数同济第六版A课件.ppt

上页 下页(一) 向量代数 1、向量的有关概念与表示法（1） 坐标表示（2） 向量的模（3） 方向角与方向余弦 （4） 向量的投影 数同济第六版A1 上页 下页2、向量的运算3、向量间的关系 夹角 垂直 平行 加减法 数乘 数量积 向量积数同济第六版A2 上页 下页(二) 空间解析几何1、空间直角坐标系（1） 点的坐标；（2） 两点间距离公式2、曲面球面旋转曲面 锥面 柱面缺项的方程数同济第六版A3 上页 下页二次曲面椭球面椭球面椭圆抛物面椭圆抛物面 （马鞍面）双曲抛物面 单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面数同济第六版A4 上页 下页3、曲线 一般方程 参数方程 在坐标平面上的投影.设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线数同济第六版A5 上页 下页空间平面一般式点法式截距式三点式4、 空间直线与平面的方程重点是点法式重点是点法式数同济第六版A6 上页 下页为直线的方向 向量.空间直线一般式对称式或点向式参数式为直线上一点; 数同济第六版A7 上页 下页面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:5.线面之间的相互关系数同济第六版A8 上页 下页直线线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:数同济第六版A9 上页 下页平面:垂直：平行：夹角公式：面与线间的关系直线:数同济第六版A10 上页 下页二、导数与微分 1、偏导数2、高阶偏导数(求法:定义，一元函数求导公式 )（求法：逐次求导。

混合偏导数连续则 相等 ）3、复合函数求导法则数同济第六版A11 上页 下页一、极限与连续1、多元函数：定义域 图像 一张曲面3、多元函数的连续性2、二重极限求法1 1）用多元函数的连续性，连续点求极限即求函数值，）用多元函数的连续性，连续点求极限即求函数值，多元初等函数求极限即求函数值多元初等函数求极限即求函数值. .2 2）多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法）多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则夹逼准则，重要极限都可以应用则夹逼准则，重要极限都可以应用. .数同济第六版A12 上页 下页4、隐函数求导法5、全微分1）用复合函数求导法则两边求导数，例如2）公式法 例如确定二元隐函数 两边对 求导确定二元隐函数 数同济第六版A13 上页 下页三、应用1、方向导数2、梯度3、空间曲线切向量数同济第六版A14 上页 下页若有极值,且时有极大值.时有极小值.5、极值:求驻点 .4、空间曲面法向量时, 没有极值.数同济第六版A15 上页 下页6、条件极值 拉格朗日乘数法求函数在条件下的极值.构造函数:7 、几个基本概念的关系偏导数连续 可微分 连续 极限存在 偏导数存在 方向导数存在（解方程组可得条件极值的可疑点 ）数同济第六版A16 上页 下页1二重积分、三重积分的几何意义2性质线性性质、区域可加性、保号性、估值不等式、中值定理3. 重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性(1) 交换积分顺序(2) 利用对称性(3) 消去被积函数绝对值符号表示曲顶柱体的体积.数同济第六版A17 上页 下页1).化直角坐标积分形式为极坐标积分形式 X型区域，先对 积分Y型区域，先对 积分 3).怎样改换积分次序：先画四线确定积分区域直角坐标系下直角坐标系下: : 极坐标系下极坐标系下: : 1).怎样确定积分次序2).怎样确定上下限: 先积分穿线法、后积分取最值4. 二重积分的计算方法：积分次序：上下限的确定：先积分穿线法、后积分取最值一画三确定：画图、确定形式、确定次序、确定限。

先 ，后 2). 何时使用极坐标积分 积分区域为圆形、扇形或环形等数同济第六版A18 上页 下页5. 三重积分的计算方法： 一画三确定：画图、确定形式、确定次序、确定限1)直角坐标系 方法1. 三次积分法(投影法 :先一后二 )方法2. 截面法 (先二后一)2)柱坐标计算最后对 取最值 对 对 穿线法，积分次序是: 积分区域在坐标面的投影为圆形、扇形、环形（的一部分）何时用柱面坐标计算何时用柱面坐标计算采用柱面坐标来计算简单限的确定先对 最后对 再对 、 数同济第六版A19 上页 下页3)球坐标计算积分次序是：当积分区域由球面，球面与锥面，球面与球面等围成的区域， 而被积函数中含有的因子时,坐标来计算宜用球面何时用球面坐标计算三重积分：限的确定: 穿线法，对 取最值 对 数同济第六版A20 上页 下页6应用几何应用： 平面图形的面积：空间曲面的面积：或怎样确定？空间立体的体积：数同济第六版A21 上页 下页1. 对坐标的曲线积分特有的性质: 2.对坐标的曲面积分特有的性质: 曲面面积3.曲面积分几何意义数同济第六版A22 上页 下页4.4.计算方法计算方法参数化化成定积分，下限小于上限参数化化成定积分，下限起点，上限终点格林公式（平面上）斯托克斯公式(空间)与方向无关与方向无关 投影法变成二重积分投影变成二重积分, 添加正负号高斯公式检验连续性、封闭性、检验连续性、封闭性、方向性方向性连续性、封闭性连续性、封闭性 方向性方向性(投影时看 方程 是否含z，注意dS与dxdy(dydz,dzdx)关系）数同济第六版A23 上页 下页5.两类曲线积分之间的关系: 数同济第六版A24 上页 下页6.6.二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积 7.7.五个等价命题五个等价命题为某一函数的全微分的充要条件是方法3 凑微分法.方法2 利用 求积分.方法1 利用积分与路径无关的条件.怎样求该函数数同济第六版A25 上页 下页a、积分 的值与路径无关，是单连通区域, 、 在 内有一阶连续偏导数为全微分方程e、c、在 内b、对于 内任一封闭曲线，d、存在 内的可微函数8.8.两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系: : 数同济第六版A26 上页 下页关于积分的几点说明：1.线面积分计算前可先用,的方程将被积函数化简,而重积分不行!因为D,满足的是不等式2.对坐标的线(面)积分计算时可先考虑格林公式(高斯公式)3.遇到L,D()关于坐标轴(面)对称的积分(对坐标的积分除外!),会考虑被积函数的奇偶性将其化简而对坐标的积分不仅要考虑被积函数的奇偶性，还要考虑积分元素的正负(慎用!)数同济第六版A27 上页 下页一、数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法或极限形式用它法判别部分和极限数同济第六版A28 上页 下页3. 任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz审敛法: 若且则交错级数收敛 , 且余项若收敛 ,称绝对收敛若发散 ,称条件收敛(2) 常用来判断级数敛散性的已知级数等比级数、调和级数、P级数注: (1)正项级数审敛法可用于判断级数绝对收敛. 数同济第六版A29 上页 下页二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R : 再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .幂指数有间隔 用正项级数的比值审敛法或根值审敛法求半径幂指数连续注注 求幂级数的收敛域步骤： 求收敛半径、确定收敛开区间、讨论端点处 的敛散性数同济第六版A30 上页 下页三、幂级数和函数的求法 等比级数直接求等比级数直接求, ,非等比级数先设和函数，逐项积分或非等比级数先设和函数，逐项积分或逐项求导，讨论端点处的敛散性，若收敛和函数连续则逐项求导，讨论端点处的敛散性，若收敛和函数连续则包括端点包括端点四、四、函数展成幂级数:（间接法）可以直接引用的幂级数展开式 用已知的七个展开式及其收敛域，若有逐项求导或逐项积分要讨论端点处的敛散性，若端点处收敛、函数连续则包括端点。

数同济第六版A31 上页 下页五五. .周期为周期为2 2 的的函数傅立叶级数函数傅立叶级数 在间断点和连续点各收敛于什么在间断点和连续点各收敛于什么: : x 为间断点 x 为连续点数同济第六版A32 上页 下页周期为周期为2l 的函数的函数 f (x)的傅里叶级数的傅里叶级数在间断点和连续点各收敛于什么在间断点和连续点各收敛于什么: : x 为间断点 x 为连续点数同济第六版A33。