数学物理方法 第四章.ppt

第四章 留数定理及其应用,基本内容:留数定理，应用留数定理计算实变函 数的定积分.基本计算:复变函数的回路积分和实函的定积分, 是复变函数理论中的重要内容和基本 计算类型之一.要 求:理解有关定理和公式，能够正确应用,2017/6/23,2,§4-1 留数定理,2017/6/23,3,（一）留数和留数定理,外是单值解析的,则,其中,—,在奇点bk处的留数.,(积分沿约定正向）,,证明：据Cauchy定理推论二，有,,,,其中用到了,证毕.,,,,,,,,,,,f(z)在曲线l围成的闭区域上除有限个孤立奇点,2017/6/23,4,（二）计算留数的方法,（1）单极点,显然,,则,或若,,而b为P、Q的解析点,且,[例](1),∴,或,例题讲解：p105，例题1,2017/6/23,5,(2)已知,有单极点,据,，有,(3),,∴,,2017/6/23,第五章 定积分的计算,6,（2）m阶极点,[例],均为三阶极点.,例题讲解：p105，例题2,2017/6/23,7,∴,,[例1],(z=1为本性奇点),（3）本性奇点的留数，洛朗展开，按定义求。

[例2],(以,为本性奇点),上式右端第一项不含(z+2)的负1次幂项，第二项中(z+2)的,负1次幂项的系数是,2017/6/23,8,,,应用留数定理的步骤：,1)确定l内包围的,的奇点,在l内的奇点,2)求在l内的奇点处的留数(难点)(单极点，m阶极点，本性奇点),3)运用留数定理,2017/6/23,9,（三）,,,其中用到了,(l沿钟向包围∞点),,,,（四）,设f(z)在有限复平面上只有有限个孤立奇点z=bk(k=1,2, …,m),全在闭曲线l内，则,证毕.,，,2017/6/23,10,作业：p108:1(2)(4)(5);2(1)(2),2017/6/23,11,（一）带有三角函数的积分,实函积分,补充积分路径或,作积分变量替换,,复函回路积分,,留数定理,留数定理是计算实函定积分的工具，其结果一定是实数.,§4-2 利用留数定理计算定积分,2017/6/23,12,是cosx和sinx的有理函数∴,,1)R是cosx和sinx的有理函数2)积分限,，否则利用,的性质,3)记住变换,作代换,，,2017/6/23,13,[例]计算,，则,令,是被积函数的两个一阶极点.,，z1在,内；,, z2在,外.,所以,.,∴,∵,解:,令,2017/6/23,14,作业: p125：1 ,4,思考与讨论题,1.你能用几种方法计算Res,2.若b为f(z)的可去奇点，则Resf(b)为零，为什么？z=∞为f(z) 的可去奇点或解析点，Resf(∞)一定等于零吗？为什么？3.若b为f(z)的奇点， Resf(b)是否一定不为零？试举例说明.,4.若bk(k=1,2,…,n)为f(z)在有限区域中的全部奇点，则,，这一结论有何用处？,5.利用留数定理计算,,类型的积分时，为,什么作变换,，其基本思想是什么？,2017/6/23,15,(二)沿实轴的无限积分,一般值若存在的话则主值存在且等于一般值,即使一般值不存在的情况下，主值也可以存在.我们以下考虑的都是积分的主值，在不致混淆的情况下略去P.,2017/6/23,17,由f(x)唯一确定的解析函数f(z)在上半平面仅有有限个,时，,则,证明：,=,,证毕.,孤立奇点，在实轴上无奇点，当,注意适用条件和符号[实函,复函,2017/6/23,第五章 定积分的计算,18,[补充例题],解:,实轴上无奇点，上半平面只有z=i,一个三阶极点,讲解例题，p111，例题2,2017/6/23,19,证明：,推论: 若m<0, 则CR: 以z=0为圆心、 R为半径的下半圆周.,,,,,,,,,,（三）,Jordan引理:,[CR是原点为圆心，以R为半径的上半圆].,z在上半平面或实轴上,则,m>0时，,2017/6/23,20,唯一确定的解析函数,有限个孤立奇点，在实轴上没有奇点，,,,在上半平面仅有,且当z→∞时,,,,,则,,,,,,,,,,,,证明：,第二项由Jordan引理,若m<0，则,2017/6/23,21,[p115,例3],解:,,.,,,,,,,2017/6/23,22,1,,在实轴上有有限个单极点的情况,的条件)在上半平面及实轴上当z→∞时，,,（余同,则,（四）积分路径上有单极点的情形,2017/6/23,23,,,证明:考虑f(z)在实轴上只有z=c一个单极点的情况,其中,(r→0),推广到实轴上存在有限个单极点，即证毕.,解析的、连续的、有界的,2017/6/23,第五章 定积分的计算,24,[补充例题],解:,上半平面只有单极点z=i,,实轴上有z=0和-1两个单极点,,∴,.,2017/6/23,第五章 定积分的计算,25,特别说明：,上半平面上无奇点，,，,是一实常数,则,希尔伯特(Hilbert)变换,在上半平面及实轴上处处解析的函数,2017/6/23,26,2,[p118,例4],解:,[m>0，f(z)在实轴上只有有限个单极点，,余同（三）]，则,2017/6/23,27,思考与讨论题,p125：6，9，11，12，13，14，16,1.若f(z)除了在实轴上有有限个单极点aj(j=1,2,…,m)，在下半平 面有有限个孤立奇点bk(k=1,2,…,n)外处处解析，在包括实轴,在内的下半平面当,时，zf(z)一致地趋于零，则利用,留数定理计算无穷积分,的公式是怎样的？,2.若f(z)除在实轴上有有限个单极点aj(j=1,2,…,l)，在下半平面 有有限个孤立奇点bk(k=1,2,…,n)外处处解析，在包括实轴在 内的下半平面当时，f(z)一致地趋于零，并且m<0，能不能用,留数定理计算无穷积分,,,若能,计算的公式是怎样的？,作业,。