土木工程制图第五章投影变换换面法课件.ppt

第5章 投影变换—换面法,教学提示：画法几何中有关点、直线和平面的问题，一般可以归纳为定位和度量问题当几何元素处于一般位置时，为了求解方便，常采用换面法改变其中的某些元素与投影面的相对位置，成为有利于解题的特殊位置 学习要求：通过本章学习，学生应掌握换面法的一般概念及特点，能够使用换面法解决有关点、直线和平面等几何元素之间的定位和度量问题一、投影变换的目的,1、原因：一般位置的直线和平面，其投影不具有积聚性，又不能反映实长和实形，而特殊位置的则可以； 2、方法：将一般位置的直线和平面变成特殊位置，即平行或垂直于投影面 3、可解决问题： 1）求直线的实长：将一般线变成投影面平行线2）求点到直线或两平行直线间距：将直线变成投影面垂直线5.1 投影变换概述,3）求平面的实形：将平面变成投影面平行面 4）求平面的倾角、点到平面的距离、两平行面距离、直线与平面交点和两平面交线等：将一般面变成投影面垂直面二、换面法基本方法,1、基本原则： 1）新投影面必须设立在使空间元素处在有利于解题的位置； 2）新投影面必须垂直于原有投影体系中的一个投影面 2、基本概念：,辅助投影面,辅助投影轴,辅助投影,替换投影面,替换投影轴,替换投影,保留投影面,保留投影,3、投影体系的展开,辅助投影面绕辅助投影轴旋转到和保留投影面平齐，然后一起旋转到V投影面的位置。

可以理解为在投射线的推动下绕轴线转动 注意：如果新投影体系由H和V1组成，应怎样旋转4、投影特性：,1）辅助投影与保留投影连线⊥辅助投影轴，即aa1X1 V,H,A,,a,,,,ax,X,,X1,,,,a1,ax1,,,a,,,,V1,,,,,,V,H,X,a,a,ax,ax1,O,O1,垂直,2）辅助投影到辅助投影轴的距离等于替换投影到替换投影轴的距离 即：a1ax1=aax,,,,,,,V,H,A,,a,,,,ax,X,,X1,,,,a1,ax1,,,a,,,,V1,,,,,,,,,V,H,X,a,a,ax,ax1,O,O1,二、直线、平面变换的六种情况,1、一般位置直线变成投影面平行线 可求直线的实长和直线对投影面倾角例1：求直线的实长和倾角α解：1、设辅助投影轴X1平行于H投影为什么？ 此时，替换投影面是谁？,,,,,,a,b,a,b,X,V,H,O,,O1,2、求点A的辅助投影1）过A作投影连线⊥X1；；,3、同法求点B的辅助投影2）取ax1a'1=axa' 得a'1,,,,,,,,a,b,a,b,X,V,H,O,,,,,4、连接两辅助投影，得实长和倾角。

2、投影面平行线变成投影面垂直线,作辅助投影轴垂直于反映实长的直线的投影 为什么？,,3、一般位置直线变成投影面垂直线,先将一般位置直线变成投影面平行线； 再将投影面平行线变成投影面垂直线 注意：什么是二次变换？,,,,b,,,a',4、一般位置平面变成投影面垂直面,在一般面上作一投影面平行线，例作一水平线；,,5、投影面垂直面变成投影面平行面,作辅助投影轴平行于投影面垂直面的积聚投影6、一般位置平面变成投影面平行面,4、5步骤的综合,,【例5-1】如图所示，已知点A和一般位置直线BC的两面投影，用换 面法作出点A到直线BC的垂线AD和垂足D，并求出点A与直线BC之间的 真实距离分析：根据直角一边平行于投影面的投影特性 作垂线很简单，因此利用一次换面将BC变换为 投影面平行线但是在新投影面体系中作出的垂线仍是一般位 置直线，不能反映其实长，而点A到垂足D这段 垂线AD的实长就是点A到直线BC的真实距离， 所以还要进行第二次换面，继续将垂线AD变换 为投影面平行线而显示实长1.作O1X1∥bc，按投影变换的基本作图作出点A 和直线BC的端点B、C的V1面投影a1′、b1′、 c1′，连接b1′c1′。

X,H,V,O,,,,,,,,,,,,,,2.在H、V1新投影面体系中，过a1′作b1′c1′ 的垂线得垂足d1′3.在H、V原投影面体系中，由d作投影连 线可得d′4.将H、V1投影面体系看作原投影面体系， 作O2X2∥a1′d1′,继续按投影变换的基 本作图，由a、a1′和d、d1′作出a2、 d2，连接a2d2，a2d2就反映了垂线的实长， 也就是点A到直线BC的真实距离例5-2】如图5.13a所示，已知由四个梯形平面所构成的料斗的两面投影，求料斗相邻两平面之间的夹角θ的真实大小分析：在投影图中直接反映两平面夹角的特殊 情况，只要将这两个相邻平面用换面法变成同 时垂直于同一投影面，也就是将这两个平面的 交线变换成投影面垂直线，即可求得夹角θa,b,c,d,f,e,,,,,,,,2,a,所求夹角,1.在适当的位置作O1X1∥cd1，将CD变换为H、 V1新投影面体系中的V1面平行线2.将H、V1两面体系看作原投影面体系进行第二次 换面，继续将CD变换为H2面垂直线3.将a2、e2分别与c2d2相连，即为同时处于H2面垂直面位置的后壁面和右壁面的有积聚性的H2面投影，它们之间的夹角θ就是两相邻壁面的夹角。

章 后 小 结,(1) 换面法是将空间几何元素对投影面的一般位置变成特殊位置，使其有利于解题 (2) 新投影面必须设立在使空间元素处在有利于解题的位置，如果一次换面不能解决问题，通常可考虑连续换面两次解题，必要时，也可进行更多次换面 (3) 在不同的情况下，选择合适的换面法可以把一般位置的点、直线和平面变换为与投影面平行或垂直的特殊位置，以解决距离、实长和夹角的问题。