折叠问题学案.docx

折叠〔轴对称〉问题学案复习目标：1. 通过对折叠问题的复习,体会折叠问题在解决问题中的应用.2. 能从复杂图形中提炼出折叠〔轴对称〕问题的根本图形,运用其性质,提升解决问题的 水平.二.复习匾点:折叠问题〔对称问题〕是近几年来中考出现频率较高的一类题型,学生往往 由于对折叠的实质理解不够透彻,导致对这类中档问题失分严重.通过对在初中数学中经常 涉及到的几种折叠的典型问题的剖析,从中抽象岀根本图形的根本规律,找到解决这类问题 的常规方法.掌握折叠问题,我们要把握以下方法：1、 折叠问题〔翻折变换〕实质上就是轴对称变换.2、 折叠是一种对称变换,它属于轴对称.对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后 图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.3、 对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠,在画图时,画出折叠前后的图形, 这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系.4、 在矩形〔纸片〕折叠问题中,重合局部一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、 利用折叠所得到的直角和相等的边或角,设要求的线段长为x,然后根据轴对称的性质 用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求解.三' 学习过程：一、矩形中的折叠 例题1. 〔3分〕〔2021?德州〕如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4, BC二8,点E, F分别在 AD, BC±,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有 以下四个结论：① 四边形CFHE是菱形；② EC平分ZDCH；③ 线段BF的取值范围为3WBFW4；④ 当点H与点A重合时,EF=2V5..以上结论中,你认为正确的有〔 〕个.考点：翻折变换〔折叠问题〕分析：先判断出四边形CFHE是平行四边形,再根据翻折的性质可得CF二FH,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证实,判断出①正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得ZBCH=ZECH,然后求出只有ZDCE=30°时EC 平分ZDCH,判断出②错误；点H与点A重合时,设BF=x,表示岀AF二FC二8-x,利用勾股定理列岀方程求解得到 BF的最小值,点G与点D重合时,CF二CD,求岀BF=4,然后写出BF的取值范围,判 断岀③正确；过点F作FM丄AD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判断岀④正确. 解答：解:TFH与CG, EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一局部,/.FH/7CG, EH/7CF,・••四边形CFHE是平行四边形,由翻折的性质得,CF二FH,・••四边形CFHE是菱形,故①正确；・•. ZBCH二ZECH,・•.只有ZDCE=30°时EC平分ZDCH,故②错误；点H与点A重合时,设BF二x,那么AF=FC=8-x,在 RtAABF 中,AB2+BF2=AF2,即牟乂二(8-x) 2,解得x=3,点G与点D重合时,CF二CD二4,••.BF 二 4,・••线段BF的取值范围为3WBFW4,故③正确；过点 F 作 FM 丄 AD 于 M,那么 ME= (8-3) -3=2,由勾股定理得,EF=^2g 2=^^^2 ,故④正确；综上所述,结论正确的有①③④共3个.应选C.点评：此题考查了翻折变换的性质,菱形的判定与性质,勾股定理的应用,难点在于③判断 岀BF最小和最大时的两种情况.例题2. (2021济南,21, 3分)如图1,在矩形纸片朋〃中,AB=8书,"=10,点F是〃的中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点＞4与点F重合,如图2,折 痕为他 连接腑、NE；第二次折叠纸片使点"与点£重合,如图3,点0落在F处, 折痕为胎,连接HE,贝iJtanZ曰俗= .第21题图1第21题图2第21题图3【答案】菲【解析】在图2中,设DM=x,那么 AM=EM=^-x.•••点 F是〃的中点,AB=CD=8© ••・DE=CE=*D=4书.在 Rt厶DEM中,•:DE + DM = EMs :. (4«73)2 + x = (10-x)2.解得 *=• :.DM=, AAf=EM=W- = .过点〃作NFICD于点F 〔如答案图1〕,那么曰3△刖F.••・务鈴・••镭=错误!.解得刖 =错误!错误：・AN=EN=错误!错误!.AN.••tanZ力妇矿错误!=错误!错误!.第21题答案图1第21题答案图2在答案图 2 中,•:MEJEN、HG丄EN. :.ME//HG. :•乙NME=ZNHK・丈：乙 NME= ZAMN、乙 EHG= ZNHK. :•乙 AMN=ZEHG.tan Z EHG= tan Z AMN=针对性练习1.将一张长方形纸片按如图的方式折叠,其中BC, BD为折痕,折叠后BG和BH在同一条直线上,ZCBD二 度.BC、BD 是折痕,所以有 ZABC = ZGBC, ZEBD = ZHBD那么 ZCBD = 90°折叠前后的对应角相等2.如下图,一张矩形纸片沿BC折叠,顶点A落在点"处,再过点A折叠使折痕DE〃 BC,假设 AB=4, AC=3,那么Z\ADE 的面积是 .沿BC折叠,顶点落在点A'处,根据对称的性质得到BC垂直平分AA',即AF = AA* ,又DE〃BC,得到AABC - AADE,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出 三角形ADE的面积=24ECDBA对称轴垂直平分对应点的连线3.如图,矩形纸片ABCD中,AB二4, AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,得折痕DG, 求AG的长.由勾股定理可得BD = 5,由对称的性质得AADG竺△£ DG,由 A' D = AD = 3, AG' = AG,那么 A' B = 5 - 3 =2,在RtAA* BG中根据勾股定理,列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角,再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即 可4.把矩形纸片ABCD沿BE折叠,使得BA边与BC重合,然后再沿着BF折叠,使得折痕BE 也与BC边重合,展开后如下图,那么ZDFB等于〔 〕注意折叠前后角的对应关系B5.如图,沿矩形ABCD的对角线BD折叠,点C落在点E的位置,BC二8cm, AB二6cm,求 折叠后重合局部的面积.重合局部是以折痕为底边的等腰三角形6.将一张矩形纸条ABCD按如下图折叠,假设折叠角ZFEC二64° ,那么Z1二 度；AEFG的形状 三角形.对折前后图形的位置变化,但形状、大小不 变,注意一般情况下要画出对折前后的图 形,便于寻找对折前后图形之间的关系,注 意以折痕为底边的等腰AGEF7. 如图,将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折,展平,得折痕EF 〔如图①〕；延 CG折叠,使点B落在EF上的点V处,〔如图②〕；展平,得折痕GC 〔如图③〕；沿GH折叠, 使点C落在DH上的点L处,〔如图④〕；沿GC'折叠〔如图⑤〕；展平,得折痕GC' , GH 〔如图?⑥〕.〔1〕 求图?②中ZBCB'的大小；〔2〕 图⑥中的△GCL是正三角形吗？请说明理由.理清在每一个折叠过程中的变与不变8. 如图,正方形纸片ABCD的边长为8,将其沿EF折叠,那么图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9. 如图,将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠,使点B落在边AD的中点G处,求四B边形BCFE的面积注意折叠过程中的变与不变,图形的形状和大小不变,对应边与对应角相等10.如图,将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠,使点B落在边AD上 不与A、D重合.MN 为折痕,折叠后B' C'与DN交于P.(1)连接BB',那么BB'与MN的长度相等吗？为什么？⑵设BM=y, AB' =x,求y与x的函数关系式；(3)猜测当B点落在什么位置上时,折叠起来的梯形MNC' B'面积最小？并验证你的猜测.二、纸片中的折叠例题匚如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,那么z a的度数等于( )v z a = Z1, Z2 = Z1••• z a = Z2.\2Z a + ZABE=180° ,即 2Z a+30° =180* ,解得 Za=75° .题考查的是平行线的性质,同位角相等,及对称的性质,折叠的角与其对应角相等,和平角为180度的性质,注意AEAB是以折痕AB为底的等腰三角形 例题2.如图,将一宽为2cm的纸条,沿BC,使ZCAB二45.,那么后重合局部的面积为 作CD丄AB,VCE/7AB, Z1=Z2, 根据翻折不变性,Z1 = ZBCA, 故 Z2=ZBCA.•••AB 二 AC ・D又 TZCABS.,•••在 RtAADC 中,AC = 2也,AB = 2也 Saa b c = 2 AB X CD — 2^2在折叠问题中,一般要注意折叠前后图形之间的联系,将图形补充完整,对于矩形〔纸片〕 折叠,折叠后会形成“平行线+角平分线〞的根本结构,即重叠局部是一个以折痕为底边的 等腰三角形ABC针对性练习1.将宽2cm的长方形纸条成如下图的形状,那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系.在矩形〔纸片〕折叠问题中,会出现“平行线+角平分线〞的根本结构图形,即有以折痕为 底边的等腰三角形APQ2.如图a是长方形纸带,ZDEF二20° ,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,贝lj图 c中的ZCFE的度数是〔 〕图j图c此题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴 对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变.由题意知 ZDEF二ZEFB二20.图 bZGFC二 140° ,图 c 中的 ZCFE二ZGFC-ZEFG3.将一张长为70?cm的长方形纸片ABCD,沿对称轴EF折叠成如图的形状,假设折叠后,AB 与CD间的距离为60cm,那么原纸片的宽AB是〔 〕DBEGC DE60cm4. 一根30cmx宽3cm的长方形纸条,将其根据图示的过程折叠(阴影局部表示纸条的反面), 为了美观,希望折叠完成后纸条两端超岀点P的长度相等,那么最初折叠时,求MA的长① ② ③ ④方P M B三、三角形中的折叠例题1.在AABC中,AB二2a, ZA=30° , CD是AB边的中线,假设将AABC沿CD对折起 来,折叠后两个小AACD与ABCD重叠局部的面积恰好等于折叠前AABC的面积的扌.(1) 当中线CD等于a时,重叠局部的面积等于 ;(2) 有如下结论(不在“CD等于a〞的限制条件下)：①AC边的长可以等于a；②折叠前的AABC的面积可以等于?芈『；③折叠后,以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相 等.其中, 结论正确(把你认为正确结论的代号都填上,假设认为都不正确填“无〞).(1)VCD = AB•••ZACB = 90°TAB = 2a, BC = a, •・・Ssc = ； XACXBC■a 迪2••・重叠局部的面积为：(2)假设AC = a,如右图2 -a适8=2 -a适2X1 - 4BTAD = a, ••• Z2180° - 30° 〞—2—5ZBDC = 180° - 。