初中数学中考复习讲义练习：面积法.pdf

面 积 法【规律总结】所谓面积法，就是利用面积相等或者成比例，来证明其他的线段相等或为成比例线段的方法相关定理(1)等底等高的两个三角形面积相等；(2)等底(或等高)的两三角形面积之比等于其高(或底)之比；(3)在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；(4)若在同一线段的同侧有底边相等面积相等的两个三角形，则连结两个三角形的顶点的直线与底边平行典例分析】D_例1、如图，四边形ABC是菱形，对角线AC,B D 相交于点ADEI 力B 于点 E,若 aC=8cm,BD=6 cm,则 DE=()/A.5V3cm”一B.2V5cmC.cmD.y cm【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用.注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高.首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边上的高O E 的长即可.【解答】解：四边形A B C D 是菱形，AC=8cm,BD=6cm,.S菱 形4BCD=乂B D=x 6 x 8=24,四边形ABCD是菱形，.-.AC1BD,0 A 0 C lA C 4 cm,OB=OD=3cm,在直角三角形 AOB 中，AB=VOB2+OA2=V32+42=5cm,_ S 橙形ABC。

21-AB T故选C.【解析】【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型.利用菱形的面积公式：Y AC-BD-BC-AE,即可解决问题；【解答】解：四边形AB C是菱形，AC 1 BD,OA=OC=3,OB=OD=4,由勾股定理得：AB=BC=5,1V-AC-BD =BCAE,2故答案为：g.例3、如图，在AAB C中，乙4=90是 AB 边上一点，4DCB为等腰三角形，过 BC上一点P,作PE 1 A B,垂足为点E,作PF 1C D,垂足为点F,已知4DB=1.3,BC=6爬,求PE+PF的长.【答案】解：为等腰三角形，P E 14B,PF 1 CD,AC LBD,1 S CD=IBD-PE+ICD-PF=BD-AC,A PE+PF AC,设2D=x,BD=CD=3x,AB=4%,v AC2=CD2-AD2=(3x)2-*=8 x2；v AC2=BC2-A B2=(6V6)2-(4x)2,x-3AC=2-/2x=6V2,PE+PF 6V2.【解析】本题主要考查了面积法和勾股定理，把求两条边的长的和转变为求直角三角形的边是解答本题的关键.根据三角形的面积判断出PE+PF的长等于AC的长，这样就变成了求AC的长；在Rt ACD和Rt 力B C中，利用勾股定理表示出A C,解方程就可以得到A。

的长，再利用勾股定理就可以求出AC的长，也就是PE+PF的长.【好题演练】一、选择题41.如图，R tA A B C,LACB=90,AC=3,BC=4,将边 AC;、E沿 CE翻折，使点A落在A 8上的点处；再将边8 c 沿 CF翻；折，使点8 落 在 的 延 长 线 上 的 点 B 处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,贝 UB F长为()BA.更 B.1 C.J D-2 5 5【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键.首先根据折叠可得CD=AC=3,BC=BC=4,/.ACE=乙DCE,Z.BCF=ABCF,CE 1A B,然后求得 ECF是等腰直角三角形，进而求得NB FD=90,CE=EF=当，ED=AE=从而求得B D=1,尸=|，在R tA BD F中，由勾股定理即可求得BF的长.【解答】解：根据折叠的性质可知CD=AC=3,BC=BC=4,.ACE=/.D C E,乙BCF=乙BCF,CE LA B,B D=4-3=1,乙DCE+乙BCF=ACE+乙BCF,ACB=90,乙 ECF=45,.ECF是等腰直角三角形，EF=CE,Z.EFC=45,乙 BFC=乙 BFC=135,乙 BFD=90,-SABC=AC-BC=A B-CE,：.AC-BC=AB-CE,根据勾股定理求得力B =5,12*,CE j-1 2I-QEF=y,ED=AE=AC2-CE2=DF=EF-ED=I，BF=y/BD2-D F2=1.故选D2.在AAB C中，。

是BC延长线上一点，MB C=mBD,AB=nAC,过点作直线A8、A C的垂线，垂足分别为E、F,贝UDE：尸的比值为()A.1：n(l m)B,1：n(m 1)C.1：m(l n)D,1：n(m +1)【答案】A【解析】【分析】本题考查了面积法，利用同一个三角形的面积的两种表示等到等式是解题的关键.分别用DE、歹表示SM BD SA C D=-A C-D F,通过线段比可知两三角形面积关系，进而得到?4 C-0 F =(l z n)/a B-)E,从而得到DE和尸关系即可解答.【解答】解：连接4C,BC=m BD,A CD=(l-m)D,S&ACD=(1-1i又1 S-8O=2,DE9 SACD=2 C,DF,Y AC-DF=AB-DE,AB=n-AC,4c OF=(1 m)n-AC DE D F=(1 m)n-DEDE 1(、故选：A.3.如图，在RtAABC中，乙4cB =90AC=6,BC=8,A是NB AC的平分线.若 P,分别是AO和 AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()cA.Y B.4 C.5 D.y【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点尸和。

的位置.过点C 作CM，4 8 交 A 3于 点交AD于点P,过点尸作PQ 1 4C于点由AD是NB 4C的平分线.得出P Q=P M,这时PC+PQ有最小值，即 CM的长度，运用勾股定理求出A B,再 运 用 为 谢=|4 8-优=1 5 8得 出 CM的值，即PC+PQ的最小值.【解答】解：如图，过 点 C 作CM 1 4 B交 AB 于点M,交 AO于点P,过点尸作PQ，AC于点4D是NB 4C的平分线.PQ=P M,这时PC+PQ有最小值，即 CM的长度，AC=6,BC=8,/.ACB=90,AB=V4C2+BC2=V62+82=10.1 1-SA A B C=-A B-C M-A C-B C,即PC+PQ的最小值为故选A.4.如图，在菱形AB CZ）中，AC=2V6,BD于点X,则的 长 为（）A.3B.2A/3C.2D.2V2【答 案】D【解 析】【分 析】此题主要考查了菱形的面积公式以及菱形的性质以及勾股定理的运用，得出菱形边长是解题关键.利用菱形的对角线互相平分线且垂直即可得出菱形的边长，再利用菱形面积公式求出即 可 求 出 的 长.【解 答】解：,在菱形 中，AC=2，BD=2V3，AO=CO=s6,BO-DO-：BD-y/3,AB=A/3+6=3,.：D H X 3=IA C X B D,故 选：D.5.如 图，口/lB CD的对角线AC与2。

相 交 于 点O,AE1BC垂 足 为E,AB=遮,AC=2,D.厚7【答 案】解 析】【分 析】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，由勾股定理的逆定理可判定84是直角三角形，利 用 三 角 形AB C面积的不同表示方法，建立方程求出AE的长.【解 答】解：ac=2,BD=4,四边形AB CD是平行四边形，-4AC=1,BO=-BD=2,2 2AB=V3,AB2+A 02=BO2,4 BAC=90,.在Rt B 4C 中，BC=yjAB2+AC2=J(V 3)2+22=77,1 1SBAC=-x AB x AC=-x BC x ZE,V3 X 2=y/7AE,A b 2y2iAE=-,7故选D6.如图，在平面直角坐标系中RtA AB C的斜边B C在 x 轴上，点 B坐标为(1,0),AC=2,乙48c=30把母 AB C先绕2 点顺时针旋转180然后再向下平移2 个单位，则 A点的对应点4 的 坐 标 为()A.(4,2 V3)C.(-2,-2+V3)【答案】D【解析】【试题解析】B.(4,2+V3)D.(一 2,一 2 一 V3)【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用旋转的性质和平移的性质是解答此题的关键.作2 0 1BC，并 作 出 把 A B C 先 绕 8点顺时针旋转1 8 0。

后所得&BG，然后依据旋转的性质解答即可.【解答】解：如图所示，作4CBC,并作出把R t A A B C 先绕8点顺时针旋转1 8 0后所得A A B C 1，,A C=2,乙 A B C=3 0 ,B C =4,:.A B=2 V 3,“AB AC 2A/3X2/TT A D =-=-=V 3，BC 4B D =yjA B2-AD2=3.,:点B坐标为（1,0）,4 点的坐标为（4,百）.v B D=3,B D】=3,A 坐标为（-2,0）,4坐标为（2,一遮）.再向下平移2 个单位，A的坐标为（一 2,代-2）.故选D二、填空题7.如图，Rt/kABC中，ZC=90,AC=3cm,BC=4cm,是AB上一点，DE 1 AC于点E,DF 1 BC于点凡连接EF,则EF的最小值为 cm.【答案】2.4【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出C D 1 4 B 时，线段E尸的值最小是解题的关键，难点在于利用等面积法列出方程.【解答】解：如图，连接CO.v Z.ACB 90,AC=3 cm,BC=4 cm,AB=V32 4-42=5(cm),v DE L A C,DF 上 BC,ACB=90,四边形CFDE是矩形，EF=CD.由垂线段最短可得，当CD 1 4 8 时，线段C O 的值最小，即线段E尸的值最小,此时，Sa A B CB C-AC=-AB-CD,即(x 4 x 3=之 x 5 CD,解得CD=2.4 cm,EF最小=2.4 cm.故答案为2.4.8.若A 4B C三边的长a,b,c 均为整数，且工+4,b 4,a-4=1,2,4,7,14,28,b 4=28,14,7,4,2,1,a=5,6,8,11,18,3 2,b=32,18,11,8,6,5,v a+h c=8,.c=29,16,11,11,16,29,(1)当 a=5,h=32,c=29 时，p=*：+2 9=33,s=(p(p a)(p b)(p-c)=733(33-5)(33-32)(33-29)=4V231;(2)当a=6,b=18,c=16时，p=6+1+16=20,S=720(20-6)(20-18)(20-16)=8V35;(3)当a=8,b=11,c=11 时，p=I =15,S=715(15-8)(15-11)(15-11)=4V105;(4)当a=11,b=8,c=11 时，p=-=15,S=715(15-11)(15-8)(15-11)=4 V 1 0 5;(5)当a =1 8,b=6,c=1 6时，p=茨=2 0,s=7 2 0(2 0 -1 8)(2 0 -6)(2 0 -1 6)=8 V 3 5;(6)当a =3 2,b=5,c=2 9时，p=3 3,S=7 3 3(3 3 -3 2)(3 3 -5)(3 3 -2 9)=4 V 2 3 1.可见最大值为4 V r，最小值为故答案为4夜 五，4 V 1 0 5.9.如 图，矩 形A B C。

中，E为边A B 上一 点,将 A D E沿E折叠，使 点A的 对 应 点 厂 恰 好 落 在 边B C上，连 接A F交DE于点 N,连接B N.若D E =3后 tan乙 B NF =,贝!=2【答 案】3 V 5【解 析】【分 析】本题考查了折叠的性质，圆周角定理，矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.由折叠的性质得出NBNF=NBEF,由条。