2007年江苏高考数学试题.pdf

第 1 页 共 16 页 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（江苏卷） （江苏卷） 参考公式参考公式： ： n次独立重复试验恰有k次发生的概率为：( )(1) kkn k nn P kC pp − =− 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，恰一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，恰 ． 有一项有一项 ．．． 是符合题目要求的 是符合题目要求的 1．下列函数中，周期为 2 π 的是（ ） A．sin 2 x y = B．sin2yx= C．cos 4 x y = D．cos4yx= 2．已知全集UZ=， 2 { 1,0,1,2},{ |}ABx xx= −==，则 U AC B∩为（ ） A．{ 1,2}− B．{ 1,0}− C．{0,1} D．{1,2} 3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为 20xy−=，则它的离心率为（） A．5 B． 5 2 C．3 D．2 4．已知两条直线,m n，两个平面,α β，给出下面四个命题：（） ①// ,mn mnαα⊥⇒⊥ ②//,,//mnmnαβαβ⊂⊂⇒ ③// ,////mn mnαα⇒ ④//,// ,mn mnαβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 5．函数( )sin3cos ([,0])f xxx xπ=−∈ −的单调递增区间是（） A． 5 [,] 6 π π−− B． 5 [,] 66 ππ −− C．[,0] 3 π − D．[,0] 6 π − 6． 设函数( )f x定义在实数集上， 它的图像关于直线1x =对称， 且当1x ≥时，( )31 x f x =−， 则有（） A． 132 ( )( )( ) 323 fff，对于任意实数x都有 ( )0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（） A．3 B． 5 2 C．2 D． 3 2 10．在平面直角坐标系xOy，已知平面区域{( , )|1,Ax yxy=+≤且0,0}xy≥≥，则平面 区域{(,)|( , )}Bxy xyx yA=+−∈的面积为（） A．2 B．1 C． 1 2 D． 1 4 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

不需要写出解答过程，请把答案直 接填空在答题卡相应位置上 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分不需要写出解答过程，请把答案直 接填空在答题卡相应位置上 ．．．．．．．． 11．若 13 cos(),cos() 55 αβαβ+=−=，则tantanαβ= . 12．某校开设 9 门课程供学生选修，其中, ,A B C三门由于上课时间相同，至多选一门，学 校规定每位同学选修 4 门，共有 种不同选修方案用数值作答） 13．已知函数 3 ( )128f xxx=−+在区间[ 3,3]−上的最大值与最小值分别为,M m，则 Mm−= . 14．正三棱锥PABC−高为 2，侧棱与底面所成角为45?，则点A到侧面PBC的距离是 . 15．在平面直角坐标系xOy中，已知ABCΔ顶点( 4,0)A−和(4,0)C，顶点B在椭圆 22 1 2516 xy +=上，则 sinsin sin AC B + = . 16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间0t= 第 3 页 共 16 页 时，点A与钟面上标12的点B重合，将,A B两点的距离()d cm表示成( )t s的函数，则d= 。

三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分请在答题卡指定区域三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分请在答题卡指定区域 ．．．．．．． 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分 12 分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后 面第 2 位） （1）5 次预报中恰有 2 次准确的概率；（4 分） （2）5 次预报中至少有 2 次准确的概率；（4 分） （3）5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4 分） 第 4 页 共 16 页 18．（本小题满分 12 分）如图，已知 1111 ABCDABC D−是 棱长为 3 的正方体，点E在 1 AA上，点F在 1 CC上，且 1 1AEFC==， （1）求证： 1 , ,,E B F D四点共面；（4 分） （2）若点G在BC上， 2 3 BG =，点M在 1 BB上， GMBF⊥，垂足为H，求证：EM⊥面 11 BCC B；（4 分） （3）用θ表示截面 1 EBFD和面 11 BCC B所成锐二面角大小，求tanθ。

4 分） 1 D 1 A A B C D 1 C 1 B M E F H G 第 5 页 共 16 页 19、 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中， 过y轴正方向上一点(0, )Cc任作一直线，与抛物线 2 yx= 相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB 和直线: l yc= −交于,P Q， （1）若2OA OB⋅= ??? ? ??? ? ，求c的值；（5 分） （2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切 线；（5 分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由4 分） B A x y O C Q l P 第 6 页 共 16 页 20．（本小题满分 16 分）已知 {} n a是等差数列，{ } n b是公比为q的等比数列， 11221 ,ab aba==≠，记 n S为数列{ } n b的前n项和， （1）若( , km bam k=是大于2的正整数)，求证： 11 (1) k Sma − =−；（4 分） （2）若 3 ( i ba i=是某一正整数)，求证：q是整数，且数列{ } n b中每一项都是数列{} n a中 的项；（8 分） （3） 是否存在这样的正数q， 使等比数列{ } n b中有三项成等差数列？若存在， 写出一个q的 值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4 分） 第 7 页 共 16 页 21．（本小题满分 16 分）已知, , ,a b c d是不全为0的实数，函数 2 ( )f xbxcxd=++， 32 ( )g xaxbxcxd=+++， 方 程( )0f x=有 实 根 ， 且( )0f x=的 实 数 根 都 是 ( ( ))0g f x=的根，反之，( ( ))0g f x=的实数根都是( )0f x=的根， （1）求d的值；（3 分） （2）若0a =，求c的取值范围；（6 分） （3）若1,(1)0af==，求c的取值范围。

7 分） 第 8 页 共 16 页 参考答案 参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，恰有 ．． 一项 ．． 是符合题目要求的 1．下列函数中，周期为 2 π 的是（D） A．sin 2 x y= B．sin2yx= C．cos 4 x y= D．cos4yx= 解析：利用公式 ω π2 =T 即可得到答案 D 2．已知全集UZ=， 2 { 1,0,1,2},{ |}ABx xx= −==，则 U AC B∩为（A） A．{ 1,2}− B．{ 1,0}− C．{0,1} D．{1,2} 解析：求 B={1 , 0} 可求 U AC B∩={ 1,2}− 选 A 3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为 20xy−=，则它的离心率为（A） A．5 B． 5 2 C．3 D．2 解析：由ab b a 2 2 1 ==得 abac5 22 =+= ，5== a c e 选 A 4．已知两条直线,m n，两个平面,α β，给出下面四个命题：（C） ①// ,mn mnαα⊥⇒⊥ ②//,,//mnmnαβαβ⊂⊂⇒ ③// ,////mn mnαα⇒ ④//,// ,mn mnαβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 解析： 用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④ 正确， ②中 m,n 可以平行或异面③ 中 n 可以在α内 选 C 5．函数( )sin3cos ([,0])f xxx xπ=−∈ −的单调递增区间是（D） A． 5 [,] 6 π π−− B． 5 [,] 66 ππ −− C．[,0] 3 π − D．[,0] 6 π − 解析：) 3 sin(2)( π −=xxf 因 ⎥ ⎦ ⎤ − ⎢ ⎣ ⎡− ∈− 3 , 3 4 3 π π π x 故 ⎥ ⎦ ⎤ − ⎢ ⎣ ⎡− ∈− 3 , 2 1 3 π π π x 第 9 页 共 16 页 得]0, 6 1π ⎢ ⎣ ⎡− ∈x 选 D 6． 设函数( )f x定义在实数集上， 它的图像关于直线1x =对称， 且当1x ≥时，( )31 x f x =−， 则有（B） A． 132 ( )( )( ) 323 fff − + 1 1 1 0 1 1 x x x x 01，对于任意实数x都有 ( )0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（C） A．3 B． 5 2 C．2 D． 3 2 解 析 ：0(0)f' 2)( '=+=bbaxxf对 于 任 意 实 数x都 有( )0f x≥得 04b 04b 0 22 ∴≤∴≤−cacaca 2111 2 1 )0( ' ) 1 ( =+≥+≥+ + = ++ = b ac b ca b cba f f 当取 a=c 时取等号。

选 C 10．在平面直角坐标系xOy，已知平面区域{( , )|1,Ax yxy=+≤且0,0}xy≥≥，则平面 第 10 页 共 16 页 区域{(,)|( , )}Bxy xyx yA=+−∈的面积为（B） A．2 B．1 C． 1 2 D． 1 4 解析： 令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥− ≥+ ≤ ∴ ⎩ ⎨ ⎧ −= += 0 0 1 vu vu u yxv yxu 作出区域是等腰直角三角形， 可求出面积112 2 1 =××=s 选 B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分不需要写出解答过程，请把答案直 接填空在答题卡相应位置上 ．．．．．．．． 11．若 13 cos(),cos() 55 αβαβ+=−=，.则tantanαβ= 1/2 . 解析： 5 1 sinsincoscos)cos(=−=+βαβαβα 5 3 sinsincoscos)cos(=+=−βαβαβα 求出 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = 5 1 sinsin 5 2 coscos βα βα 2 1 coscos sinsin tantan==∴ βα βα βα 12．某校开设 9 门课程供学生选修，其中, ,A B C三门由于上课时间相同，至多选一门，学 校规定每位同学选修 4 门，共有 75 种不同选修方案。

用数值作答） 解析：按照选一门或一门都不选分类：75 4 6 0 3 3 6 1 3 =+CCCC 13．已知函数 3 ( )128f xxx=−+在区间[ 3,3]−上的最大值与最小值分别为,M 。