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4 4－－3 3 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方程根的性性质质唯一确定对于三阶以下系统，解出特征根就能判断系统是否稳定三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很困难，前面介绍了基于特征方程的根与系数关系的劳斯判据 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统稳定性的又一重要方法它是将系统的开环频率特性 与复变函数 位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据奈氏判据是一种图解法，它依据的是系统的开环频率特性由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方便和实用的优点奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念一、幅角定理一、幅角定理(Kauthy (Kauthy 幅角定理幅角定理) ) 幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数理论基础上的由于奈氏判据是以幅角定理为依据的，因此有必要先简要地介绍幅角定理 设有一复变函数 称之为辅助函数，其中 是系统的开环传递函数.通常可写成如下形式 式中 是系统的开环极点，将式（4-106）代入式（4-105）得 比较式（4—107）和式（4—106）可知， 辅助函数 的零零点点 即即闭闭环环传传递递函函数数的的极极点点，即系统特征方程 的根。

因此，如果辅助函数 的零点都具有负的实部，即都位于S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定 假设复变函数 为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则函数,也就是说 在S平面上除奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每一个解析点，在 平面上必有一点（称为映射点）与之对应 例如，当系统的开环传递函数为 则其辅助函数是 除奇点 和 外，在S平面上任取一点，如 则（一）（一）S S平面与平面与 平面的映射关系平面的映射关系  如图4—37所示，在 平面上有点 与S平面上的点 对应, 就叫做 在 平面上的映射点 图4-37 S平面上的点在F（S）平面上的映射 如图4—38所示，如果解析点 在S平面上沿封闭曲线 （ 不经过 的奇点）按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数 在 平面上的映射也是一条封闭曲线 ，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这要依据辅助函数的性质而定。

图4-38 S平面到F(s)平面的映射（二）幅角定理（映射定理）（二）幅角定理（映射定理） 设 在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任选一封闭曲线s，并使s不通过 的奇点，则S平面上的封闭曲线s 映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线F当解析点解析点s按顺时针按顺时针方向沿s 变化一周时，则在 平面上， F 曲线按逆时针方向绕原点的周数逆时针方向绕原点的周数N N等于封闭曲线s内包含F(s) 的极点数P与零点数Z之差即 N=P-Z N=P-Z （4—108） 式中，若N>0N>0，则，则 F按逆时针按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N<0N<0，则，则 F按顺时针按顺时针绕 F(s)平面坐标原点N周；且若 N=0，则F不包围F(s)平面坐标原点 在图4—38中,在S平面上有三个极点P1、P2 、P3和三个零点Z1、Z2、Z3 。

被s 曲线包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2，包围的极点只有P2 ，即P=1，由式（4—108）得 N=P-Z=1-2=-1 说明s 映射到 F(s)平面上的封闭曲线F顺时针顺时针绕F(s)平面原点一周 由幅角定理，我们可以确定辅助函数 被封闭曲线s 所包围的极点数P与零点数 Z的差值P-Z  前面已经指出， 的极点数等于开环传递函数 的极点数，因此当从 平面上确定了封闭曲线F 的旋转周数N以后，则在 S 平面上封闭曲线s 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出来 Z=P-N （4-109） 封闭曲线s和F 的形状是无关紧要的形状是无关紧要的，因为它不影响上述结论 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单说明。

设有辅助函数为 （4-110） 其零、极点在S平面上的分布如图 4—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线s , s不通过上述零、极点，在封闭曲线s 上任取一点 , 其对应的辅助函数 的幅角应为 (4-111) 当解析点s1沿封闭曲线s按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现，所有位于封闭曲线s 外外面面的辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角角度度都都为为0，而位于封闭曲线s 内内的的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向转转过过2pi2pi弧弧度度（一周）这样，对图4—39（a），Z=1Z=1，，P=0P=0， ，即N=－1， 绕 平面原点顺时针旋转一周；对图4—39（b），Z=0Z=0，，P=1P=1， ，即N=1， 绕 平面原点逆时针旋转一周；对图4—39（c），Z=1Z=1，，P=1P=1， ，即N=0， 不包围 平面原点。

将上述分析推广到一般情况则有 （4-112）由此得到幅角定理表达式为 N=P-Z （4-113）图 4-39Fs图 4-39图 4-39 二、基于辅助函数二、基于辅助函数 的奈氏判据的奈氏判据 为了分析反馈控制系统的稳定性，只须判断是否存在S S平平面面右右半半部部的的闭闭环环极极点点为此，在S平面上作一条完整的封闭曲线s，使它包围S平面右半部且按顺时针环绕如图4—40所示，该曲线包括S平面的整个虚轴（由 到 ）及右半平面上以原点为圆心，半径为无穷大的半圆弧组成的封闭轨迹这一封闭无穷大半圆称作奈奈氏氏轨轨迹迹显然，由奈氏轨迹包围的极极点点数数P P和零零点点数数Z Z，就是F(s)位位于于S S平面右半部的极点数和零点数平面右半部的极点数和零点数。

图4-40 Nyquist轨迹 前面已经指出，辅助函数 的极极点点等等于于系系统统的的开开环环极极点点， 的零零点点等等于于系系统统的的闭闭环环极极点点因此，如果奈氏轨迹中包围 的零点数Z=0，系统是稳定的，此时由 映射到 平面上的封闭曲线F 逆时针绕坐标原点的周数应为 N=P （4-114）由此得到应用幅角定理分析系统稳定性的判据如下：s 若辅助函数 的解析点s沿奈氏轨迹 s 按顺时针连续环绕一周顺时针连续环绕一周，它在 平面上的映射 F 按逆时针方按逆时针方向环绕其原点向环绕其原点 P P周周，则系统是稳定的，否则是不稳定的 若开环系统是稳定稳定的，即S平面右半部的开环极点数P=0此时系统稳定的充分条件是不包围 平面坐标原点，即 N=0N=0三、基于开环传递函数三、基于开环传递函数 的奈氏判据的奈氏判据 用辅助函数 来分析系统的稳定性仍然不大方便， 实际上， 开环传递函数与辅助函数之间的关系非常简单，即 （4-115） 上式意味着将 平面的纵轴向向右右平平移移一个单位后构成的平面即为 GH平面（如图4-41）。

平面的坐标原点是GH 平面的 点因此， F 绕 平面原点的周数等效于 绕GH平面 点的周数1, j0)00[GH][F]1图4-41 由分析，得到基于开环传递函数 的奈氏判据如下： 闭闭环环系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是奈奈氏氏轨轨迹迹映映射射在在GH平平面面上上的的封封闭闭曲曲线线 逆逆时时针针包包围围 点点P周周，，其其中中P为为开开环环传传递递函函数数 在在S平平面面右右半半部部的的极极点点数 当当 在在S平平面面右右半半部部没没有有极极点点时时，，即即P=0，，闭闭环环系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是 在在GH平平面面上上不不包包围围 点 四、基于开环频率特性四、基于开环频率特性 的奈氏判据的奈氏判据（一）（一） 与与 之间的关系之间的关系 前面曾经指出，频率特性是 特定情况下的传递函数。

下面分两种情况来研究 与 之间的关系 1、当 在S平面虚轴上（包括原点）无极点时，奈氏轨迹可分成三个部分如图4—42所示，，（（1）） ，s沿负虚轴变化；（（2）） ，s沿正虚轴变化；（（3 3）） ，s沿以原点为圆心，半径为无穷大的右半圆弧变化，其中 ，对应 由 顺时针绕图4-42 Nyquist轨迹s （（1）当）当s在在S平面负虚轴上变化时，平面负虚轴上变化时， ，（4-117）在[GH]平面上的映射如图4—43中曲线（1）图4-43 s 在GH平面上的映射（2）当s在S平面正虚轴上变化时， 如图4-43中的曲线（2），这正是系统的开环频率特性由于正负虚轴在S平面上以实轴为对称，它们在GH平面上的映射曲线（映射曲线（1）、（）、（2）两部分）两部分也对称于实轴。

当s 过平面原点时， ，它在GH平面上的映射为 （4-118）即S平面的原点在GH平面上的映射为常数K（K为系统开环增益开环增益） （3）当s在s 的第三部分上的变化时， ， 当n=m时， 奈氏轨迹的第三部分（无穷大半圆弧）在GH平面上的映射为常数k（根轨迹增益根轨迹增益），如图4—43（a）所示 当n>m时， （4-121）s的第三部分在GH平面上的映射是它的坐标原点（图4—43（b））。

奈氏轨迹s 在GH平面上的映射 称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线4-120)(4-119) 2、当 在S平面的虚虚轴轴上上（（包包括括原原点点））有有极极点点时时，由于奈氏轨迹不能经过开环极点，s必须避开虚轴上的所有开环极点增加第4部分曲线，如图4-44所示其中（1）（2） 和（3）部分的定义与图4—42相同. 第（第（4 4）部分的定义）部分的定义是：表明s沿以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化（ ）这样， s 既绕过了 原点上的极点， 又包围了整个右半S平面，如果在虚轴上还有其它极点，亦可采用同样的方法，将s 绕过这些虚轴上的极点设系统的开环传递函数为 （4-122）其中v v称为无差度称为无差度，即系统中含积分环节的个数或位于原点的开环极点数当 时， (4-123) 式(4-123)表明， s 的第（4）部分无穷小半圆弧在 GH平面上的映射为顺顺时时针针旋旋转转的的无无穷穷大大圆圆弧弧，旋转的弧度为 弧度。

图4—45（a）、（b）分别表示当 v=1v=1和v=2v=2时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是s 的无穷小半圆弧在GH平面上的映射图4-44 虚轴上有开环极点 时的奈氏轨迹图4-45 时的奈氏曲线s 应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况三种情况： (i) 当系统开环传递函数 的全全部部极极点点都都位位于于S S平平面面左左半半部部时时（（P=0P=0）），，如果系统的奈氏曲线 不不包包围围GH平面的 点（N=0），则闭环系统是稳定的（Z=P-N=0），否则是不稳定的； （ii)当系统开环传递函数 有p p个个位位于于S S平平面面右右半半部部的的极极点点时，如果系统的奈氏曲线 逆逆时时针针包包围围 点的周数等于位于S平面右半部的开环极点数（N=P），则闭环系统是稳定的（Z=P-N=0），否则是不稳定的； (iii) 如果系统的奈氏曲线 顺时针包围 点（N>0），则闭环系统不稳定（Z=P-N>0）。

（iv）当 曲线恰好通过GH平面的 点（注意不不是是包包围围），此时如果系统无位于S平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定临界稳定状态 综上，奈氏曲 线 是否包围GH平面的 点是判别系统是否稳定的重要依据五、奈氏判据的应用五、奈氏判据的应用 例4—6 试用奈氏判据分析例4—1系统的稳定性解该系统的开环传递函数为 其对应的频率特性是 当 时系统的奈氏曲线如图 4-46所示该系统的两个开环极点 和 均在S平面左半部，即S平面右半部的开环极点数P=0，由图4-46可知，系统的奈氏曲线 不包围 点（N=0），根据奈氏判据，位于S平面右半部的闭环极点数 Z=P－－N=0， 该闭环系统是稳稳定的定的确定幅相曲线起点和终点，正确作出幅相曲线对于判断系确定幅相曲线起点和终点，正确作出幅相曲线对于判断系统的稳定性很重要统的稳定性很重要!!!图4-46 例4-6奈氏曲线 例例4—7 4—7 试试用用奈奈氏氏判判据据分分析析例例4—34—3系系统统的的稳定性。

稳定性 解 该系统的开环传递函数为其对应的频率特性是当 时，系统的奈氏曲线如图 4—48所示由于系统含有一个积分环节（v=1），当 对应奈氏曲线为顺时针环绕坐标原点的无穷大半圆（图4—48中虚线所示）图4-48 例4-7奈氏曲线开环传递函数无右半S平面的极点，即P=0，系统是否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值 的大小，当 时， 不包围 点，即N=0图4-48（a），系统是稳定的；当 时,奈氏曲线 顺时针包围 点两周，即 ,图4-48（b），系统不稳定 例4—8已知反馈控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析当 时系统的稳定性解解 系统的开环频率特性是其幅频特性和相频特性分别是图4-50 例4-8系统的奈氏曲线。