新教材人教A版数学必修第一册学案-5.5.2-简单的三角恒等变换-含答案.docx

5．5.2　简单的三角恒等变换教材要点要点一　半角公式　巧记“半角公式”无理半角常戴帽，象限确定帽前号；数1余弦加减连，角小值大用加号．“角小值大用加号\”即y＝1＋cos α(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋\”号，而y＝1－cos α为增函数，角大值大，因此用“ －”号．要点二　辅助角公式a sin x＋b cos x＝·sin (x＋φ)，其中tan φ＝.　1.辅助角公式形式上是a sin α＋b cos α(ab≠0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成sin (α＋φ)的形式，其中tan φ＝，此公式称为辅助角公式．其中φ可通过tan φ＝以及点(a，b)所在的象限来确定．2．辅助角公式的特殊情况sin α±cos α＝sin ；sin α±cos α＝2sin ；cos α±sin α＝2sin .基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)cos ＝.(　　)(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　　)(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　)(4)若α是第一象限角，则tan ＝.(　　)2．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos 的值为(　　)A． B．－C．± D．±3．下列各式中，值为的是(　　)A．sin 15°cos 15° B．cos2－sin2C． D．4．若3sin x－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．　半角公式的应用例1　已知cos α＝，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan .方法归纳利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常利用tan ＝＝计算，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．(4)下结论：结合(2)求值．跟踪训练1　(1)设α是第二象限角，tan α＝－，且sin ＜cos ，则cos ＝(　　)A．－ B．C． D．－(2)已知sin α＝－，π＜α＜，则sin ＝________，cos ＝________．　三角恒等式的证明例2　若π＜α＜.证明：＋＝－cos .方法归纳三角恒等式证明的思路通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．跟踪训练2　求证：＝sin 2α.　三角恒等变换的应用【角度1】　三角恒等变换与三角函数性质的结合例3　设函数f(x)＝cos x·cos ＋sin2x－.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．方法归纳破解此类题的关键：一是“会化简”，即利用相关的三角函数公式，将三角函数变形为f(x)＝a sinωx＋b cos ωx＋h的形式，再利用辅助角公式把三角函数f(x)＝a sin ωx＋b cos ωx＋h化为f(x)＝sin (ωx＋φ)＋h的形式，三角恒等变换常用的方法是弦切互换法、角的拆变法、辅助角法、升幂与降幂法．二是“用性质\”，判断三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋b后的周期性、单调性、对称性等．此时需要熟记y＝sin x的周期性、单调性、对称性等，以及整体视角“ωx＋φ”．三是“得结论”，解出相关的结果，从而得所求的结论．【角度2】　三角恒等变换的实际应用例4　为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m的正方形空地ABCD，若已规划出以A为圆心、半径为30 m的扇形健身场地AEF，欲在剩余部分修建一块矩形草坪PMCN，其中点P在圆弧EF上，点M，N分别落在BC和CD上，设∠PAB＝θ，矩形草坪PMCN的面积为S.(1)求S关于θ的函数关系式；(2)求S的最大值以及相应θ的值．方法归纳解决实际问题应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决．跟踪训练3　已知f(x)＝2cos ωx sin ωx－2cos2ωx＋1(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π.(1)求f(x)；(2)当x∈时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值并求相应的x值．课堂十分钟1．已知cosα＝－，＜α＜π，则sin 等于(　　)A．－ B．C．－ D．2．若π＜α＜2π，则化简 的结果是(　　)A．sin B．cos C．－cos D．－sin 3．已知sin θ＝－，3π＜θ＜，则tan 的值为(　　)A．3 B．－3C． D．－4．函数f(x)＝sin －2sin2x的最小正周期是________．5．化简＋.5．5.2　简单的三角恒等变换新知初探·课前预习要点一1－2sin2α　2cos2α－1　2α　α　1－2sin2　2cos2－1　±　± [基础自测]1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．答案：A3．答案：B4．答案：－题型探究·课堂解透例1　解析：∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．当为第二象限角时，sin ＝＝，cos ＝－＝－，tan ＝－＝－；当为第四象限角时，sin ＝－＝－，cos ＝＝，tan ＝－＝－.跟踪训练1　解析：(1)∵α是第二象限角，且sin 0>cos .所以左边＝＋＝＋＝－cos ＝右边．所以原等式成立．跟踪训练2　证明：方法一　左边＝＝＝＝cos αsin cos ＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．所以原式成立．方法二　左边＝＝cos2α·＝cos2αtanα＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．所以原式成立．例3　解析：(1)f(x)＝cos x·cos ＋sin2x－＝cosx＋(1－cos2x)－＝sin x cos x－cos2x＋＝sin2x－cos 2x＝sin ，所以f(x)的最小正周期是T＝＝π，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为，k∈Z.(2)当x∈时，2x－∈，此时sin ∈，可得f(x)∈，综上，f(x)最大值为，最小值为－.例4　解析：(1)由题图知，PM＝40－30cos θ，PN＝40－30sin θ，于是S＝(40－30sin θ)(40－30cos θ)＝－1200(sin θ＋cos θ)＋900sin θcos θ＋1600，其中，0≤θ≤，故S关于θ的函数关系式为S＝－1200(sin θ＋cos θ)＋900sin θcos θ＋1600，(0≤θ≤)；(2)令t＝sin θ＋cos θ，则sin θcos θ＝＝，又t＝sin θ＋cos θ＝sin ，当0≤θ≤时，≤θ＋≤，所以t∈[1，]，于是S＝－1 200t＋900×＋1 600＝450t2－1 200t＋1 150，S(t)为开口向上的抛物线，对称轴t＝，又－＜－1，故当t＝1时，S取得最大值为400 m2，此时，θ＝0或.跟踪训练3　解析：(1)函数f(x)＝2cos ωx sin ωx－2cos2ωx＋1＝sin2ωx－cos 2ωx＝2sin ，因为T＝π，所以2ω＝，解得ω＝1，所以f(x)＝2sin .(2)当x∈时，2x－∈，当2x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－1，当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，所以，x＝0时，f(x)min＝－1，x＝时，f(x)max＝2.[课堂十分钟]1．答案：D2．答案：C3．答案：B4．答案：π5．解析：原式＝＋＝＋＝＋＝＝.。