
第8章矩阵特征值计算教学讲义.ppt
84页第8章矩阵特征问题的计算,8.1引言8.2幂法及反幂法8.3豪斯霍尔德方法8.4QR方法,8.1引言,工程技术中有多种振动问题,如桥梁或建筑物的振动,机械零件、飞机机翼的振动,及一些稳定性分析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题.,下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础知识.,定义1已知n阶矩阵A=(aij),则,称为A的特征多项式.,一般有n个根(实的或复的,复根按重数计算)称为A的特征值.用(A)表示A的所有特征值的集合.,A的特征方程,设为A的特征值,相应的齐次方程组,注:当A为实矩阵时,()=0为实系数n次代数方程,其复根是共轭成对出现.,的非零解x称为矩阵A的对应于的特征向量.,例1求A的特征值及特征向量,其中,定理1设为ARnn的特征值,且Ax=x(x0),则有,-p为A-pI的特征值,即(A-pI)x=(-p)x;,c为的cA特征值(c0为常数);,下面叙述有关特征值的一些结论:,k为Ak的特征值,即Akx=kx;,设A为非奇异矩阵,那么0,且-1为A-1的特征值,即A-1x=-1x.,定理2设i(i=1,2,,n)为n阶矩阵A=(aij)的特征值,则有,称为A的迹;,,定理3设ARnn,则有,定理4设A为分块上三角矩阵,即,其中每个对角块Aii均为方阵,则,定理5设A与B为相似矩阵(即存在非奇异矩阵P使B=P-1AP),则,定理5说明,一个矩阵A经过相似变换,其特征值不变.,一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵,亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难.,A与B有相同的特征值;,如果y是B的特征向量,则Py是A的特征向量.,定义2如果实矩阵A有一个重数为k的特征值,且对应于的A的线性无关的特征向量个数 设矩阵A非奇异,其特征值i(i=1,2,,n),满足,其相应的特征向量x1,x2,,xn线性无关,则A-1的特征值为1/i,对应的特征向量仍为xi(i=1,2,,n).,此时,A-1的特征值满足,因此,对A-1应用幂法,可求出其主特征值1/nk和特征向量xnuk.,从而求得A的按模最小特征值n1/k和对应的特征向量xnuk,这种求A-1的方法就称为反幂法.,为了避免求A-1,可通过解线性方程组Avk=uk-1得到vk,采用LU分解法,即先对。
