数学 第二章 函数 2.3 函数的应用(Ⅰ) 新人教B版必修1.ppt

第二章——函 数2.3　函数的应用(Ⅰ)[学习目标]1.明确一次函数、二次函数、分段函数可作为数学模型解有关应用题.2.初步掌握数学建模的方法.3.通过数学建模的应用，培养应用意识.1 预习导学 挑战自我，点点落实2 课堂讲义 重点难点，个个击破3 当堂检测 当堂训练，体验成功[预习导引]常见函数模型名称解析式条件一次函数模型y＝ax＋ba≠0二次函数模型一般式y＝ax2＋bx＋ca≠0顶点式y＝a(x－h)2＋ka≠0要点一　一次函数模型例1　大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55 ℃.(1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km的上空为y ℃，求0≤x≤12时，a，x，y间的函数关系式；解　由题意知y－a＝kx(0≤x≤12，k＜0)，即y＝a＋kx.∵当x＝12时，y＝－55，∴－55＝a＋12k，(2)当地球表面大气的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是多少？即当地球表面大气的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是8 ℃.跟踪演练1　如图所示，这是某电信局规定的打长途所需要付的费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需要付费______元；解析　由图象可知，当t≤3时，费都是3.6元.(2)通话5分钟，需要付费_____元；解析　由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付费6元.3.66(3)如果t≥3，则费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为_____________.解析　当t≥3时，y关于x的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，故y关于t的函数关系式为y＝1.2t(t≥3).y＝1.2t(t≥3)要点二　二次函数模型例2　某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：(1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略；(即收益最大的策略，其中收益＝销售收入－广告费用)解　∵广告费共5万元，设报纸广告费用x万元，则电视广告费用5－x万元，利润为w万元.∴R＝－2x2－(5－x)2＋13x＋11(5－x)－28(0＜x≤5)＝－3x2＋12x＋2(0＜x≤5).当x＝2万元时，Rmax＝14万元，此时电视广告费用为3万元.∴w＝14－5＝9(万元).即报纸广告费2万元，电视广告费3万元.(2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略(其中x1，x2∈N).解　∵广告费用不限，∴R(x)＝f(x)＋g(x)－28，∵x1，x2∈N，∴f(x)max＝f(3)＝21，g(x)max＝f(5)＝f(6)＝30.欲使ω最大，所以g(x)取最大值时x2＝5，此时ω＝21＋30－28－8＝15.即报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元时为最优广告策略.规律方法　在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题.跟踪演练2　心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43 (0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强.(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？解　y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；当13≤x≤30时，学生的接受能力逐步下降.(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？解　当x＝10时，y＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59.即第10分钟时，学生的接受能力为59.(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？解　当x＝13时，y取最大值.所以，在第13分钟时，学生的接受力最强.要点三　分段函数模型例3　某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)当x＞550时，P＝51.(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；解　当0＜x≤100时，P＝60；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？解　设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，当x＝500时，L＝6 000；当x＝1 000时，L＝11 000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元.规律方法　分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值.(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；解　当0＜x≤5时，产品全部售出，当x＞5时，产品只能售出500件.(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？∴当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，f(x)max＝10.781 25(万元).当x＞5时，f(x)max＝12－0.25×5＝10.75(万元).∴当这种产品的年产量为475件时，利润最大.1 2 3 4 51.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　)A.一次函数 B.二次函数C.分段函数 D.无法确定解析　由图象知，在不同时段内，路程折线不同，故函数模型为分段函数.C1 2 3 4 52.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数关系式为(　　)解析　由题意设y＝kx(k≠0)，将(36,108)代入解析式可得k＝3，故y＝3x，考虑到含氧量不可能为负，可知x≥0.A1 2 3 4 53.化工厂在一月份生产某种产品200 t，三月份生产y t，则y与月平均增长率x之间的关系是(　　)A.y＝200x B.y＝200x2C.y＝200(1＋x) D.y＝200(1＋x)2解析　一月份为200 t，二月份为200x＋200＝200(x＋1)t，三月份为200(x＋1)x＋200(x＋1)＝200(x＋1)(x＋1)＝200(x＋1)2t，即y＝200(x＋1)2.D4.用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(　　)A.3 m B.4 m C.6 m D.12 m∴S矩形＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18.∴当x＝3 m时，矩形的面积最大.A1 2 3 4 5x5.一个水池有60 m3水，现要将水池中的水排出，如果排水管每小时排出的水量为3 m3，则水池中余水量Q与排水时间t之间的函数关系式为____________________.解析　∵排水管每小时排出的水量为3 m3，∴t小时排出的水量为3t m3(t≥0).∵水池中原有水60 m3，∴3t≤60，∴t≤20，∴水池中余水量Q＝60－3t(0≤t≤20).Q＝60－3t(0≤t≤20)51 2 3 4课堂小结1.解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式.求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性.2.数学建模的过程图示如下：。