高考第一轮复习数学：函数（附答案）.docx

高考第一轮复习数学：函数（附答案）一、选择题（每小题5分，共60分）1.函数y=x2+bx+c（x∈［0，+∞））是单调函数的充要条件是 A.b≥0 B.b≤0 C.b＞0 D.b＜0解析：y=x2+bx+c的对称轴为x=－，∴－≤0.∴b≥0.答案：A2.设函数f（x）= 则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］解析：当x＜1时，f（x）≥1（x+1）2≥1x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.当x≥1时，f（x）≥14－≥1≤31≤x≤10.综上，知x≤－2或0≤x≤10.答案：A3.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－）的值为A.0 B. C.T D.－解法一：由f（）=f（－+T）=f（－）=－f（），知f（）=0.解法二：取特殊函数f（x）=sinx.答案：A4.若函数y=f（x）的图象与函数y=lg（x+1）的图象关于直线x－y=0对称，则f（x）等于A.10x－1 B.1－10xC.1－10－x D.10－x－1解析：∵y=f（x）与y=lg（x+1）关于x－y=0对称，∴y=f（x）与y=lg（x+1）互为反函数.∴由y=lg（x+1），得x=10y－1.∴所求y=f（x）=10x－1.答案：A5.函数f（x）是一个偶函数，g（x）是一个奇函数，且f（x）+g（x）=，则f（x）等于A. B. C. D.解析：由题知f（x）+g（x）=， ①以－x代x，①式得f（－x）+g（－x）=，即f（x）－g（x）=， ②①+②得f（x）=.答案：A6.设k＞1，f（x）=k（x－1）（x∈R），在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f－1（x）的图象与y轴交于B点，且这两个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3，则k等于A.3 B. C. D.解析：用k表示出四边形OAPB的面积.答案：B7.F（x）=（1+）·f（x）（x≠0）是偶函数，且f（x）不恒等于零，则f（x） A.是奇函数 B.是偶函数C.既是奇函数，又是偶函数 D.是非奇非偶函数解析：g（x）=1+是奇函数，∴f（x）是奇函数.答案：A8.当a≠0时，函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是答案：C9.设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+ f（2），则f（5）等于A.0 B.1 C. D.5解析：∵f（x+2）=f（x）+f（2）且f（x）为奇函数，f（1）=，∴f（1）=f（－1+2）=f（－1）+f（2）=－f（1）+f（2）.∴f（2）=2f（1）=1.∴f（5）=f（3）+f（2）=f（1+2）+ f（2）=f（1）+2f（2）=.答案：C10.设函数f（x）=的图象如下图所示，则a、b、c的大小关系是 A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞a＞b解析：f（0）==0，∴b=0.f（1）=1，∴=1.∴a=c+1.由图象看出x＞0时，f（x）＞0，即x＞0时，有＞0，∴a＞0.又f（x）= ，当x＞0时，要使f（x）在x=1时取最大值1，需x+≥2，当且仅当x==1时.∴c=1，此时应有f（x）==1.∴a=2.答案：B11.偶函数y=f（x）（x∈R）在x＜0时是增函数，若x1＜0，x2＞0且|x1|＜|x2|，下列结论正确的是A.f（－x1）＜f（－x2） B.f（－x1）＞f（－x2）C.f（－x1）=f（－x2） D.f（－x1）与f（－x2）大小关系不确定解析：|x|越小，f（x）越大.∵|x1|＜|x2|，∴选B.答案：B12.方程log2（x+4）=3x实根的个数是A.0 B.1 C.2 D.3解析：设y=log2（x+4）及y=3x.画图知交点有两个.答案：C二、填空题（每小题4分，共16分）13.已知f（x）=则不等式x+（x+2）·f（x+2）≤5的解集是___________________.解析：当x+2≥0时，原不等式x+（x+2）≤5x≤.∴－2≤x≤.当x+2＜0时，原不等式x+（x+2）（－1）≤5－2≤5.∴x＜－2.综上，知x≤.答案：（－∞，］14.设函数f（x）的定义域是N*，且f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，f（1）=1，则f（25）= ___________________.解析：由f（x+y）=f（x）+f（y）+xyf（2）=f（1）+f（1）+1=3.∴f（2）－f（1）=2.同理，f（3）－f（2）=3.……f（25）－f（24）=25.∴f（25）=1+2+3+…+25=325.答案：32515.已知函数f（x）=log3（+2），则方程f－1（x）=4的解x=___________________.解析：由f－1（x）=4，得x=f（4）=log3（+2）=1.答案：116.对于函数y=f（x）（x∈R），有下列命题：①在同一坐标系中，函数y=f（1+x）与y=f（1－x）的图象关于直线x=1对称；②若f（1+x）=f（1－x），且f（2－x）=f（2+x）均成立，则f（x）为偶函数；③若f（x－1）=f（x+1）恒成立，则y=f（x）为周期函数；④若f（x）为单调增函数，则y=f（ax）（a＞0，且a≠1）也为单调增函数.其中正确命题的序号是______________.（注：把你认为正确命题的序号都填上）解析：①不正确，y=f（x－1）与y=f（1－x）关于直线x=1对称.②正确.③正确.④不正确.答案：②③三、解答题（共6小题，满分74分）17.（12分）函数y=lg（3－4x+x2）的定义域为M，x∈M时，求f（x）=2x+2－3×4x的最值.解：由3－4x+x2＞0得x＞3或x＜1，∴M={x|x＞3或x＜1}，f（x）=－3×22x+22·2x=－3（2x－）2+.∵x＞3或x＜1，∴2x＞8或0＜2x＜2.∴当2x=即x=log2时，f（x）最大，最大值为.f（x）没有最小值.18.（12分）设a＞0，求函数f（x）=－ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.解：（x）=－（x＞0）.当a＞0，x＞0时，（x）＞0x2+（2a－4）x+a2＞0，（x）＜0x2+（2a－4）x+a2＜0.①当a＞1时，对所有x＞0，有x2+（2a－4）x+a2＞0，即（x）＞0.此时f（x）在（0，+∞）内单调递增.②当a=1时，对x≠1，有x2+（2a－4）x+a2＞0，即（x）＞0，此时f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增.又知函数f（x）在x=1处连续.因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增.③当0＜a＜1时，令（x）＞0，即x2+（2a－4）x+a2＞0，解得x＜2－a－2，或x＞2－a+2.因此，函数f（x）在区间（0，2－a－2）内单调递增，在区间（2－a+2，+∞）内也单调递增.令（x）＜0，即x2+（2a－4）x+a2＜0，解得2－a－2＜x＜2－a+2.因此，函数f（x）在区间（2－a－2，2－a+2）内单调递减.19.（12分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据:a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0.为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工:记T=a0+a1+…+a5，xn=，yn=（a0+a1+…+an），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连结点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，…，5）的折线.（1）求f（0）和f（5）的值；（2）设Pn－1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1、k2、k3、k4、k5的大小关系；（3）证明f（xn）＜xn（n=1，2，3，4）.（1）解:f（0）==0，f（5）==1.（2）解:kn==an，n=1，2，…，5.因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以k1＜k2＜k3＜k4＜k5.（3）证法一:对任何n（n=1，2，3，4），5（a1+…+an）=［n+（5－n）］（a1+…+an）=n（a1+…+an）+（5－n）（a1+…+an）≤n（a1+…+an）+（5－n）nan=n［a1+…+an+（5－n）an］＜n（a1+…+an+an+1+…+a5）=nT，所以f（xn）=＜=xn.证法二：对任何n（n=1，2，3，4），当kn＜1时，yn=（y1－y0）+（y2－y1）+…+（yn－yn－1）=（k1+k2+…+kn）＜=xn.当kn≥1时，yn=y5－（y5－yn）=1－［（yn+1－yn）+（yn+2－yn+1）+…+（y5－y4）］=1－（kn+1+kn+2+…+k5）＜1－（5－n）==xn，综上，f（xn）＜xn.20.（12分）有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处.（建立坐标系如下图）（1）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？分析：本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.（1）解：由题设可知，a＞b＞0，记h=，设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为f（y）=2（b2+y2）+（h－y）2=3（y－）2+h2+2b2.∴当y=时，函数f（y）取得最小值.∴点P的坐标是（0，）.（2）解法一：P至三镇的最远距离为g（y）= 由≥|h－y|解得y≥，记y*=，于是g（y）= 当y*=≥0，即h≥b时，在［y*，+∞）上是增函数，而|h－y|在（－∞，y*）上是减函数，由此可知，当y=y*时，函数g（y）取得最小值；当y*=＜0，即h＜b时，函数在［y*，+∞）上，当y=0时，取得最小值b，而|h－y|在（－∞，y*）上为减函数，且|h－y|＞b.可见，当y=0时，函数g（y）取得最小值.∴当h≥b时，点P的坐标为（0，）；当h＜b时，点P的坐标为（0，0）.其中h=.解法二：P至三镇的最远距离为g（y）= 由≥|h－y|解得y≥，记y*=，于是g（y）= 当y*≥0，即h≥b时，z=g（y）的图象如图（a），因此，当y=y*时，函数g（y）取得最小值.当y*＜0，即h＜b时，z=g（y）的图象如图（b），因此，当y=0时，函数g（y）取得最小值.∴当h≥b时，点P的坐标为（0，）；当h＜b时，点P的坐标为（0，0）.其中h=.解法三：∵在△ABC中，AB=AC=a，∴△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为（0，），且AM=BM=C。