数学分析6-5教材.ppt

6.5 函数的极值及其求法,由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论.,一、函数极值的定义,,,,,,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,,,,,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,,,注,①这个结论又称为Fermat定理,②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号,③不可导点也可能是极值点,可疑极值点：驻点、不可导点,可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步 判明由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决定理2(第一充分条件),,,,,,,,,,(是极值点情形),,,,,,,求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,,,图形如下,定理3(第二充分条件),证,例2,解,图形如下,注意:,例3,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,,例4,证,（不易判明符号）,而且是一个最大值点，,例5,设f ( x )连续，且f ( a )是f ( x )的极值，问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值,证,分两种情况讨论,①,所以 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的极小值,②设f ( a ) 是f ( x )的极小值，且,又f ( x )在 x = a 处连续，且,f 2( a )是 f 2( x )的极大值,同理可讨论f ( a ) 是f ( x )的极大值的情况,例6,证,由Taylor公式，得,因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内,下面来考察两种情形,①n为奇数，当x 渐增地经过x0时,变号,不变号,变号,不是极值,②n为偶数，当x 渐增地经过x0时,不变号,不变号,不变号,是极值,是极小值,是极大值,,,,例4,解,,,,例5,解,函数最大值和最小值的一般求法：,(一) y=f(x) x∈[a,b],(1)求出f(x)的导数f'(x)；,令f'(x)=0，求出驻点；,(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；,(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的 最大值，最小的就是最小值.,三.函数的最值,例题与练习,解：,(1).f(x)的定义域为(-∞，1 ] ，[-8，1] (-∞，+1],(2).,(3).令f‘(x)=0，解之得驻点为,(5).比较大小得，在[-8，1]上的最大值为 ，最小值为-5.,(4).,练习：求函数y=x2-4x+6在闭区间[-3，10]上的最大值 和最小值,例9.求函数f(x)=x2-2x+6的最值.,(1).f(x)的定义域为(-∞，+∞).,解：,(2).f’(x)=2x-2=2(x-1),(3).令f’(x)=0，解之得驻点为x=1.,当x∈(-∞，1)时，f’(x)0,单调递减.,当x∈(1，+∞)时，f’(x)0,单调递增.,,(二)若函数在一个开区间或无穷区间 (-∞，+∞)内可导， 且有唯一的极值点 .,例10.在半径为R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三边 为圆的弦，问应怎样设计，才能使梯形的面积最大？,解：,(三)：解决实际问题中的最大值问题的步骤：,(1).根据题意建立函数关系式.,(2).确定函数的定义域,(3).求函数f(x)在给定区域上的最大值或最小值.,练习3.求半径为R的半圆的内接矩形的最大面积.,例4.生产某种商品x个单位的利润是P(x)=5000+x-0.00001x2(元) 问生产多少个单位时获得的利润最大？,解：,(1)函数关系式为P(x)=5000+x-0.00001x2 (x0).,(2)P’(x)=1-0.00002x,(3)令P’(x)=0得驻点x=5×104,∵x=5×104是唯一驻点，又利润最大值存在.,练习：,∴当生产5×104个单位时获得的利润最大.,1）求出函数的定义域；,2）求出函数f(x)的导数f'(x)；,3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的 全部驻点。

4）列表考察f’(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点， 并由极值点求出函数的极值求函数极值的步骤：,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),小结与作业,最值问题的两种类型：,(1)求出给定解析式的导数f'(x)；,令f'(x)=0，求出驻点；,(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；,(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的 最大值，最小的就是最大值.,1.已知函数解析式及闭区间求最值.,2.实际问题求最值.,(1)根据题意建立函数关系式y=f(x)；,(2)根据实际问题确定函数的定义域；,(3)求出函数y=f(x)的导数，令f‘(x)=0，求出驻点； 若定义域为开区间且驻点只存一个，则由题意判定函数 存在最大或最小值，则该驻点所对应函数值就是所求.,作业：,P146 : 1,2,3,4,5.,思考题,下命题正确吗？,思考题解答,不正确．,例,在–1和1之间振荡,故命题不成立．,,。