2022年华杯赛初二辅导第十讲高斯函数.pdf

多练出技巧巧思出硕果华杯赛初二第十讲 高斯函数一、 知 识概要1. 定义： 设xR，用x表示不超过x的最大整数 . 则yx称为高斯函数，也叫取整函数. 显然，yx的定义域是R，值域是 Z. 任一实数都能写成 整 数 部 分 与 非 负 纯 小 数 之 和 ， 即01xxaa， 因 此 ，xx1x，这里，x为x的整数部分，而xxx为x的小数部分 . 2．性质（ 1）函数yx是一个分段表达的不减的无界函数，即当12xx时，有12xx；（2）nxnx，其中nZ；（3）11xxxx；（4）若xyn，则,,xna ynb其中0,1a b；（5）对于一切实数,x y有xyxy；（6）若0,0xy，则xyxy；（7）1xxx（8）若nN，则xxnn；当1n时，xx；（x不是整数时）（x是整数时 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果（ 9）若 整数,a b适 合abqr（0, ,bq r是整 数，0rb） ， 则aqb；（10）x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有xn个；（11）设p为任一素数，在!n中含p的最高乘方次数记为!p n，则有：12!mmmnnnp npnpppp．证明：由于p是素数，所有!n中所含p的方次数等于!n的各个因数1,2,,n所含p的方次数之总和。

由性质 10 可知， 在1,2,,n中，有np个p的倍数，有2np个2p的倍数，有3np个3p的倍数，，当1mmpnp时，120mmnnpp，所以命题成立．高斯函数是非常重要的数学概念它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用．解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果等．二、 解 题示例例1若 实 数r使 得1 92 09 1546100100100rrr， 求100r．解：等式左边共73 项，且因192091,,,100 100100都小于 1，则每一项为r或1r，注意到73754673 8，故必有7r进一步有：73735546，所以原式左边从第1 项至第 38 项其值为7，自第 39 项以后各项值为8即：56577;8.0.568,0.5787.437.44100100rrrrr例 2，计算：100123101nn的值 ．解：由题意得：对于任意的2310123231,2,,100,,101101101nnnnZ，10012310123 1012323231;22.22 50 1100101101101101101nnnnnn说明：本例采用了分组凑整的思想．例 3，对自然数n及一切实数x，求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果121nxxxxnxnnn．（厄尔密特等式）证明：对任意的自然数n，构造函数121nfxnxxxxxnnn，则：112111nfxnxxxxxfxnnnn， 所以， 函数fx为周期函数，其周期1Tn， 因此，原命题只需证0fx在区间10,n内成立即可。

而这一结论显然是成立的．例 4 对任意的nN，证明：1414243nnnnn．证 明 ： 首 先 证 明41143nn． 令411xn， 则241xn．当2xm mZ时，22441xmn，于是21mn，那么2244443xmnn；当21xmmZ时，2244141xmmn，2mmn即21mmn，那么22414543xmmnn．所以命题成立，也就是：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果41414243411nnnnn．故：414243nnn．又：22121221241nnnnnnnn221212212143nnnnnnnn41143nnnn1414243nnnnn注：本例的证明采用了“两边夹”法则．例 5，解方程5615785xx．解 ： 令1575xn nZ， 则5715nx， 带 入 原 方 程 整 理 得 ：1 03940nn， 由 高 斯 函 数 的 定 义 有10390140nn， 解 得 ：1133010n，则0,1nn．若0n，则715x；若1n，则45x．注：本例中方程为uv型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解 ．例 6，解方程1142xx．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果解：由高斯函数的性质，得：111142xx，即17x，令1111,42xxyy，在同一坐标系中画出二者的图象：分析两者在区间1,7内的图象，显然，当1,1x时，104x而112x，方程不成立；当1,3x时，11042xx；当3,5x时，11142xx；当5,7x时，114x而122x，方程不成立．综上所述，原方程的解是：15xx．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果注：本例为uv型方程。

首先由11uv，求出x的取值区间但此 条 件 为 原 方 程 成 立 的 充 分 但 不 必 要 条 件 ， 故 还 须 利 用ufx和vg x的图象进行分析才能得到正确结果．例 7 解方程333xx．解：对于次数较高的含x的方程，分区间讨论不失为一种有效的方法若1x，则3331210.xxxxx原方程不成立；若10x，则33333131 1xxxx原方程不成立；若01x，则33333033.xxxx原方程不成立；若12x， 则33331.xxx原 方 程 即 为334x； 解 得 ：343x；若2x，则3333324.xxxxxxx原方程不成立；所以，原方程的解为：343x x例 8 证明：若p是大于 2 的质数，则1252pp被p整除 ．证明：本例采用“构造法”．由二项式定理知：对于任意的, 2525pppZ是一个整精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果数，又因为1251,252525pppp， 于是有：112244212252225252 5pppppppppCCC, 其中p是质数。

因为1212,4,,1!kpp pppkCkpk都 能 被 质 数p整除，所以原命题成立．三、 巩 固练习1．如果 x 为任意实数， 用[x] 表示不大于x 的最大整数， 例如：[-7] = 7 ，[-3.1] = -4，[3]=1，则满足等式[x]-3=0 的 x 的范围是 ____________．2．若 [x]=5 ，[y]= -3 ，[z]=-1,mj [x – y – z ]可以取值的个数是（） ．A．3 B．4 C． 5 D．6 3．设 [x] 表示不超过x 的最大整数，若M=][, ][xNx，其中 x≥1，则一定有（） ．A．M>N B．M=N C．M-x D． [x] > x – 1 8．记号 [x] 表示不超过x 的最大整数，设n 是自然数，且222]1)1([)1(nnnnI．A．I>0 B．I<0 C．I=0 D．当 n 取不同的值时，以上三种情况都可能出现．9．设 x≥0，求证：][] ][[xx10．记 [a]为不大于a 的最大整数， {a} = a – [a]，求证：如果{x} + {y} = 1，则[x + y] = [x] + [y] + 1．11．如果 a 为任意实数， 用[a]表示不大于a的最大整数， 例如 [-5] = -5 ，[-2,3] = -3，[3]=1，设 x、y 满足方程16] 2[ 32][ 2yxyx则 [x+y]=__________．12．若 x = 29 + 173,则2x- x[x]=________．13．已知方程 [143x]=x – 3，那么满足方程的x 是__________．14．方程2x- 8[x] + 7 = 0 的所有解的平方和等于_____________．15．[a] 表示不大于a 的最大整数，那么方程[3x + 1] = 2x - 21的所有根的和是____________．16．方程1}{][][][23xxxx的解是 _____________．精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果17．设,}731{ ,]731[ba求aba)171(2的值．18．求证： [zx] ≥[x] + .2]2[ x19．解方程：3][3xx．20．若 x≥1, y >0，求证：][][][xyxy．A 卷1．3≤ x <4；2． A；3．D；4．C；5． D；提示：若 u = 42x，则当 x = 2 时，u = 1, [u] = 1 ， 因而1])41[41(4y，与题设 x = 2 时 y = 2 矛盾。

所以A 错；同理，令x=3 知 B 错；令 x =2 知 C错，故 D 正确6．B；7．D；8．A；提示：因为n是正整数，所以有等式2222)1()]2)(1[(]) 1()1([nnnnn成立所以0) 1() 1(22nnnnI故选 A 9．对任意x≥ 0，总存在这样的非负整数，使得44)1(axa由此得1axa，从而ax ][别一方面22)1(axa在（ 1） 、 （2） 、 （ 3）式中取整数部分，得22)1(][axa，开平方，有.1][axa因为 a 是整数，所精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果以ax ] ][[由（ 2） 、 （4）知原等式成立10．x + y = [x] + [y] + {x}{y} = [x] + [y] + 1,由于 [x] + [y] + 1是整数，所以[x + y] = [x] + [y] + 1B 卷1．14；2．26；3 ． 由 原 方 程 可 知 ， x必 为 整 数 再 根 据 [a] ≤ a < [a] + 1有841)3(1433xxxx，∴ x = 5,6,7,8. 4．124；5． 设 x = n + a （n 为整数，0≤a <1） ， 代入原方程得[3n + 3a + 1] 2n + 2a - 21，3n + 1 + [3a] = 2n + 2a - 21, ∴n + [3a] = 2a - 21(※) 于是 2a - 21是整数，∵0≤a <1 ∴2123223a， 因此只有 2a - 23=0,当 2a - 32=0,即 a = 43时， 代入 (※)式， n + [49]=0, ∴ n = -2. 于是得4321x。

当 2a - 32= -1 时，a = 41代入 (※)式，n + [43] = -1, ∴n = -1. 于是得4112x，2)411()432(21xx故意抽有根的和是-26．x = -1 ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页多练出技巧巧思出硕果7．∵217, 2,2172273731ba，∴10) 17)(71(4)71(2aba8 ． 设x = n + a （ n为 整 数 ， 0 ≤ a<1 ）， 则 原 不 等 式 等 价 于)10(2]2[][]2[aaaa分成 0≤a<21和21≤a<1 两种情况讨论，不难证明上面这个不等式成立9．由于 {x} = x – [x] ，所以可把方程3x- [x] = 3 写成3x- x = 3 – {x} ，因为 0≤{x}<1 ，所以 2<3x- x ≤3.易证，当x≥2 或 x≤1 时，都不能使上面的不等式成立故必须1