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第七章 状态变量分析法 *第七章 状态变量分析法 7.1 连续系统状态方程与输出方程的建立7.2 连续时间系统状态方程的s域分析法7.3 离散系统状态方程与输出方程的建立 7.4 离散系统状态方程的z域分析法 7.5 系统的可控制性与可观测性 *第七章 状态变量分析法 7.1 连续系统状态方程与输出方程的建立 7.1.1由系统的直接形式信号流图建立状态方程￿￿描述单输入单输出n阶连续系统输入f(t)与输出y(t)关系的微分方程为 (7.1-1)￿ *第七章 状态变量分析法 算子方程为 (7.1-2) 对应的n阶连续系统的转移算子函数为 对应的系统函数为￿ (7.1-3) (7.1-4) *第七章 状态变量分析法 图 7.1-1 式(7.1-2)的信号流图表示 *第七章 状态变量分析法 1. 由系统的直接（微分方程）形式信号流图建立状态方程的一般方法￿￿（1）从右向左按顺序在积分器p-1的输出端建立状态变量xi， p-1的输入端为 由于xi顺序相差90°，因此这种状态变量也称其为相位状态变量 ￿（2）列出积分器输入节点 与状态变量xi和输入f(t)的关系， 并用矩阵表示。

￿（3） 列出输出信号y(t)与状态变量xi和输入f(t)的关系，并用矩阵方程表示 *第七章 状态变量分析法 用上述方法对图7.1-1的系统流图，讨论状态方程与输出方程的建立先由n个积分器，如图7.1-1所示，列出n个状态变量x1(t)、x2(t)、…, xn(t)（图中省略了状态变量中的自变量符号(t)）， 然后再列积分器输入节点的方程: (7.1-5) *第七章 状态变量分析法 输出为 (7.1-6)*第七章 状态变量分析法 将式(7.1-5) 、 (7.1-6)分别写成矩阵形式 (7.1-7)*第七章 状态变量分析法 (7.1-8) 或 *第七章 状态变量分析法 式(7.1-7)表示了状态变量x1(t)、x2(t)、…, xn(t)与输入f(t)之间的关系，是图7.1-1 系统的状态方程式(7.1-8)表示了输出y(t)与状态变量x1、x2、, xn之间的关系，是图7.1-1系统的输出方程 式(7.1-7)与式(7.1-8)还可用矢量矩阵表示为 (7.1-9) *第七章 状态变量分析法 式中 (7.1-10)*第七章 状态变量分析法 式(7.1-9)是图7.1-1的状态方程的一般形式，A、B、C、D是状态方程的系数矩阵。

当式(7.1-1)中的输入情况不同时，A与B矩阵相同，而C与D矩阵会有变化，尤其是b0=0，可使C的元素计算大大简化例如 (7.1-11)式(7.1-11)是式(7.1-1)除bn=1之外，其余bk(k=0~n-1)为零的特例，它的A与B矩阵与式(7.1-10)相同，而C与D矩阵分别为C=［1 0 … 0 0］， D=0 (7.1-12)*第七章 状态变量分析法 若式(7.1-1)中分子多项式的次数为m，分母多项式的次数为n，且m1，所以该系统不稳定 *第七章 状态变量分析法 A矩阵是N×N的矩阵，当N较大时，由det［zI-A］求出A(z)， 再求特征值也不容易而利用MATLAB程序可以很方便地由A矩阵求出A(z)的特征根，即系统的极点 已知某系统的A参数矩阵为 ，求系统极点（矩阵的特征值）的MATLAB程序及结果为 *第七章 状态变量分析法 A=［1.25 -0.75 0.125;1 0 0;0 1 0］;% A矩阵￿ eig(A)% A矩阵的特征根￿ ans =￿ 0.5000 + 0.5000i￿0.5000 - 0.5000i￿0.2500 ￿可知系统在单位圆内有一对共轭极点和一个单极点，是稳定系统。

*第七章 状态变量分析法 7.5 系统的可控制性与可观测性 例7.5-1 已知某系统的并联流图及状态变量如图7.5-1所示 试求系统的状态方程与输出方程，并讨论激励f(t)对各状态变量的控制情况，以及由输出观测各状态变量的情况解 系统的状态方程与输出方程为 *第七章 状态变量分析法 将上式分别写成矩阵形式 *第七章 状态变量分析法 四个参数矩阵分别为 *第七章 状态变量分析法 图7.5-1 例7.5-1系统流图 *第七章 状态变量分析法 7.5.1 系统的可控性及其判别法￿￿可控性定义：若给定系统的任意初始状态， 通过输入量（控制矢量）的作用，能在有限时间之内将系统所有状态引向（转移至）状态空间的原点（零状态），则该系统是完全可控的，如果只能使部分状态变量做到，则该系统是不完全可控的 除了当A矩阵是对角矩阵时，可检查B矩阵是否有零元素下面给出更一般的单输入可控阵满秩判别法 ￿设n阶LTI系统的状态方程为 *第七章 状态变量分析法 式中, A是n×n阶矩阵，B是n×1阶矩阵，该系统完全可控的充要条件是可控性判别矩阵M满秩， 即 rankM=n 其中 (7.5-1) (7.5-2) 式(7.5-1)、 (7.5-2)不仅对连续系统适用，对离散系统也适用。

即n阶单输入LTI离散系统的状态方程为w(n+1)=Aw(n)+Bx，则该系统完全可控的充要条件是可控性判别矩阵M满秩，即 rankM=n 其中 *第七章 状态变量分析法 例7.5-2 判断下列给定系统的可控性 (1) (2) *第七章 状态变量分析法 (3) 解 (1) rankM1=2, 系统是完全可控的 *第七章 状态变量分析法 (2) rankM2=1, 系统不是完全可控的 (3) rankM3=2, 系统是完全可控的 *第七章 状态变量分析法 利用MATLAB可方便地计算系统的可控性， 计算本题各系统可控性的MATLAB程序与结果如下 ￿ A1=［0 1;-2 -4］;%例7.5-2(1)的A矩阵￿ B1=［0 1］′; %例7.5-2(1)的B矩阵￿ Co1=ctrb(A1,B1) %例7.5-2(1)的可控性￿ A2=［2 2;0 -2］; %例7.5-2(2)的A矩阵￿ B2=［1 0］′; %例7.5-2(2)的B矩阵￿ Co2=ctrb(A2,B2) %例7.5-2(2)的可控性￿ A3=［0 1;-1 0］; %例7.5-2(3)的A矩阵￿ B3=［1 2］′; %例7.5-2(3)的B矩阵￿ Co3=ctrb(A3,B3) %例7.5-2(3)的可控性 *第七章 状态变量分析法 答案￿ Co1 =￿ 0 1￿1 -4￿ Co2 =￿1 2￿0 0￿ Co3 =￿1 2￿2 -1 *第七章 状态变量分析法 7.5.2 系统的可观性及其判别法￿￿可观性定义：若给定系统的控制后，能在有限时间之内由系统输出惟一确定系统的所有初始状态，则该系统是完全可观的，如果只能确定部分初始状态， 则该系统是不完全可观的。

除了当A矩阵是对角矩阵时，可检查C矩阵是否有零元素下面给出单输入单输出系统更一般的可观性满秩判别法设n阶LTI系统的输出方程为￿ *第七章 状态变量分析法 该系统是完全可观的充要条件是可观性判别矩阵N满秩， 即￿ rankN=n 其中 N=C CA…CAn-1(7.5-3) (7.5-4a) 或 N=(C|CA|CA2| ….|CAn-1)T *第七章 状态变量分析法 例7.5-3 判断下列给定系统的可观性 *第七章 状态变量分析法 解 (1) rankN=2，系统是完全可观的 *第七章 状态变量分析法 (2) rankN=1，系统是不完全可观的 rankN=2，系统是完全可观的 *第七章 状态变量分析法 利用MATLAB可方便地计算系统的可观性，计算本题各系统可观性的MATLAB程序与结果如下:￿ ￿ A1=［0 1;-2 -4］;￿ C1=［0 1］;￿ Ob1= obsv (A1,C1)￿ A2=［2 2;0 -2］;￿ C2=［0 1］;￿ Ob2= obsv (A2,C2)￿ A3=［0 1;-1 0］;￿ C3=［0 1］;￿ Ob3= obsv (A3,C3) *第七章 状态变量分析法 答案￿￿ Ob1 =￿ 0 1￿-2 -4￿ Ob2 =￿0 1￿0 -2￿ Ob3 =￿0 1￿-1 0 *第七章 状态变量分析法 7.5.3 系统函数与系统的可控、 可观性￿系统传递函数H(s)是系统分析中的重要概念，在单输入单输出情况下它与状态参数矩阵的关系为￿￿H(s)=C(sI-A)-1B+d要讨论系统的可控、可观性，由前分析可知最直观的是A参数矩阵为对角阵，此时B阵的零元素对应不可控的状态变量， C阵的零元素对应不可观的状态变量。

但一般所给定的A参数矩阵未必是对角阵，所以这时有规范化的问题由7.1节知道相同的传递函数，由于所设置的状态变量不同，其参数矩阵也就不同因此一个系统可有若干不同的状态方程和输出方程，或者 说系统传递函数H(s)性变换下保持不变， 即 *第七章 状态变量分析法 (7.5-5) 例7.5-4 已知某系统的状态方程和输出方程为 y(t)=x1-x2+x3 *第七章 状态变量分析法 （1） 讨论系统的可控、可观性；（2） 求该系统的系统传递函数；( 3） 讨论不可控与不可观的状态变量情况 ￿解（1） 将上式分别写成矩阵形式 *第七章 状态变量分析法 *第七章 状态变量分析法 代入式(7.5-2)， 得 M的第二行与第三行相同，rankM=2≠3，所以系统是不完全可控的 *第七章 状态变量分析法 *第七章 状态变量分析法 代入式(7.5-4)， 得￿ N的第二列乘以-1后与第三列相同，rankN=2≠3，所以系统是不完全可观的计算本题系统可控性与可观性的MATLAB程序与结果如下 ￿a=［-1 0 0;1 -4 0;1 -1 -3］;￿ b=［1 0 0］′;￿ c=［1 -1 1］;￿ co=ctrb(a,b)￿ ob=obsv(a,c) *第七章 状态变量分析法 答案￿ co =￿ 1 -1 1￿0 1 -5￿0 1 -5￿ ob =￿1 -1 1￿-1 3 -3￿1 -9 9￿ *第七章 状态变量分析法 （2） 该系统的系统传递函数 *第七章 状态变量分析法 *第七章 状态变量分析法 *第七章 状态变量分析法 本题由参数方程计算系统函数的MATLAB程序与结果如下。

￿￿ A=［-1 0 0;1 -4 0;1 -1 -3］; B =［1 0 0］′;￿C=［1 -1 1］;￿D=0;￿［num,den］=ss2tf(A,B,C,D) *第七章 状态变量分析法 答案￿num =￿ 0 1.0000 7.0000 12.0000￿den =￿ 1 8 19 12 *第七章 状态变量分析法 （3） 要讨论系统的不可控与不可观的状态变量情况，须先将原状态方程矩阵变换为规范化矩阵即对角矩阵由特征矢量求出其对角化的变换矩阵为 设新的状态变量为w，则系统的对角化方程为 *第七章 状态变量分析法 *第七章 状态变量分析法 图 7.5-2 例7.5-4系统流图 *第七章 状态变量分析法 对角化后的系统函数为 *第七章 状态变量分析法 *第七章 状态变量分析法 通过以上分析可见，当系统具有不可控、不可观的状态变量时，则系统传递函数的零、极点会有相互抵消现象，这表明仅用系统传递函数描述一个系统有时并不全面 *第七章 状态变量分析法 本题系统。