4 几何元素的投影.ppt

第四章第四章 几何元素的投影几何元素的投影投影法及工程上常用的投影图投影法及工程上常用的投影图SAN投射中心投影投射线投影面ana一、投影法的基本知识一、投影法的基本知识BAC二、投影法的种类二、投影法的种类1.1.中心投影中心投影法法 投射中心、物体、投影面三者之间的相对位置对投射中心、物体、投影面三者之间的相对位置对投影的大小有影响投影的大小有影响投射中心投影物体投射线投影面S2.2.平行投影法平行投影法(a)斜投影法(b)正投影法BACabcPBACabc投影大小与物体和投影面之间的距离无关投影大小与物体和投影面之间的距离无关工程图样多数采用正投影法绘制工程图样多数采用正投影法绘制三、工程上常用的投影图三、工程上常用的投影图1.1.多面正投影图多面正投影图2.2.轴测投影图轴测投影图3.3.标高投影图标高投影图(a) 直观图(b) 标高图4.4.透视投影图透视投影图4.14.1 点点的投影的投影AbBB1采用多面投影采用多面投影 过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影 点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置1.1.点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影a一、投影面体系一、投影面体系2.2.三投影面体系的建立三投影面体系的建立VW水平投影面 ---- HXOYZ正面投影面 ---- V侧面投影面 ---- WH与V ---- OXH与W ---- OYV与 W ---- OZa 点A的水平投影二、三投影面体系中点的投影规律二、三投影面体系中点的投影规律 a'点A的正面投影a" 点A的侧面投影 空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。

1.1.三投影面体系中点的投影三投影面体系中点的投影aYaxazaa'a"A2.2.三投影面体系中点的投影规律三投影面体系中点的投影规律（3） aax =a"az （1） a'a⊥X轴 （2） a'a" ⊥Z轴例例1.1.已知点的两个投影，求第三投影已知点的两个投影，求第三投影解法一:通过作通过作4545°线线使使a"az=aax解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a"az=aaxa"a"例例2.2.已知已知A A、、B B、、C C三点的两面投影，求作第三投影三点的两面投影，求作第三投影c'ba"（1）X= a'az = aay =AW 3.3.点的直角坐标与三面投影的关系点的直角坐标与三面投影的关系xyz（2）Y=aax = a"az =AV （3） Z= a'ax =a"a y = AH 例例3.3.已知已知点点A(15,15,20)A(15,15,20)作出点的投影图作出点的投影图 151520aa'a"O4.4.投影面和投影轴上的点投影面和投影轴上的点c'cb'ac'cab'b"a"c"a'a"c"a'bCAb"Bb三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。

判断方法：判断方法：▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上A点在B点之前、之左、之上两点的相对位置两点的相对位置例例4.4.已知点已知点A A在点在点B B之右之右8 8毫米，之前毫米，之前5 5毫米，之上毫米，之上9 9毫米，求点毫米，求点A A的投影a'a"a985四、重影点的投影四、重影点的投影cd'(c')dCDaa'b'AB(b)重影点重影点 空间两点在某一投影面空间两点在某一投影面上的上的投影重合为一点投影重合为一点时，则时，则称此两点为称此两点为该投影面该投影面的重影的重影点A A、、C C为为H H面的重影点面的重影点被挡住的投被挡住的投影加影加( )( )A、C为哪个投影面的重影点呢？( )4.24.2 直线的投影直线的投影三、三、直线上的点直线上的点四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置五、垂直两直线五、垂直两直线( (一边平行于投影面一边平行于投影面) )二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性六、用直角三角形法求一般位置线段实长六、用直角三角形法求一般位置线段实长 及与投影面的夹角及与投影面的夹角一、直线的投影一、直线的投影一、直线的投影一、直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。

二、各种位置直线的投影特性二、各种位置直线的投影特性直线的投影特性平行投影反映线段实长 ab=AB垂直投影重合为一点ab=0 积聚性acos倾斜投影比空间线段短ab=AB 投影面平行线投影面平行线一般位置直线一般位置直线投影面垂直线投影面垂直线直线对于三投影面的位置可分为三类直线对于三投影面的位置可分为三类1.1.一般位置直线一般位置直线a"b"bab'a'投影特性投影特性 （（1 1）） ab、、 a' b' 、、 a"b"均小于实长均小于实长 （（2 2）） ab、、 a' b' 、、 a"b"均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 （（3 3）不）不反映反映αα、、ββ、、γγ角的真实大小角的真实大小α β γAB2.2.投影面平行线投影面平行线a'b'aba"b" AB水平线 正平线 侧平线投影特性投影特性 （（1 1）） a' b'∥∥OX; a"b" ∥∥OYW （（2 2）） ab =AB （（3 3））反映反映ββ 、、γγ角的真实大小角的真实大小βγβγ正平线正平线—只平行于正面投影面的直线。

只平行于正面投影面的直线aba" b" 投影特性投影特性 （（1 1）） ab ∥∥OX; a"b" ∥∥OZ （（2 2）） a' b' =AB （（3 3））反映反映αα、、γγ角的真实大小角的真实大小αγαγa'b'AB侧平线侧平线—只平行于侧面投影面的直线只平行于侧面投影面的直线a"b"a'b'abA Bβααβ投影特性投影特性 （（1 1）） a' b'∥∥OZ; ab ∥∥OYH （（2 2）） a"b" =AB （（3 3））反映反映αα、、ββ角的真实大小角的真实大小aa'a"30°例例1.1.过点过点B B作水平线作水平线ABAB的三面投影的三面投影, ,长长20mm,β20mm,β＝＝30°30°，，A A点从点从点点B B向右向右、、向后向后ABa"b"b'a'a(b)3.3.投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线 正垂线正垂线 侧垂线侧垂线投影特性投影特性 （（1 1）） a b积聚成一点积聚成一点 （（2 2）） a' b'⊥⊥OX; a"b" ⊥⊥OYW （（3 3））a' b' ＝＝a"b" ＝＝ AB正垂线正垂线— — 垂直于正面投影面的直线。

垂直于正面投影面的直线baa'b' a"b"AB投影特性投影特性 （（1 1）） a' b'积聚成一点积聚成一点 （（2 2）） a b ⊥⊥OX; a"b" ⊥⊥OZ （（3 3））a'b'＝＝a"b" ＝＝ AB侧垂线侧垂线— — 垂直于侧面投影面的直线垂直于侧面投影面的直线baa'b'a"b"AB投影特性投影特性 （（1 1）） a"b" 积聚成一点积聚成一点 （（2 2）） ab ⊥⊥OYH; a' b' ⊥⊥OZ （（3 3））ab＝＝ a' b' ＝＝AB判断下列直线对投影面的相对位置判断下列直线对投影面的相对位置a一般位置正平铅垂侧垂侧平三、直线上的点三、直线上的点 若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上　　 若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上AC/CB=ac/cb= a'c'/ c'b'定比定理定比定理cc'C 并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。

即：：例例2.2.已知线段已知线段ABAB的投影图，试将的投影图，试将ABAB分成分成2:12:1两段，求两段，求分点分点C C的投影的投影c c、、c c' cc'例例3.3.判断点判断点K K是否段是否段ABAB上a"b"另一判断法?k"因k"不在a"b"上，故点K不在AB上四四、两直线的相对位置、两直线的相对位置1.1.平行两直线平行两直线 若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行c'd'dcabbcb'a'd'c'空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉Xb'a'abobadck2.2.相交两直线相交两直线 当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，且交点符合空间一点的投影规律反之亦然交点是两直线的共有点b'a'd'c'k'K⒊⒊两直线交叉两直线交叉投影特性：投影特性： 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律 “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置Ⅰ、、Ⅱ是Ｖ面的重影点，是Ｖ面的重影点，Ⅲ、、Ⅳ是是H面的重影点。

面的重影点为什么？两直线相交吗？凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线 3(4 )1'(2')3'4'21交叉两直线的投影及重影点可见性的判断交叉两直线的投影及重影点可见性的判断bab' a'c'd'1'(2')cd21ⅡⅠ121'(2')例例4.4.过过C C点作水平线点作水平线CDCD与与ABAB相交相交d'd先作正面投影先作正面投影kk'例例5.5.判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置c"d"a" b"YWYHZb"a"c"d"平行平行相交相交交叉交叉相交相交交叉交叉例例6.6.过点过点A A作直线作直线ABAB与直线与直线CDCD相交，交点相交，交点距距H H面距面距离离为为20mm20mm20b'bb'bb'bc'd'c'b'例例7.7.作直线作直线ABAB与与直线直线PQPQ平行，与直线平行，与直线EDED、、HGHG相交baa'b'五、五、垂直两直线垂直两直线( (一边平行于投影面一边平行于投影面) )acb若直角有一边平行于投影若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的面，则它在该投影面上的投影仍为直角投影仍为直角设设 直角边直角边BC∥HBC∥H面面因因 BC⊥AB, BC⊥AB, 同时同时BC⊥BbBC⊥Bb所以所以 BC⊥ABbaBC⊥ABba平面平面即即 ∠∠abcabc为直角为直角因此因此 bc⊥abbc⊥ab故故 bc ⊥bc ⊥ABbaABba平面平面又因又因 BC∥bcBC∥bc证明证明：直角投影定理直角投影定理例例8.8.过过C C点作直线与点作直线与ABAB垂直相交。

垂直相交d'd ABAB为正平线为正平线, , 正面正面投影反映直角投影反映直角f'e'例例9.9.作线段作线段ABAB、、CDCD的公垂线的公垂线EFEFef六、用直角三角形法求一般位置线段实长及六、用直角三角形法求一般位置线段实长及 与投影面的夹角与投影面的夹角1.1.求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角αα角角AB|zA-zB||zA-zB |αABab|zA-zB|α|zA-zB|Cα2.2.求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角β角角|yA-yB|AB|yA-yB|Ca'b'ABβββ|yA-yB|例例10.10.已知线段已知线段ABAB的正面投影的正面投影a a'b b'和和A A点的水平投影点的水平投影a a，，且且B B点点在在A A点点的前方，的前方，ABAB长长2525毫米，毫米，求它的水平投影求它的水平投影25b例例11.11.已知线段已知线段ABAB的正面投影的正面投影a a'b b' 和和A A点的水平投影点的水平投影a a，，且且B B点点在在A A点点的前方，的前方，ABAB长长2525毫米，毫米，求它的水平投影。

求它的水平投影bbαβ例例12.12.已知线段已知线段ABAB的投影，试定出属于线段的投影，试定出属于线段ABAB的的点点C C的投影，使的投影，使BCBC的实长等于已知长度的实长等于已知长度L LLABzA-zBabcc'例例13.13.作三角形作三角形ABCABC，，∠∠ABCABC为直角，使为直角，使BCBC在在MNMN上，且上，且BC:AB=2:3BC:AB=2:3b'bcABa'b'|yA-yB|b'c'=BCc'b例例14.14.完成等腰直角三角形完成等腰直角三角形ABCABC的两面投影已知的两面投影已知ACAC为斜边，顶点为斜边，顶点B B在直线在直线NCNC上b'a'ABC直线的投影特性一般位置线段投影、实长、夹角的关系两直线的相对位置的判断方法及投影特性 直线上的点，定比定理直角定理，即两直线垂直时的投影特性重点掌握：重点掌握：小结小结一、各种位置直线的投影特性一、各种位置直线的投影特性⒈ ⒈ 一般位置直线一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜三个投影与各投影轴都倾斜⒉ ⒉ 投影面平行线投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。

另两个投影平行于相及与相应投影面的夹角另两个投影平行于相应的投影轴应的投影轴⒊ ⒊ 投影面垂直线投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点另在其垂直的投影面上的投影积聚为一点另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴二、直线上的点二、直线上的点⒈ ⒈ 点的投影在直线的同名投影上点的投影在直线的同名投影上⒉ ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比成定比————定比定理定比定理三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置⒈ ⒈ 平行平行⒉ ⒉ 相交相交⒊ ⒊ 交叉（异面）交叉（异面） 同名投影互相平行同名投影互相平行 同名投影相交，交点是两直线的共有点，同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律且符合空间一个点的投影规律 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但““交点交点””不符合空不符合空间一个点的投影规律间一个点的投影规律交点交点””是两直线上一是两直线上一对重影点的投影对重影点的投影四、相互垂直的两直线的投影特性四、相互垂直的两直线的投影特性⒈ ⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。

投影面上的投影反映直角⒉ ⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时，两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角在该投影面上的投影反映直角⒊ ⒊ 两直线均为一般位置直线时，两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不在三个投影面上的投影都不 反映直角反映直角直角定理直角定理4.34.3 平面的投影平面的投影一、平面的表示一、平面的表示法法1.用几何元素表示平面不在同一直不在同一直线上的三个线上的三个点点直线及线直线及线外一点外一点两平行直线两平行直线两相交两相交直线直线平面平面图形图形d'dabca'b'c'abca'b'c'2.2.平面的迹线表示法平面的迹线表示法PPVPHPwQH二、各种位置平面的投影特性二、各种位置平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜实形性实形性积聚性积聚性类似性类似性平面的投影特性平面的投影特性 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面垂直面平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类1.1.一般位置平面一般位置平面acba'b'ABCa"b"c"投影特性投影特性 （（1 1）） △ △abc、、 △△a'b'c' 、、 △△a"b"c"均均为为ABCABC的类似的类似形形 （（2 2）） 不不反映反映αα、、ββ、、γγ角的真实大小角的真实大小a"b"c"d"2.投影面垂直面adbca'b'd'投影特性投影特性ABCD铅垂面 正垂面 侧垂面βγ （（1 1））abcd积聚为一条线积聚为一条线 （（2 2）） a'b'c'd' 、、 a"b"c"d"均均为为ABCDABCD的类似形的类似形 （（3 3））abcd与与OX、、OY的夹角的夹角反映反映β 、、γ角的真实大小角的真实大小 正垂面正垂面 abcda"c"d"b"b'c'a'd' αγ ABCD投影特性投影特性 （（1 1）） a'b'c'd' 积聚为一条线积聚为一条线 （（2 2）） abcd 、、 a"b"c"d"均均为为ABCDABCD的类似形的类似形 （（3 3））a'b'c'd'与与OX、、OZ的夹角的夹角反映反映α 、、γ角的真实大小角的真实大小水平面 正平面 侧平面abcdb'c'a'd'3.投影面的平行面a"b"c"d"投影特性投影特性 （（1 1）） a'b'c'd' 、、 a"b"c"d" 积聚为一条线，积聚为一条线，具有积聚性具有积聚性 （（2 2））水平投影水平投影 abcd 反映反映ABCD的的实形实形正平面正平面bcadc'a'b'd'ABCDa"b"c"d"投影特性投影特性（（1 1）） abcd 、、 a"b"c"d" 积聚为一条线，积聚为一条线，具有积聚性具有积聚性（（2 2））正面投影正面投影 a'b'c'd'反映反映ABCD的的实形实形侧平面侧平面adbca'b'c'd'a"d"c"b"投影特性投影特性 （（1 1））abcd 、、 a'b'c'd' ’积聚为一条线，积聚为一条线，具有积聚性具有积聚性 （（2 2）侧面投影）侧面投影 a"b"c"d"反映反映ABCD的的实形实形ABCD三、属于平面的点和直线三、属于平面的点和直线1.1.平面上的直线平面上的直线 EDFd' de' eff' 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。

若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内2.2.平面上的点平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上EDd'de'e例例1 1. .已知平面由两平行直线已知平面由两平行直线ABAB、、CDCD确定，试判断点确定，试判断点M M是是否在该平面内否在该平面内t'sts'例例2 2. .已知已知点点K K在在△△ABCABC上，试求点上，试求点K K的水平投影的水平投影d'dk例例3 3. .已知点已知点E E在在△△ABCABC上，试求点上，试求点E E的正面投影的正面投影 e'例例4.4.已知已知K K点在平面点在平面ABCABC上，求上，求K K点的水平投影点的水平投影k3.3.包含直线作平面包含直线作平面S过一般位置直线过一般位置直线ABAB作作铅垂面铅垂面P PH H过一般位置直线过一般位置直线ABAB作作正正垂面垂面S SV VPPHSV过一般位置直线可作投影面的垂直面过一般位置直线可作投影面的垂直面例例5.5.过点过点A A、、B B分别作正平面、正垂面分别作正平面、正垂面，过，过CDCD作铅平面。

作铅平面2）作正垂面（1）作正平面（3）作铅垂面4.4.属于平面的投影面平行线属于平面的投影面平行线例例6.6.在平面在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到H H面的面的 距离为距离为10mm10mmn'm'nm10 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？例例7 7. .已知已知ACAC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形ABCDABCD的的水平投影水平投影bckk'bc解法一解法一解法二解法二例例8.8.已知点已知点K K在在ABCDABCD平面上，且点平面上，且点K K距离距离H H面面10mm10mm，，距离距离V V面面15mm15mm，，试求点试求点K K的投影1015kghab'c'a'd'dcbg'h'k'要要 点点一、各种位置平面的投影特性一、各种位置平面的投影特性⒈ ⒈ 一般位置平面一般位置平面⒉ ⒉ 投影面垂直面投影面垂直面⒊ ⒊ 投影面平行面投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形三个投影为边数相等的类似多边形————类似性在其垂直的投影面上的投影积聚成直线在其垂直的投影面上的投影积聚成直线——积聚性另外两个投影类似。

另外两个投影类似在其平行的投影面上的投影反映实形在其平行的投影面上的投影反映实形——实形性另外两个投影积聚为直线另外两个投影积聚为直线 二、平面上的点与直线二、平面上的点与直线⒈ ⒈ 平面上的点平面上的点一定位于平面内的某条直线上一定位于平面内的某条直线上⒉ ⒉ 平面上的直线平面上的直线（（1 1）） 过平面上的两个点过平面上的两个点 （（2 2）过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线重点掌握：重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点二、如何在平面上确定直线和点一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性小小 结结一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行•判别已知线、面是否平行；判别已知线、面是否平行；4.44.4 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括相对位置包括平行平行、、相交相交和和垂直垂直有关线、面平行的作图问题有：有关线、面平行的作图问题有：•作直线与已知平面平行；作直线与已知平面平行；•包含已知直线作平面与另一已知平面平行。

包含已知直线作平面与另一已知平面平行 若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面平行平面平行MN1.1.直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行的条件直线与平面平行的条件例例1.1.过过M M点作直线点作直线MNMN平行于平面平行于平面ABCABCn'n例例2.2.判别直线判别直线ABAB是否平行于平面是否平行于平面DEFDEF结论：直线结论：直线ABAB不不平行于定平面平行于定平面kk'例例3.3.过点过点D D作正平线与平面平行作正平线与平面平行m'ee'm 例例4.4.过点过点C C作平面平行于直线作平面平行于直线ABABded'e'例例5.5.补全与已知直线平行的平面补全与已知直线平行的平面m'c'm例例6.6.已知线段已知线段MN=30mmMN=30mm，点，点N N在点在点M M之后，且线段之后，且线段MNMN与与△△ABCABC平行，完成平行，完成MNMN和和ABCABC的两面投影的两面投影30nc'11'P 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。

相交直线，则这两平面相互平行BCAFED2.2.两平面平行两平面平行两平面平行的条件两平面平行的条件m'n'mnr'rss'结论：两平面平行结论：两平面平行例例7.7.试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行gff'g'例例8.8.过交叉两直线过交叉两直线ABAB和和CDCD各作一平面各作一平面, ,使它们互相平行使它们互相平行em'n'mnf'e'fsr's'r例例9.9.已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线ABAB和和CDCD给定给定, ,试过点试过点K K作作一平面平行于已知平面一平面平行于已知平面 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们具有相互平行，则它们具有积聚性积聚性的那组投影必相互相平行的那组投影必相互相平行例例10.10.试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行F 直线与平面相交，其交点是直线与平面的直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点共有点直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交二、相交问题二、相交问题解决的问题是：解决的问题是： •求交点、交线求交点、交线•判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性ABKLKNM平面与平面相交，交线是直线为两平面的平面与平面相交，交线是直线为两平面的共有线共有线由于由于特殊位置特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出接求出k１１. .一般位置直线与一般位置直线与特殊位置特殊位置平面相交平面相交k'2.2.投影面垂直线与投影面垂直线与一般位置平面一般位置平面相交相交fkf'abk'铅垂线与铅垂线与一般位置平面一般位置平面相交相交 示意图示意图 1'( 2')ⅡⅠabd'dee'c'ca'b'k'k判别直线的可见性判别直线的可见性12( )2'1'LK3.3.一般位置平面与一般位置平面与特殊位置特殊位置平面相交平面相交求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, ,由于由于特殊位置特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出k'l'lkkl4.4.一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交R以以辅助平面求线面交点辅助平面求线面交点 示意图示意图BDCMNKbab'a'dced'e'c'4.4.一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交步骤：：1.过AB作铅垂平面R。

2.求R平面与ΔCDE的交线MN3.求交线MN与AB的交点KnmRHm'n'kk'c'e'd'b'a'edcba以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点步骤：1.过AB作正垂平面P2.求P平面与ΔCDE的交线MN3.求交线MN与AB的交点KPVnmm'n'kk'c'e'd'b'a'edcbk'k（ ）直线直线ABAB与与△△CDECDE相交，判别直线可见性相交，判别直线可见性( )2'1'23'4'13 4a直线直线ABAB与平面与平面△△CDECDE相交，判别可见性相交，判别可见性示意图示意图1'(2')ⅠⅡⅢ(3)4Ⅳ例例11.11.求直线求直线ABAB和平面和平面CDEFCDEF的交点，判别直线的可见性的交点，判别直线的可见性n2'1'21n'C例例12.12.过点过点K K作直线与交叉两直线作直线与交叉两直线ABAB和和CDCD相交Pvm'm121'2'nn'N5.5.两一般位置平面相交求交线的方法两一般位置平面相交求交线的方法 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线LKNM三、垂直问题三、垂直问题直线与平面垂直直线与平面垂直两平面垂直两平面垂直1.1.直线与平面垂直的几何条件直线与平面垂直的几何条件LKDC 若一直线垂直于一面则必垂直于属于该平面的若一直线垂直于一面则必垂直于属于该平面的一切直线。

一切直线例例13.13.平面由平面由ABCDABCD给定，试过定点给定，试过定点L L作平面的法线作平面的法线 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影k'k例例14.14.试求定点试求定点A A到平面的距离到平面的距离b'b2.2.两平面垂直的几何条件两平面垂直的几何条件 若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面有平面都垂直于该平面例例15.15.试过点试过点A A作平行于直线作平行于直线CJCJ且垂直且垂直DEFDEF的平面b'k'm'n'bknm例例16.16.已知已知△△EFGEFG平面与平面与△△ABCABC平面垂直，画全平面垂直，画全△△EFGEFG的水平投影的水平投影eg'a'e'fgb'c' f'abc1'1例例17.17.已知已知ABAB、、CDCD为正交两直线，作线段为正交两直线，作线段ABAB的正的正面投影a'b'C例例18.18.作等腰三角形作等腰三角形ABCABC的投影图，已知的投影图，已知ABAB的两个的两个投影，并知底边属于直线投影，并知底边属于直线BMBM。

cMc'本章结束。