从记数法到复数域：数系理论的历史.doc

从记数法到复数域：数系理论的历史从记数法到复数域:数系理论的历史纪志刚，上海交通大学　　一、 记数法、位置制和零　　人类在进化的蒙昧时期，就具有了一种“识数”的才能，心理学家称这种才能为“数觉”（perception of number)动物行为学家则认为，这种“数觉"并非为人类所独有人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记数方法《周易·系辞下》记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小,小结其绳结之多少，随物众寡”.以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本直到1826年,英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数器随着人类社会的进步，数的语言也在不断发展和完善数系发展的第一个里程碑出现了：位置制记数法所谓位置制记数法,就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下,不同的文明创造了迥然不同的记数方法如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度-阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统　　最早发展的一类数系应该是简单分群数系（simple grouping system），如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例，它是10进的，但却不是位置的.在公元前3000到2000年之间，巴比伦人发展了60进位的定位数系(positional numeral system)，它采用了位置制，却不是10进的。

而最重要和最美妙的记数法则是10进位位置制记数法　　法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,1749 – 1827）曾经写道：　　用十个记号来表示一切的数,每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度.这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单,以致我们忽视了它的真正伟绩但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便,才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了　　拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他张冠李戴，把这项发明归之于印度现已有充分而确凿的史料证明，10进位位置制记数法最先产生于中国这一点也为西方的一些数学史家所主张李约瑟就曾指出“在西方后来所习见的‘印度数字’的背后,位置制已在中国存在了两千年.”不过，10进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧记数法的进步是与计算工具的改进相联系的研究表明，10进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的　　“0”作为记数法中的空位，在位置制记数的文明中是不可缺少的.早期的巴比伦楔形文字和宋代以前的中国筹算记数法,都是留出空位而没有符号。

印度人起初也是用空位表示零，后来记成点号“· ”，最后发展为圈号印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家.13世纪初,意大利的商人斐波那契（Leonado Fibonacci， 1175 - 1250）编著《算经》(Liber Abacci，1202），把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲印度数码和10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后,在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色二、大数记法  　　古代希腊人曾经提出一个问题:他们认为世界上的沙子是无穷的，即使不是无穷,也没有一个可以写出来的数超过沙子的数.阿基米德(Archimedes，BC287 — 212)的回答是：不.在《数沙术》中，阿基米德以万（myriad）为基础，建立新的记数法，使得任何大的数都能表示出来他的做法是：从1起到1亿（原文是万万，myriad myriads, 这里按照中文的习惯改称为亿)叫做第1级数；以亿（108）为第2 级数的单位，从亿到亿亿（108)2叫做第2级数；在以亿亿为单位，直到亿亿亿（108)3叫做第3级数.直到第1亿级数的最后一数亿亿 阿基米德算出充满宇宙的沙子的数目不过是1051,即使扩充到“恒星宇宙”，即以太阳到恒星的距离为半径的天球，也不过只能容纳1063个沙粒！ 　　同样的问题也出现在中国古代。

汉代以前，数皆10进，以10万位亿韦昭解《国语·郑语》第十六：“计亿事,材兆物,收经入，行垓极”注称“计,算也；材，裁也贾唐说皆以万万为亿，郑后司农云：十万曰亿,十亿曰兆,从古数也."《数术记遗》中则详细记载了对大数的一整套命名和三种进位方法.《数术记遗》称:　　黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉.十等者亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载；三等者，谓上、中、下也其下数者十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也.中数者，万万变之，若言万万曰亿、万万亿曰兆，万万兆曰京上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也.从亿至载，终于大衍　　《数术记遗》中的“大数之法”的数学意义并不仅仅在于它构造了三种记数方法,更为重要的是它揭示了人们对数的认识从有限走向无限的艰难历程客观的需要和数学的发展都促使人们去认识和把握越来越大的数.起初，对一些较大的数，人们还可以理解它，还能够利用已有的记数单位去表示它但是,随着人们认识的发展，这些大数也在迅速的扩张，原有的记数单位难以为用.人们不禁要问：数有穷乎?　　这是数系发展中的需要回答的重大命题.《数术记遗》中记载的徐岳和他的老师刘洪的对话,精彩的阐明了“数穷则变"的深刻道理：　　徐岳问曰:数有穷乎？　　会稽(刘洪）答曰：吾曾游天目山中，见有隐者，世莫知其名,号曰天目先生,余亦以此意问之。

先生曰：世人言三不能比两，乃云捐闷与四维.数不识三，妄谈知十不辨积微之为量，讵晓百亿于大千？黄帝为法,数有十等.……从亿至载，终于大衍.　　会稽问曰：先生之言,上数者数穷则变，既云终于大衍，大衍有限，此何得无穷？　　先生答曰：数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环循环之理，且有穷乎！　　天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循环之理”，以有限来认识无限,而指引这一途径的重要思想是“言重则变”即便是今日,“数穷则变”这一朴素的辩证思维所蕴涵的深邃哲理仍值得人们深思　三、 有理数系　　位置制记数法的出现,标志着人类掌握的数的语言，已从少量的文字个体,发展到了一个具有完善运算规则的数系人类第一个认识的数系,就是常说的“自然数系”但是，随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也就逐渐显露出来首先，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系［2］ ,因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍,而无法表示它的部分.同时，作为运算的手段，在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算.这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补　　有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征.巴比伦的分数是60进位的,埃及采用的是单分数(unit fraction），阿拉伯的分数更加复杂:单分数、主分数和复合分数。

这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前,直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献.　　原始的分数概念来源于对量的分割如《说文·八部》对“分"的解释：“分，别也从八从刀，刀以分别物也.”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的其“合分术”有云：“实如法而一.不满法者，以法命之"这句话的今译是：被除数除以除数.如果不能除尽，便定义了一个分数.中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术"把握住了分数算法的精髓：通分刘徽在《九章算术注》中所言:　　众分错杂，非细不会乘而散之，所以通之通之则可并也凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同同者，相与通同共一母也齐者，子与母齐，势不可失本数也　　有了齐同术，就可将分数化异类为同类，变相违为相通刘徽深得其中奥秘，称:“然则齐同之术要矣错综度数，动之斯谐，其犹佩觹解结,无往而不理焉乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎"　　容易证明，分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的为了使得减法运算在数系内也同行无阻,负数的出现就是必然的了盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。

这就产生一种误解:似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的历史的事实表明：负数之所以最早为中算家所引进，这是由中国古代传统数学中，算法高度发达和筹算机械化的特点所决定的负数的概念和算法首先出现在《九章算术》“方程”章,因为对“方程”进行两行之间的加减消元时,就必须引入负数和建立正负数的运算法则.刘徽的注释深刻的阐明了这点:　　今两算得失相反,要令正负以名之正算赤，负算黑，否则以斜正为异方程自有赤黑相取，左右数相推求之术.而其并减之势不得广通，故使赤黑相消夺之……故赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率然则其正无入负之，负无入正之,其率不妄也.　　负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根如丘凯（Nicolas Chuquet ，1445-1500）和斯蒂费尔（Stifel ，1486-1567) 都把负数说成是荒谬的数，是“无稽之零下”卡丹(Cardan,1501- 1576) 把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。

韦达（Vieta， 1540— 1630） 完全不要负数，巴斯卡（Pascal,1623- 1662） 则认为从0减去4纯粹是胡说　　负数是人类第一次越过正数域的范围，前此种种的经验，在负数面前全然无用.在数系发展的历史进程中，现实经验有时不仅无用，反而会成为一种阻碍我们将会看到,负数并不是惟一的例子　四、 实数理论的完善　　无理数的发现，击碎了Pythagoras学派“万物皆数"的美梦同时暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却漏出了许多“孔隙”,而且这种“孔隙"多的“不可胜数”这样，古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底的破灭了.它的破灭，在以后两千多年时间内，对数学的发展,起到了深远的影响不可通约的本质是什么?长期以来众说纷纭.两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释，而被认为是不可理喻的数15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J Kepler， 1571— 1630）称它们是“不可名状”的数这些“无理”而又“不可名状"的数，找到虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实在在的数,却一直是个困扰人的问题。

　　中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无理根数对于这种“开之不尽”的数，《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受，刘徽注释中的“求其微数”,实际上是用10进小数来无限逼近无理数这本是一条完成实数系统的正确道路，只是刘徽的思想远远超越了他的时代，而未能引起后人的重视.不过，中国传统数学关注的是数量的计算，对数的本质并没有太大的兴趣李)而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了既然不能克服它,那就只好回避它此后的希腊数学家，如欧多克斯（Eudoxus)、欧几里得（Euclid)在他们的几何学里,都严格避免把数与几何量等同起来欧多克斯的比例论(见《几何原本》第5卷），使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍，但就在这以后的漫长时期中，形成了几何与算术的显著分离　　17、18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力，恰恰是人们对微积分基础的关。