多元微积分知识点总结.doc

一、多元函数的微分学　二元函数的定义  设有两个独立的变量*与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量z就以*一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z称为变量*与y的二元函数    记作：z=f(*,y). 其中*与y称为自变量，函数z也叫做因变量，自变量*与y的变域D称为函数的定义域  关于二元函数的定义域的问题  我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的局部平面.这样的局部在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在的区域称为闭域，不包括边界在的区域称为开域  如果一个区域D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过*一常数M，则称D为有界区域；否则称D为无界区域常见的区域有矩形域和圆形域如以下列图所示：                                             例题：求的定义域.  解答：该函数的定义域为：*≥,y≥0.二元函数的几何表示   把自变量*、y及因变量z当作空间点的直角坐标，先在*Oy平面作出函数z=f(*,y)的定义域D；再过D域中得任一点M(*,y)作垂直于*Oy平面的有向线段MP,使其值为与(*,y)对应的函数值z；   当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数z=f(*,y)的几何图形.它通常是一曲面，   其定义域D就是此曲面在*Oy平面上的投影。

二元函数的极限及其连续性　   在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限对于二元函数z=f(*,y)我们同样可以学习当自变量*与y趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态   在平面*Oy上，(*,y)趋向(ξ,η)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多如果当点(*,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(*,y)总是趋向于一个确定的常数A，   那末就称A是二元函数f(*,y)当(*,y)→(ξ,η)时的极限   这种极限通常称为二重极限   下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义：二重极限的定义   如果定义于(ξ,η)的*一去心邻域的一个二元函数f(*,y)跟一个确定的常数A有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，但凡满足                            的一切(*,y)都使不等式                         成立，   那末常数A称为函数f(*,y)当(*,y)→(ξ,η)时的二重极限   正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：二重极限的运算法则   如果当〔*,y)→(ξ,η)时，f(*,y)→A，g(*,y)→B.   那末(1)：f(*,y)±g(*,y)→A±B；       (2)：f(*,y).g(*,y)→A.B；       (3)：f(*,y)/g(*,y)→A/B；其中B≠0  像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义：二元函数的连续性  如果当点(*,y)趋向点(*0,y0)时，函数f(*,y)的二重极限等于f(*,y)在点(*0,y0)处的函数值f(*0,y0)，那末称函数f(*,y)在点(*0,y0)处连续.如果f(*,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。

  如果函数z=f(*,y)在(*0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(*0,y0)是f(*,y)的一个连续点  关于二元函数连续的问题  二元函数连续点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数连续的情况要比一元函数复杂，它除了有连续点，还有连续线  二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零〕和复合函数仍是连续函数  例题：求下面函数的连续线  解答：*=0与y=0都是函数的连续线偏导数　   在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率对于二元函数我们同样要研究它的"变化率"然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多.在*Oy平面，当变点由(*0,y0)沿不同方向变化时，函数f(*,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究f(*,y)在(*0,y0)点处沿不同方向的变化率   在这里我们只学习(*,y)沿着平行于*轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f(*,y)的变化率偏导数的定义   设有二元函数z=f(*,y)，点(*0,y0)是其定义域D一点.把y固定在y0而让*在*0有增量△*，相应地函数z=f(*,y)有增量(称为对*的偏增量)                      △*z=f(*0+△*)-f(*0,y0).   如果△*z与△*之比当△*→0时的极限                      存在，   那末此极限值称为函数z=f(*,y)在(*0,y0)处对*的偏导数。

                      记作：f'*(*0,y0)或  关于对*的偏导数的问题   函数z=f(*,y)在(*0,y0)处对*的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(*,y0)在*0处的导数   同样，把*固定在*0,让y有增量△y,如果极限                      存在，   那末此极限称为函数z=(*,y)在(*0,y0)处对y的偏导数.                      记作f'y(*0,y0)或偏导数的求法   当函数z=f(*,y)在(*0,y0)的两个偏导数f'*(*0,y0)与f'y(*0,y0)都存在时，   我们称f(*,y)在(*0,y0)处可导如果函数f(*,y)在域D的每一点均可导，   那末称函数f(*,y)在域D可导   此时，对应于域D的每一点(*,y)，必有一个对*(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，   称为f(*,y)对*(对y)的偏导函数简称偏导数   例题：求z=*2siny的偏导数   解答：把y看作常量对*求导数，得        把*看作常量对y求导数，得   注意：二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。

   例题：求的偏导数   解答：我们根据二元函数的偏导数的求法来做        把y和z看成常量对*求导，得.        把*和z看成常量对y求导，得.        把*和y看成常量对z求导，得.高阶偏导数   如果二元函数z=f(*,y)的偏导数f'*(*,y)与f'y(*,y)仍然可导，   那末这两个偏导函数的偏导数称为z=f(*,y)的二阶偏导数   二元函数的二阶偏导数有四个：f"**，f"*y，f"y*，f"yy.   注意：f"*y与f"y*的区别在于：前者是先对*求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对*求偏导.当f"*y与f"y*都连续时，求导的结果于求导的先后次序无关   例题：求函数的二阶偏导数.   解答：，，全微分　   我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数   这里我们以二元函数为例全微分的定义   函数z=f(*,y)的两个偏导数f'*(*,y),f'y(*,y)分别与自变量的增量△*,△y乘积之和                          f'*(*,y)△*+f'y(*,y)△y   假设该表达式与函数的全增量△z之差，                          当ρ→0时，是ρ()   的高阶无穷小，   那末该表达式称为函数z=f(*,y)在(*,y)处(关于△*,△y)的全微分。

                          记作：dz=f'*(*,y)△*+f'y(*,y)△y   注意：其中△z=f'*(*,y)△*+f'y(*,y)△y+αρ，(α是当ρ→0时的无穷小)   注意：在找函数相应的全增量时，为了使△z与偏导数发生关系，我们把由(*0,y0)变到(*0+△*,y0+△y)的过程分为两部：先由点(*0,y0)变到点(*0,y0+△y)，再变到点(*0+△*,y0+△y).其过程如以下列图所示：                                     例题：求的全微分   解答：由于，        所以关于全微分的问题   如果偏导数f'*(*,y),f'y(*,y)连续，那末z=f(*,y)一定可微多元复合函数的求导法　   在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式我们先以二元函数为例：多元复合函数的求导公式   链导公式：   设均在(*,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,   那末,复合函数在(*,y)处可导,且有链导公式：                        例题：求函数的一阶偏导数   解答：令         由于                              而                              由链导公式可得：                                                   其中   上述公式可以推广到多元，在此不详述。

   一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数全导数   由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数是*的一元函数.   这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数.   此时的链导公式为:                         例题：设z=u2v，u=cos*，v=sin*，求   解答：由全导数的链导公式得：                                将u=cos*，v=sin*代入上式，得：                          关于全导数的问题   全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已多元函数的极值　   在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题二元函数极值的定义   如果在(*0,y0)的*一去心邻域的一切点(*,y)恒有等式：                          f(*,y)≤f(*0,y0)   成立，那末就称函数f(*,y)在点(*0,y0)处取得极大值f(*0,y0)；如果恒有等式：                          f(*,y)≥f(*0,y0)   成立，那末就称函数f(*,y)在点(*0,y0)处取得极小值f(*0,y0).   极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(*0,y0)称为极值点.   二元可导函数在(*0,y0)取得极值的条件是：.   注意：此条件只是取得极值的必要条件。

   但凡使的点(*,y)称为函数f(*,y)的驻点.可导。