用的几个简单几何图形的计数公式1．数线段、三角形、（锐）角的公式数出图 6－1 中各条线段上线段的总条数图 6－1(a)中只有两个点 A、B、只有一条线段图 6－1(b)中有 A、B、C 三个点，这三个点将线段 AC 分割成 AB、BC 两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段 AC，所以图 6－1(b)中有三条线段算式为 2＋1＝3图 6－1(c)中有 A、B、C、D 四个点，这四个点将线段 AD 分割成AB、BC、CD 三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段 AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段 AD，所以图 6－1(c)中共有 6 条线段，算式为 3＋2＋1＝6图 6－1(d)中在有 A、B、C、D、E 五个点，这五个点将线段 AE 分割成AB、BC、CD、DE 四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段 AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段 AE所以图 6－1(d)中共有 10 条线段算式为 4＋3＋2＋1＝10图 6－1(e)中有 A、B、C、D、E、F 六个点，这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF 五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段 AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段 AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段 AF。

所以图 6－1（e）中共有 15 条线段算式为 5＋4＋3＋2＋1＝15将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有 n 个点（包括两个端点），那么这 n 个点将线段分割成 n－1 条小线段，这 n－1 条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有 n－2 条另外，这 n－1 条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有 n－3 条依此类推，可得：任意相邻四条小线段连起来组成的新线段共有 n－4 条任意相邻五条小线段连起来组成的新线段共有 n－5 条　　……任意相邻 n－2 条小线段连起来组成的新线段，共有（n－（n－2）＝）2 条最后相邻的 n－1 条小线段连起来组成 1（＝n－（n－1））条新线段此时，线段的总条数为（n－1）＋（n－2）＋……＋2＋1这样便得到如何数类似图 6－1 中线段总条数的公式：当一条线段上共 n 个点（包括两个端点）时，这条线段上线段总条数为：1＋2＋…＋（n－1） ①即线段总条数为从 1 开始的（n－1）个连续自然数的和把图 6－1 稍加变化，可得图 6－2图 6－2 各图中的三角形有下面两个特点：一是所有三角形有一个共公的顶点，二是所有三角形的底边都在同一条直线上。

图 6－2(a)、(b)、(c)中三角形的个数与底边的个数一样多即图 6－2(a)中三角形的个数有 6 个（6＝1＋2＋3），图 6－2(b)中三角形的个数有 10 个（1＋2＋3＋4＝10）图 6－2(c)中三角形的个数有 15 个（1＋2＋3＋4＋5＝15）这说明公式①还可以用来数类似于图 6－2 中三角形的总个数另外公式①还可以用来数如图 6－3 中锐角的总个数，即从锐角 AOB 的顶点O，在其内部引 n－1 条射线，此时图中锐角的总个数也是：1＋2＋…＋（n－1）＋n2．数长方形的公式先看图 6－4 中有多少个长方形（图中 ABCD 是一个长方形，长方形内每条竖线都平行于 BC，每一条横线都平行于 AB）　　这个问题与数线段有十分密切的关系由公式知道：AB 边上共有（1＋2＋3＋4＋5＝）15 条线段；AD 边上共有（1＋2＋3＝）6 条线段把 AB边上的每一条线段作为长，AD 边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形（包括正方形），所以图 6－4 中长方形的总数为（1＋2＋3＋4＋5）×（1＋2＋3）一般情况下，如果有类似于图 6－4 的任一长方形，一边上有 n＋1 个点，其相邻一边上有 m＋1 个点（m、n 是自然数）；相邻两点间的距离可以相等，也可以不相等。

过这些点分别做对边的平行线，与另一边相交，这些平行线将原长方形分割成许多长方形，此时图中长方形的总数为：（1＋2＋…＋n）×（1＋2＋…m） ②利用公式②还可以计算图 6－5(a)、(b)中平行四边形和梯形的总数3．数正方形的公式分别数出图 6－6 中各图内的所有正方形的个数（图中每个小格都是正方形）为方便起见，我们假定每个小方格的边长为 1 个长度单位　　图 6－6（a）中大正方形边长为 2 个长度单位，其中边长为 1 个长度单位的正方形有（2×2）＝4 个，边长为 2 个长度单位的正方形有 1 个所以，正方形总数为1×1＋2×2＝5（个）图 6－6（b）中大正方形边长为 3 个长度单位，其中边长为 1 个长度单位的正方形有（3×3＝）9 个，边长为 2 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为 3 个长度单位的正方形有 1 个所以，正方形的总数为1×1＋2×2＋3×3＝14（个）图 6－6（c）中大正方形边长为 4 个长度单位，其中边长为 1 个长度单位的正方形有（4×4＝）16 个，边长为 2 个长度单位的正方形有（3×3＝）9 个，边长为 3 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为 4 个长度单位的正方形有 1 个。

所以，正方形的总数为1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30（个）图 6－6（d）中大正方形边长为 5 个长度单位其中边长为 1 个长度单位的正方形有（5×5＝）25 个，边长为 2 个长度单位的正方形有（4×4＝）16 个，边长为 3 个长度单位的正方形有（3×3＝）9 个，边长为 4 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为 5 个长度单位的正方形有 1 个所以，正方形的总数为1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＝55（个）一般而言，如果类似图 6－6 中大正方形边长为 n 个长度单位，那么其中边长为 1 个长度单位的正方形有（n×n＝）n 2个，边长为 2 个长度单位的正方形有（n－1）×（n－1＝）即（n－1） 2个，…，边长为 n－2 个长度单位的正方形有（3×3＝）9 个，边长为 n－1 个长度单位的正方形有（2×2＝）4 个，边长为 n 个长度单位的正方形有 1 个所以，如果类似图 6－6 的大正方形各边上都有 n 个彼此相等的小格，那么图中正方形的总数为1 2＋2 2＋3 2＋…＋n 2 ③二、常用的几个简单图形计数公式的一些应用例 1 图 6－7 中共有多少个三角形？分析与解：将图 6－7 旋转一下，应添上字母得图 6－8。

在图 6－8 中，线段 AB将整个图形分为上、下两部分，利用前面的分式①，马上可求出上、下两部分中三角形的个数都是：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个）　　仔细观察便可发现，除了上面那 56 个三角形外，还有下列三角形，它们是三角形 ACD、ECD、FCD、HCD、ICD、JCD、BCD，共七个这一来，图中三角形的总个数为（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）×2＋7＝63（个）注意：在计数时，千万不要把三角形 ACD 等给遗漏了，这是数图形中一个很重要的问题或原则，简称为“不漏”例 2 图 6－9 中有多少个正方形（图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形）？分析与解：为方便起见，我们可以把图形分为正中间、上下、左右三部分先看正中间部分中间部分是每边有六个相等小格的正方形，按前面提到公式③计算，共有（1 2＋2 2＋3 2＋4 2＋5 2＋6 2＝）91 个正方形再看上下部分因为图形上、下部分是对称的，所以可只看上部分，上部分除了两个小正方形外，还有由四个小正方形拼成的一个较大的正方形，一共有 3 个正方形，上下部分合起来应添（（2＋1）×2＝）6 个正方形最后再看左、右部分，因为图形左右也是对称的，所以可只看左边那部分。

左边那部分除了 6 个小正方形外，还有 4 个由四个小正方形拼成的较大的正方形，2 个由九个小正方形拼成的较大的正方形，1 个由十六个小正方形拼成的较大的正方形左、右部分合起来应再添（（6＋4＋2＋1）×2＝）26 个正方形把上述三部分正方形的个数加起来，就得到了问题的答案图 6－9 中共有正方形91＋6＋26＝123（个）例 3 图 6－10 中有多少个长方形（图中所有横线彼此平行，所有竖线彼此平行，且外面的四边形是个长方形）？分析与解：为方便起见，把图 6－10 各顶点和交点标上字母，得图 6－11把图 6－11 先分成内外两层按前面提到的公式②，长方形 ABCD 与 A1B1C1D1中各有（（1＋2＋3＋4）×（1＋2＋3）＝）60 个长方形再看上面，夹在长方形 ABCD 与 A1B1C1D1之间的长方形GG1H1H、H 1I1IH、GG 1I1I 不包含在上面那些长方形中，另外还有长方形GN1M1H、HM 1L1I、GN 1L1I 也不包含在上面已提到的那些长方形中，同样下面也有长方形 N1NMM1、MM 1L1L、NN 1L1L、NG 1H1M、M 1H1I1L、NG1I 1L 也不包含上面已提到的那些长方形中，所以应在内外两层（60×2＝）120 个长方形外，再添加刚才提到的（6×2＝）12 个长方形。

再看左边，和刚才讨论上面情况一样，应加上长方形 EFF1E1、EFJ 1R1同样右边也应添上长方形 JKK1J1、KE 1F1L所以应在刚才所提及的长方形外，再添加刚才提到的（2×2＝）4 个长方形另外中间的长方形 P1P1、 1R1R1、PRR 1P1，在计算长方形 ABCD 与 A1B1C1D中的个数时，这三个长方形都计算了一次，因此重复了，故在计算总数时，应减去这重复的三个长方形把上面三种情况所得出的长方形个数相加，然后减去重复的那 3 个长方形，便是题目的结果故图 6－10 中长方形的总数为60×2＋6×2＋2×2－3＝133（个）做此题时，有人常常忘记了从总数中减去重复计算过两次的三个长方形，所以在数图形个数时，不但要避免遗漏也要避免重复，这也是数图形中一个很重要的问题或原则，简称“不重”为了避免犯这两个错误，以后在数简单图形个数时，一定要记住“不重不漏”的原则习题六1．图 6－12 的各图中各有多少条线段？2．图 6－13 的各图中各有多少个三角形？3．图 6－14 的各图中各有多少个锐角？4．数一数图 6－15 中有多少个三角形？5．图 6－16 的各图中各有多少个长方形（图（a）和图（b）最外边的四边形都是一个长方形，另外，两图中所有横线段彼此平行，所有竖线段彼此平行）6．图 6－17 的各图中有多少个正方形（图中每个小格四边形是形状、面积都一样的正方形）？7．数一数图 6－18 中有多少个平行四边形（图中最外边的四边形是平行四边形，另外横线段彼此平行，斜线段也彼此平行）？8．数一数图 6－19 中有多少个梯形（图中最外层的四边形是梯形，另外的所有横线段彼此平行，斜线段彼此都不平行）？9．数一数图 6－20 中有多少个长方形（图中最外层的四边形是长方形，另外，所有横线段彼此平行所有竖线段彼此平行）？10．段 AB 上添一点 C，便得到 AB、BC、AB 三条线段；段 AB 上添两点 C 和 D，便可得到AC、CD、DB、AD、CB、AB 六条线段。

问要段 AB 上添几个点，才能得到 36条线段？。