新高考二轮复习真题导数讲义第10讲 双变量不等式：中点型（解析版）.pdf

第10讲 双变量不等式:中点型参考答案与试题解析一.解 答 题（共 19小题）1.(2021 呼和浩特二模)已知函数/(x)=?X-QX2 +(2-d).讨论)(x)的单调性；设 0,证明：当OVXC，时，f(+x)f(-x)；a a a函数y=(x)的图象与X轴相交于A、B 两 点,线段AB中点的横坐标为,证明(/)0 时，则由/(x)=0,得 X=a当 X(O,3 时，,(x)0,当 X ed，+8)时，,(x)O恒成立，.(x)在W)单调递增；设函数 g(x)=f(-F X)(-X)，a a则 g(x)=ln-+x)-(+x)2+(2-a)(+x)-ln(X)-a(-x)2+(2-)(-x)=l n(0 x)-Z/?(l-ax)-2ax,a a a a a a,a a 2a3x2g(X)=I-:-2a=-_,1 +0 -ax -a x当 XW(0 2)时，g(x)O,而 g(0)=0,a.g(x)g(O)=O,故当 0 x f(-x);a a a由可得，当q,0 时，函数y=(x)的图象与X轴至多有一个交点，故”0,从而/(x)的最大值为了(!),且 d)0,a a不妨设 A(X,O),B(X2,O),O xl ,则 OVX /(1)=(2)=0,又/a)在d，+)上单调递减，a-x 1,a 2 a由知，f()0.2.(2021 秋山西期末)已知函数/(x)=2x+(l-2a)nx+g .X(1)讨论/(x)的单调性；(2)如果方程/(x)=m 有两个不相等的解不，x2,且与0.【解答】解：(1)/(X)=2+-3 =2+(1 -2 卜一a =(X-)(2 +1)-),X X X X当,O时，x (0,+),(x)0,f(x)单调递增；当 0 时，xe(O,),(X)0,/(x)单调递增，综上，当4,0 时，f(x)在(0,+)单调递增；当 0 时，f(x)在(OM)单调递减，在(a,E)单调递增.(2)由(1)知，当,O时，/(x)在(O,+)单调递增，/(x)=加 至多一个根，不符合题意;当 0 时，/(X)在(OM)单调递减，在 3,”)单调递增，则r (a)=0.不妨设Oxl a 0，即证 七 包 ”,即证2+1 2,即证%2 -.因为/(x)在(a,+oo)单调递增,即证f(x2)f(2 a-xl),因为/(X2)=Ffx1),所以即证)(XI)(2 4 r ),即证 f(+x)(-X),令 g(x)=f(a +x)-/(-X)=2(+x)+(1-2d)lna+x)-2(-X)+(1-2a)ln(a-x)4 a-x a-X=4+(1-2a)ln(a+x)-(l-2a)ln(a-X)+-.a+x a-x，1 -2。

1-2a ag(X)=4 -r-7a+x a-x (a+x)(a-x)24(l 2)2(x*)4x2(x cr c)=4+-=-;-.cr-x2(+X)2(a-x)2(Q+x)2(a-x)2当 x (O,),时，(x)0,g()单调递减,Xg(O)=(+O)-/(a-0)=0,所以x (O,),时，g(x)g(0)=O,BPf(a +x)f(2 a-x)f又玉(0,q),所以/(石)/(2 4-内)，所以/(；/)0.3.(2021 沙坪坝区校级开学)已知函数/Cr)=/一 2以+2加 Ma0).(1)讨论函数/(幻的单调性；(2)设 g(x)=n%-bX-CX2 ,若函数/(X)的两个极值点为 ,工 2*1 0)的定义域为(O,+),又f(x)=2x-2q+2=2 A-x +l(O,xO),X X对于方程 一 or+1=O ,=a2-4(a 0),若=-4,0,即0 O ,即 2时，令/(X)=O,x=-,或x=,当 X(0,”-J j-4)和,卅)时，/,(X)0,当 x(”一 亨，4 +时,f(x)O,所以f(x)在(0,伫 孚 三 2)和(空 4 E a,+8)上单调递增，在,生 立 二)上单调递减.2 2综上所述，当0 2 时，f(x)的单调递增区间为(0,一 Y -4)和(+Jj-4 ,十口)，单调递减区间为港二冬三&,2-4-)；(2)由(1)可知，当 2 时，Xl+x2=,xlx2=l(x1 0),X故 g(*M?)=-b-c(x+x2),2 xl+x2由 g(Xl)=g(W)=d可“得口 (lnx.1-hx.-cxi2=01,2Inx2-bx2-cx2=0两式相减，可得勿生=力(为一/)+C(Xl2 一后),%C C 2(-)所以 y=(%_%)g(土土上)=型1二 义 _b(xt-X2)-C(XI2 _ 考)=2 U|A-2)-/n =-出土,2 X1+玉+五+1 令 =re(0,l),所以y=止12_/皿，1 +1则 土l 2,故实数0的取值范围 是 哼 e4.(2021秋 巴 南 区 校 级 月 考)已 知 函 数f(x)=/加-x(为 常 数).(1)当 l时，求 函 数,f(x)的单调区间;(2)当”.逑 时，设 函 数g(x)=2f(x)+d的两个极 值 点%，x,0),X Xa,山1一依0,解得x ,即当Ox0,f(x)单调递增，a a由I-G v ,解得x L 即当x L 时，,(x)O ,2二.芭+=,x1x2=1,_ InXl-Inx2t=，七一工2.y=(x-x,)(-/-m-2)+2X+/xl-X2 3=2(再一)_ 勿五+2x1+x2 X2 3i-1=2 A+2,3五+1令机=3L(O 加 V1),由韦达定理，得(N+看了+2%2+工2?=/，中2L=+l+2=2m32Cl.：-2,+J-,m 2.,.为,或加.2,.0 nt,2 2令 hf(zn i).=2.-R-i-I-In.m+-2 ,.,.h,(,m/)、=-(-/-I-)-?7 O，tn+3 m(m+l).(在 0 皿+比.2 2 8【解答】解：(1)f,(x)=x+-+f f(%0),X若/(%)存在两个极值点，则 r(x)=0 在(o,go)上有两个根，所以机=-(x+3 有两个根，X即 y=机与y=_(X+),(x0)有两个交点，所以在(0,1)上，y 0,y 单调递增，在(l,w)上，y O,2 2令 t=故/1,原不等式等价于/mv r-l 对 f l成立，2令 g(t)=lm-Q-1),g,(f)=Y 1,令 f,(x)=O xl=a-a2-1,x2=a+a2-1,当 x (0,-V 2-l)O(a +V2-1 +oo)时，,(x)0,故当出 1时，/(x)单调递减区间为O y 0),无单调递增区间，当 l时，/(x)单调递减区间为(O M-Ja2 _1),(tz+2-i,+o0),单调递增区间为(-1 X-i,tz+tz2-l).(2)由(1)知：l且M+2=2Q,xlx2=1 _ 1又 g(x)=b-2 c x,Xf.xl+x2.2.、,g(C)=-b-c(xl+x j,2 x1 x2由 g()=gQ)=O得：In=b(x-x2)+c(xl2-%2)，.y=-x2)g,(-x-)=b(x-W)-c(52一考)2 x1+x22(五一 1)=2(斗一)_ 打五二-仇立,W L+1%2X2令土=f (0,1),y=-Int,X2 1 +1y =f l,.实数”的取值范围是 王,+).7.(2021 湖北模拟)已知函数f(x)=ex+ax+b,曲线y=f(x)在点(1,/(D)处的切线方程为e x-y-2 =0.(1)求函数f(x)的解析式，并证明：/(x).x-l.(2)已知g(x)=丘-2,且函数f(x)与函数g(x)的图象交于A(x,yt),B(x2,必)两点，且线段他的中点为P(X0,%),证明：/(%)g(1)y0.【解答】解：(1)LIJ题意得：f()=e+a+h =e-2t即 +Z?=-2，又 f x)=a+ex,G P f (l)=e+a=e,贝!=0,解得：6=-2,则/(X)=-2.令 h(x)=f(x)-x+=ex-x-,(X)=e*-1,令 f(x)=O ,解得：=o,则函数(X)在(o,0)上单调递减，在(0收)上单调递增，(x).A(O)=O,则 f(x).x-l.(2)要 证 f(j)g(1 )x+px2即证：e 2 .,即证：2然红*七产+*e 2 -0,即证：彳 v-,L -1 L.L要证/t,t令 F)=*-o,2.尸在(0,+)上为增函数,.F(t)F(O)=0,B P e2-成立;t要证三二 v ,只需证：s l l,t 2 e,+l 2令 GQ)=汜V ,则e,+1 2小小 2d 1 4 -(+l)2 一侬-I)?八G (7)=-:-=-;-=；-(d+l)2 2 2(d+l 2(d+I)?.G(t)在(0,-o)上为减函数，.G(r)G(O)=0,即H成立.t 2L _1 4-1e2-0 成立.,./(0)g(I)0).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当 机.当 时，若函数/(X)的导函数/(X)的图象与X轴交于A,8两点,其横坐标分别为,2(,2),C?线段AB的中点的横坐标为x(),且$,W恰为函数(X)=仇 C X-b x的零点.求证(3-X2)”(X O)+方2.【解答】解：(1)由于/(x)=2nx-2g+f的定义域为(0,切)，/(幻=空 二 竺 主2.X对于方程X2-加+1 =0,其判别式4 =病-4.当疗-4,0,即0 0,即机 2,方程 的+1 =0恰有两个不相等是实根X=毋-4 ,2令 f(x)0,得 0 X +JT _ g,此时/(x)单调递增；令 x)0,得m +,此时/(X)单调递减.综上所述，当02时，/()在(竺 道 三,竺 出 三)内单调递减，2 2在 二 匠 三)，(Q五 三,包)内单调递增，2 2(2)证明：由(1)知，f)=2x m x +v),X所以,(x)的两根药 ,X2即为方程f S +1 =O的两根.O P y因为加、一，所以a =-4 0,+2=机，x1x2=1 .又因为M,x2)h(x)=Inx-ex2-bx 的零点，所以/g -C X；bXi=O ,IlVC1-C1-bx2=O ,两式相减得加工-C(Xl-/乂玉+尤2)-伏凡一%2)=，得。

c(x1 x2).而 h,(x)=-2cx-b,X-X2 x所以(为-X,)a(x0)=(xl-2)(-2cxn-b)/n -l2X=(X l-S)-C(Xl+X,)-12-+C(Xl+X,)=X1+x2 X1-X2X2生12_小%=%上A.X1+X2 x2 A +J 9令 上=(0 ,因为机.当，故f+L 2,解得0,，或 t.2,所以o t,L2 t 2 2 2G()=2-r ,所以 G(f)=-T),0，r l r(r+1)上是减函数,所以 G(%,=G(/=q+2,即y=(l-)()的最小值为一 +22.2所以(Xl-x2),(0).-+Inl.9.(2021 秋重庆月考)已知函数f(x)=2%-Or+(2-a)x；(1)讨论f(x)的单调性;(2)已知O xO)时，不等式f(x)d-x)恒成立；若函数y=/(x)的图象与X轴交于A(X，O),B(X2,0)两点，线段AB中点的横坐标为X 0,求证：,()O ,所以/(x)在(0,go)单调增加，若 0,则由/(x)=0 得 X=-,且当 XW(O-)时，r(x)O,当 x ,时，,(x)0,且占，X,中一个大丁，一个小于工，a a ai0 x1 L,则2 11,a a a a因为x(O,L),d +x)F(L-X)恒成立，a a a所以/(+不)/(),即/P )/(X)，a a a一 2又/(玉)=/(为)=。

所以/(-%)2)，a因为2-%L,工 2 1，又/(X)在(L+00)单调递减，可知Z-AI 即菁+A2 2，a a a a a aX 步=/,则,(xo)O.2a故 ro ),().【解答】解：(1)函数 F(X)=/(x)+g(x)=2nr+，X所以b(尤)的定义域为(0,-10),且 F,(x)=2 _ 彳=2 O m,.(1 分)X X x当4,0时。