中考数学复习指导：三角形的中线及中位线性质的运用举例.doc

直角三角形斜边上中线性质的运用在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质：直角三角形中，斜边上的中 线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.例 1 如图 1,己知，△ABC 中，CELAD 于 E, 于BM=CM.求证：ME=MD.分析要证明ME=MD首先想到的要证明两个角相等，可没有足够的条件，但有中点 和垂线，于是想到通过辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质证明.图1证明 延长M与CE交于N.因为CELAD于E, BDLAD D,所以 CE//BD,即 ZNCM=ZDBM,又ZCMN=ZBMD, BM=CM,所以△ CMN#4BMD,所以NM=DM,即M为ND中点.B因为CEA.AD于E,所以△NED为直角三角形，所以 ME= - ND,所以 ME=MD.2如图2, BD、CE•是高，G、F分别是BC、OE的中点，求证：FG-LDE.B图2分析 有三角形高就会想到直角三角形，有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点 性质和等腰三角形的性质，于是，连结DG、EG,可得DG、EG分别是RtABDC和RtABEC 的中线，可知AG厅是等腰三角形，进而由F是的中点，即FGLDE.证明 因为8。

CE*是高，所以ZBDC=ZBEC=9Q即和都是直角三角形.又因为G是8C的中点，所以DG=EG=、BC,即△GDE是等腰三角形.2因为F是匹的中点，所以GF是等腰三角形GDE的底边DE上的中线，所以由等腰三角形的“三线合一”,得GF也是底边E上的高线，所以FGLDE.例3如图3所示，点、E、F分别为正方形ABCD边AB、此的中点，DF、CE交于点、M, CE的延长线交例的延长线于G,试探索：（1） DF与CE的位置关系；（2） 与 DG的大小关系.图3分析（1）要探索DF与CE的位置关系，由图可以猜想到DF—CE，而由条件可以证明 △EBC#2FCD,则有ZECB=ZFDC,即E证明DF.LCE. （2）仍然通过观察分析图形，可以猜想MA=-DG,而事实上，由（1）可知△OMG是直角三角形，再由条件可得 2△GAE42CBE,即得GA = CB,于是利用直角三角形斜边上的中线性质即可证明.解（1） DFLCE.理由：因为点E、F分别为正方形ABCD边A8、BC的中点，所以ZB=ZFCD=90, BE=〉AB, CF= - BC,而 AB=BC=CD, B|J BE= CF, 2 2所以△ EBC丝△FC。

所以/ECB=/FDC,而 Z）FC+ZF>C= 90,所以/DFC+DFCM=90即 ZCMF= 90,所以 DF CE.（2） MA=-DG.理由：因为F是A8的中点，所以AE=BE, 2又ZGAE=/B, ZAEG=/BEC,所以△ GAEMCBE,所以 GA = CB.而由（1）可知△DA/G是直角三角形，所以MA=-DG.2例4已知：如图4, 6BCD中,对角线AC、8相交于点O, EFLAC, O是垂足，段分别交仙、CD于点、E、F, RBE=OE=-AE.求证：口48CD是矩形.2GE图4分析 要证口ABC是矩形，只要证AC=BD或4 = 08即可.由BE=0E=、AE,可作出RtAAOE斜边上的中线0G,这样可证得△ AOG丝△BOE,于是证得OA = OB.证明 取人E•的中点G,连结G,所以RtZkAOE中，OG=!Af=AG,因为 BE=OE= — AE,所以 0E=OG, AG=BE,即Z0GE=Z0EG, 2所以/AG0=Z0EB,所以△ AGO#以BEO,所以 OA = OB,又四边形ABCD是平行四边形，所以AC=20A, BD=20B,即AC=BD,所以Q48CO是矩形.综上所述，利用直角三角形斜边上中线的性质解题时，应依据条件，贯例图形，通过分 析，把问题转化为证明线段相等，或通过辅助线，构造出直角三角形，利用“直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半”，同时兼用全等三角形的知识，从而逐步逼近结论.在儿何证 明中，另外，熟练地识别图形、善于构造图形，并运用图形的性质进行推理论证是十分重要下面一道题目供同学们自己练习:如图6所示，在梯形ABCD中，AB//CD, ZC+ZD=90, E、F为AB、CD的中点.求证：CD-AB=2EF.F图6提示：作EM//AD交CD于M, EN//BC交C。

于/V.利用直角三角形斜边上中线等斜 边的一半.。