高一数学第一章第3节函数的基本性质新人教A版必修1知识精讲1.doc

高一数学第一章 第3节 函数的基本性质新人教A版必修1一、学习目标： 1、理解函数的单调性、最值及其几何意义，了解函数的奇偶性的含义2、能借助函数图象理解和研究函数性质二、重点、难点：重、难点是理解函数的单调性、奇偶性、最值及其几何意义 三、考点分析：理解函数的奇偶性，函数的单调性与最值这些都是考查的重点，每年必考既有可能单独命题，也有可能在综合题中出现一）函数单调性的定义1. 增函数与减函数一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）>f（x2），那么就说f（x）在区间D上是减函数注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f（x1）＜f（x2）或 f（x1）＞f（x2）2. 函数的单调性的定义如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间。

3. 判断函数单调性的方法和步骤利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f（x1）－f（x2）；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；⑤下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）二）函数最大（小）值的定义1. 最大值与最小值一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M那么，称M是函数y＝f（x）的最大值一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M那么，称M是函数y＝f（x）的最小值 注意：①函数的最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f（x0）＝M；②函数的最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）2. 利用函数的单调性判断函数的最大（小）值的方法①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值②利用图象（数形结合法）求函数的最大（小）值③利用函数的单调性判断函数的最大（小）值如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y＝f（x）在x＝b处有最大值f（b）；如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y＝f（x）在x＝b处有最小值f（b）。

三）函数的奇偶性的定义1. 偶函数与奇函数一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么f（x）就叫做偶函数 一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么f（x）就叫做奇函数注意：①函数f（x）是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） 2. 具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称知识点一：函数的单调性与最值例1：判断函数在区间上的单调性，并用定义证明思路分析：1）题意分析：用定义证明一个分式函数在上的单调性2）解题思路：按照用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤去做即可解答过程：在区间上单调递减设，则＝＝＝已知，所以，，，所以，即原函数在上单调递减解题后的思考：用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的关键在于变形（通常是因式分解和配方）和定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）例2：已知是奇函数，它在上是增函数，且，试问在上是增函数还是减函数？并证明你的结论。

思路分析：1）题意分析：本例比较抽象，没有具体的解析式简单地说就是已知原函数的单调性，判断倒函数的单调性2）解题思路：根据函数的单调性的定义，可以设，进而判断的符号解答过程：任取，且，则有在上是增函数，且，，又是奇函数，，于是，在上是减函数解题后的思考：本例是一道抽象性较强的题，它考查了函数性质的综合应用例3：已知，求函数的最值思路分析：1）题意分析：本例要求在指定的半开半闭区间内求一个分式函数的最大（小）值；2）解题思路：先分离常数，再利用函数的单调性求函数的最值解答过程：已知函数式可化为，先判断函数在上的增减性设，则，，即函数在上是减函数故所求函数的最小值为，无最大值解题后的思考：函数单调性在解题中的应用，主要表现为通过建立函数关系式或构造辅助函数式，把原问题转化为对函数单调性的讨论的问题，以达到化难为易、化繁为简的目的例4：已知函数是增函数，定义域为，且，，求满足的的取值范围思路分析：1）题意分析：本例给出了单调性、定义域、运算法则和一个点，求函数自变量的取值范围2）解题思路：利用运算法则把问题化归成已知单调性和函数值的大小，求自变量的大小的问题，此过程中要注意定义域的限制作用，即如果，则必须，，且。

解答过程：由题意，得解得 所以的取值范围是解题后的思考：容易忽视函数的定义域为这一隐含条件知识点二：函数的奇偶性例5：判断函数的奇偶性思路分析：1）题意分析：判断含参数的函数的奇偶性2）解题思路：判断一个函数具有奇偶性需要证明，否定一个函数具有奇偶性只要举个反例即可解答过程：显然函数f（x）的定义域为当时，函数，此时为偶函数；当时，，，，，此时函数既不是奇函数，也不是偶函数解题后的思考：要考虑到这种特殊情形例6：已知是奇函数，且当时，，求当时的解析式思路分析：1）题意分析：已知函数是奇函数，且知道函数在某个区间上的解析式，求函数在该区间关于原点对称的区间上的解析式2）解题思路：利用奇函数的定义域关于原点对称的特点将未知区间通过取相反数过渡到已知区间解答过程：当时，，所以有，又已知是奇函数，所以有＝即当时，解题后的思考：关键在于利用取相反数、加减周期等方法将未知区间过渡到已知区间重点掌握利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤注意积累求函数最值的题型和基本解法判断函数的奇偶性时，先判断定义域是否关于原点对称注意特殊函数的存在注意对参数的讨论注意对隐含条件的挖掘在初中，我们已经学习了一次函数、二次函数和反比例函数，那么高中阶段我们还将学习哪些基本初等函数呢？请同学们预习《2.1指数函数》。

答题时间：45分钟）一、选择题1. 已知函数为偶函数，则的值是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A. B. C. D. 3. 如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是（ ）A. 增函数且最小值是 B. 增函数且最大值是C. 减函数且最大值是 D. 减函数且最小值是4. 设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（ ）A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数5. 下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 6. 函数（ ）A. 是奇函数又是减函数 B. 是奇函数但不是减函数 C. 是减函数但不是奇函数 D. 不是奇函数也不是减函数二、填空题7. 设奇函数的定义域为，若当时，的图象如下图，则不等式的解是 8. 已知，则函数的值域是 。

9. 若函数是偶函数，则的递减区间是 10. 下列四个命题（1）有意义； （2）函数是其定义域到值域的映射；（3）函数的图象是一条直线；（4）函数的图象是抛物线，其中正确命题的个数是____________11. 函数的值域是________________三、解答题12. 判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性13. 已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3）求的取值范围14. 利用函数的单调性求函数的值域15. 已知函数1）当时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数一、选择题 1. B 奇次项系数为2. D 3. A 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性4. A 5. A 在上递减，在上递减，在上递减6. A 为奇函数，而为减函数二、填空题7. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象8. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小自变量最大时，函数值最大9. 10. （1），不存在；（2）函数是特殊的映射；（3）该图象是由离散的点组成的；（4）两条不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线。

11. 是增函数三、解答题12. 解：当时，在上是增函数，当时，在上是减函数；当时，在上是减函数，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数，当时，在上是增函数，在上是减函数13. 解：，则，14. 解：，显然是的增函数，，15. 解：（1）对称轴∴（2）对称轴当或时，在上是单调函数∴或。