数学专题：函数的值域最值(家教版).doc

函数的值域最值函数的值域最值知识归纳知识归纳 一、相关概念一、相关概念1 1、值域：、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域Axxfy，)(}/)({Axxf2 2、最值：、最值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I I，如果存在实数 M 满足：①对于任意的x∈I I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I I，使得f(x0) = M那么，称 M 是函数y=f(x)的最大值记作 max0yf x最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I I，如果存在实数 M 满足：①对于任意的x∈I I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I I，使得f(x0) = M那么，称 M 是函数y=f(x)的最小值记作 min0yf x注意：注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I I，使得f(x0) = M；② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I I，都有f(x)≤M（f(x)≥M） 求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同若函数的最大、最小值求出来了，若函数的最大、最小值求出来了， 值域也就知道了，值域也就知道了，反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于 求出来了，因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

求出来了，因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已二、二、 确定函数值域的原则确定函数值域的原则1、当函数用表格给出时，函数的值域指表格中实数的集合；)(xfy yx0123( )yf x1234则值域为{1，2，3，4}2、函数的图像给出时，函数的值域是指图像在轴上的投影所覆盖的实数)(xfy y的集合；y3、函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；)(xfy 4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定三、基本函数的值域三、基本函数的值域1、一次函数的定义域为 R，值域为 R； ）（0abkxy2、二次函数的定义域为 R，）（02acbxaxy]44(0);44[022abac，，a，abac，a值域是时值域是时3、反比例函数的定义域为{x|x0}，的值域为)0( kxkyRyyy且, 0|4、指数函数的值域为) 10(aaayx且), 0( 5、对数函数的值域为 R；) 10(logaaxya且6、分式函数的值域为cxbaxyRyayy且,|7、正弦函数,余弦函数的值域都是。

xysinxycos] 1 , 1[8、正切函数,的值域为 R),2(tanZkkxxy其中cot x y ),(Zkkx四、求函数值域的方法四、求函数值域的方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三其类型依解析式的特点分可分三 类：类：(1)(1)求常见函数值域；求常见函数值域；(2)(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)(3)求由常见函数作求由常见函数作 某些某些““运算运算””而得函数的值域而得函数的值域求函数值域的常用方法：求函数值域的常用方法： 观察法、直接法、配方法、分离变量法、单调性法、导数法观察法、直接法、配方法、分离变量法、单调性法、导数法 数形结合法（图像法）导数法数形结合法（图像法）导数法 数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、不等式法等法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域无论用什么无论用什么方法求最值，都要检查方法求最值，都要检查““等号等号””是否成立，不等式法及判别式法尤其如此。

是否成立，不等式法及判别式法尤其如此常用方法：常用方法：（（1 1）观察法）观察法( (用非负数的性质，如：用非负数的性质，如：；；；；等等) )20x 0x 0(0)xx例如：例如：求下列函数的值域：;232yx { |2}y y 变式：变式：421(1),{ |4}yxxy y （（2 2）直接法：利用常见函数的值域来求，）直接法：利用常见函数的值域来求， 例如例如 ：下列函数中值域是（0，+ ）的是 （ ）A． B. C. D. 1 2yx11( )5xy21yx1(0)yxxx解析：解析：通过基本函数的值域可知：A 的值域为[0, + ）,C 的值域为[0,1],D 的值域为[2, + ). 答案：答案：B B（（3 3）配方法）配方法：常可转化为二次函数型，配成完全平方式，根据cxbfxaxFf)()()(2变量的取值范围，然后利用二次函数的特征来求最值；例：例：求值域：； 21,yxxxR[ 1,3];(1,5];[ 5, 1];xxx  解析：解析：通过配方可得 ；开口向上，所以当时，函数取最小值213()24yx1 2x ；3 4y 当 x时，在时，函数的最小值为；最大值在 x=3 时取到，3 , 11 2x 3 4y ；(3)13f故其值域为[,13]; 3 4练习：练习： (1,5];[ 5, 1];xx 例例：求函数的值域。

)4, 0(422xxxy解：解：本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:配方得:利用二次函数的相)0)((4)(2xfxxxf)4, 0(4)2()(2xxxf关知识得,从而得出：4, 0)(xf2, 2y说明：说明：在求解值域(最值)时,遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为：0)(xf变式变式 1 1：：求函数 y=的值域.（答：（0,5]）34252 xx变式变式 2 2：：当时，函数在时取得最大值，则]2 , 0( x3) 1(4)(2    xaaxxf2 x的取值范围是___（答：） ；a21  a变式变式 3 3：： （1）求最值 （-----动轴定区间）223,[2,4]yxaxx（2）求的最值（----------定轴动区间）223,[ ,2]yxxxt t变式变式 4 4：已知：已知 sinxsinx＋＋sinysiny＝＝，则函数，则函数 μμ＝＝sinxsinx－－coscos2 2y y 的最大值为的最大值为________________；最小值为；最小值为1 3__________________。

答案：4 11[ ,]9 12解析：解析：2221112sinsin(sin),sin[,1]32123uyyyy （（4 4）换元法）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可 将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例例、求函数的值域xxy41332解解：由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：x413xt4130t变形得即：)0(3213 41322 tttytx)0(8) 1(22tty]4 ,(y点评点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误变式变式 1 1：：求函数的值域. xxy1424 ,解析：令解析：令 （t0） ，则，故1tx21xt ；用配方法求的 y 的值域为222(1)4 ,y2t4t2ytt 经整理得4 ,变式变式 2 2：：的值域为_____（答：） ； 22sin3cos1yxx17[ 4,]8变式变式 3 3：： 的值域为____（答：） ；249yxx[1,3 24]变式变式 4 4：：函数的值域为____（答： [，1]）( (提示：三角代换提示：三角代换) )21xxy2变式变式 5 5：：求函数的值域（答：[,8]）(提示：令 t=)42(5loglog241241xxxy25 4，)。

1 4log x1t[ 1,]2  变式变式 6 6：：已知是圆上的点，试求的值域),(yxp422 yxxyyxt322解：解：在三角函数章节中我们学过：注意到可变形为：1cossin22422 yx令则1)2()2(22yx)2 , 0[,sin2,cos2yx)即故2sin64sin2cos234t4 , 0[2又] 1 , 1[2sin]10, 2[t例：例：试求函数的值域xxxxycossincossin解解：题中出现而由此xxsincosxxxxxxcossin21)cos(sin, 1cossin222联想到将视为一整体，令由上面的关系式易得xxsincos]2,2[cossinxxt故原函数可变形为：21cossincossin212 2txxxxt]2,2[1) 1(21, 2) 1(2])2, 2[(21222 ttytytttyQ即]221, 1[ y（（5 5）分离常数法）分离常数法（（分式转化法）；；对分子.分母有相似的项某些分式函数，可通过分离常数法，化成(常数)的形式来求值域． )(xfky为k例例：求函数的值域。

122xxxxy解解: :观察分子、分母中均含有项,可利用部分分式法；则有xx 243)21(11111 122222 xxxxx xxxxy不妨令：从而)0)(()(1)(,43)21()(2xfxfxgxxf,43)(xf注意：注意：在本题中若出现应排除,因为作为分母.所故0)(xf)(xf3( )(0, ]4g x B1[,1)3y 另解：另解：观察知道本题中分子较为简单,可令,求出的值域,xxxxxxy222 '111'y进而可得到 y 的值域 （（6 6）逆求法（反求法））逆求法（反求法）：：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，yxx得出的取值范围；常用来解，型如：y),(,nmxdcxbaxy例：例：求函数的值域12 xxy解：解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出 x,从而便于求出反函数反解得 即12 xxyyyx2xxy2反函数的定义域即是原函数的值域故函数的值域为：), 2()2 ,(Uy变式变式 1 1：：函数y=的值域是（ ）2211 xx A.［－1，1］ B.（－1，1］ C.［－1，1） D.（－1，1）解法一：解法一：y==－1. ∵1+x2≥1，∴0＜≤2.∴－1＜y≤1.2211 xx 212 x212 x解法二：解法二：由y=，得x2=.∵x2≥0，∴≥0，解得－1＜y≤1.2211 xx  yy  11 yy  11解法三：解法三：令 x=tanθ（－＜θ＜） ，则y==cos2θ2π 2π 22tan1tan1 .∵－π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y≤1.答案：B变式变式 2:2:求函数的值域3025xyxx变式变式 3:3:求函数，及的值域 10101010 xxxxy122xx y（（7 7）利用判别式法）利用判别式法 针对分式型，尤其是分母中含2 222(0abxc。