含绝对值一次方程的解法.doc

精选优质文档-----倾情为你奉上含绝对值一次方程及方程组的解法一、绝对值的代数和几何意义绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零 用字母表示为 绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离因此任何数的绝对值是非负 数根据绝对值的意义，我们可以得到： 当 > 0时 x =± | x | = 当 = 0时 x = 0 当 < 0时 方程无解.二、含绝对值的一次方程的解法 （1）形如型的绝对值方程的解法： ①当时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解； ②当时，原方程变为，即，解得； ③当时，原方程变为或，解得或． （2）形如型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程和； ③分别解方程和； ④将求得的解代入检验，舍去不合条件的解． （3）形如型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程或； ②分别解方程和． （4）形如型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的几何意义可知； ②当时，此时方程无解；当时，此时方程的解为；当时，分两 种情况：①当时，原方程的解为；②当时，原方程的解为． （5）形如型的绝对值方程的解法： ①找绝对值零点：令，得，令得； ②零点分段讨论：不妨设，将数轴分为三个区段，即①；②；③； ③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解． （6）形如型的绝对值方程的解法： 解法一：由内而外去绝对值符号： 按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解． 解法二：由外而内去绝对值符号： ①根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程和 ； ③解②中的两个绝对值方程．三、热身练习：1、 求下列方程的解：（1）| x | = 7； （2）5 | x | = 10； （3）| x | = 0； （4）| x | = – 3； （5）| 3x | = 9［例1］解方程 (1) (2) 解：| 1 – 2x | + 3 – 4 = 0 解：| 2x – 1 | = 3 + x ［x ≥ - 3］ | 1 – 2x | = 1 2x – 1 = 3 + x 或 2x – 1 = - (3 + x) 1 – 2x = 1或 1 – 2x = - 1 x 1 = 4 或 x 2 = x 1 = 0 或 x 2 = 1 ★当方程中只含有一个绝对值时，可将绝对值看作一个整体来求解，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号，最终达到解方程的目的。

解含绝对值方程的总原则是设法去掉绝对值符号，化为一般方程由绝对值的定义：可知，本题解法中，是先设法确定未知数的取值范围，从而得到绝对值中部分的正、负取值，最终达到去绝对值符号的目的小试牛刀】1、| x – 2 | - 2 = 0 2、 3、4 – 2 | 5 – x | = 3x〖 x 1 = 4，x 2 = 0 〗 〖 x 1 =，x 2 = 〗 〖 x 1 = - 6，x 2 =(舍) 〗［例2］解方程 | x - | 2x + 1 | | = 3解：x - | 2x + 1 | = 3 或 x - | 2x + 1 | = - 3 | 2x + 1 | = x – 3 ［x ≥ 3］ 或 | 2x + 1 | = x + 3 ［x ≥ - 3］ 2x + 1 = x – 3 或 2x + 1 = - (x – 1) 或 2x + 1 = x + 3 或 2x + 1 = - (x + 3) x 1 = - 4 (舍) x 2 = (舍) x 3 = 2 x 4 = ∴ 原方程的解为 x 1 = 2 ，x 2 = 【小试牛刀】1、2 + | 3 - | x + 4 | | = 2x〖 x 1 =(舍)，x 2 = 9 (舍)，x 3 = 3，x 4 =(舍) 〗2、| | | x – 1 | - 1 | - 1 | - 1 = 0〖 x 1 = 4，x 2 = - 2，x 3 = 2，x 4 = 0 〗［例3］解方程| 3x – 2 | + | x + 1 | = 10解：令3x – 2 = 0，x =；令x + 1 = 0，x = - 1① 当x ＜ - 1时， ②当 – 1≤ x ＜时 ③当x ≥时 - (3x – 2) – (x + 1) = 10 - (3x – 2) + x + 1 = 10 3x – 2 + x + 1 = 10 - 3x + 2 – x – 1 = 10 - 3x + 2 + x + 1 = 10 3x + x = 10 + 2 – 1 - 3x – x = 10 – 2 + 1 - 3x + x = 10 – 2 – 1 4x = 11 - 4x = 9 - 2x = 7 ∴ x = ∴ x = ∴ x = (舍) ∴原方程的解为x 1 =，x 2 = ★由于零是正、负的分界点，因此解题中所用的分类方法常被称为“零点”法。

在解题时应注意分段后各自求得的解是否在相应的取值范围内，从而确定它是否是原方程真正的解小试牛刀】1、| x – 4 | - | x + 3 | = 2 〖 x = 〗2、15 + | 2x + 3 | - 2 | 2 – 3x | = 0 〖 x 1 = - 2，x 2 = 〗3、| x – 2 | - 3 | x + 1| = 2x – 9 〖 x = 〗［思考］1、已知ab < 0，且| a | = 2，| b | = 7，求 a + b的值解：∵| a | = 2，∴a = ±2， ∵| b | = 7，∴b = ±7 又 ∵ab < 0， ∴a、b异号 ∴a + b = 答：a + b = - 5 或 a + b = 52、已知 | 3x – 2 | + | 2y + 3 | = 0，求 | x + y + 1 |的值解：∵ | 3x – 2 | + | 2y + 3 | = 0∴ ∴∴| x + y + 1 | = | | = = 3、已知 abc > 0，求的值解：∵abc > 0 ∴a、b、c为三正或二负一正 ① 当a > 0，b > 0，c > 0时 原式 = = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7 ② 不访设 a < 0，b < 0，c > 0 原式 = = - 1 – 1 + 1 + 1 – 1 – 1 + 1 = - 14、已知：| a | = a + 1，| x | = 2ax，求 | x – 1 | - | x + 1 | + 2的最小值与最大值解：∵ | a | = a + 1∴ a = a + 1 或 a = - (a + 1)∴ x = 1 (无解) 或 a = 又 ∵ | x | = 2ax ∴ | x | = - x，∴x ≤ 0令 x – 1 = 0，x = 1，令 x + 1 = 0，x = - 1① 当 x ≤ - 1时| x – 1 | - | x + 1 | + 2 = - (x – 1) + (x + 1) + 2 = - x + 1 + 4 + 1 + 2 = 4② 当 – 1＜ x ≤ 0时| x – 1 | - | x + 1 | + 2 = - (x – 1) – (x + 1) + 2 = - x + 1 – x – 1 + 2 = -2x + 2 = 答：| x – 1 | - | x + 1 | + 2的最大值为4，最小值为2［例4］解方程组家庭作业：三、练习题1.解方程2.方程的解为 ．3.解方程4.解方程5.为有理数，，求的值．6.解方程7.解方程：8.解方程：专心---专注---专业。