中考数学总复习：特殊三角形--考点例题讲解+练习(基础).doc

若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载中考总复习：特殊三角形—知识讲解（基础）【考纲要求】【：等腰三角形与直角三角形 考纲要求】1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定；2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题；3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：　　(1)具有三角形的一切性质.　　(2)两底角相等(等边对等角)　　(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)　　(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60. 3.判定：　　(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；　　(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；　　(3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形.　要点诠释：　　(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；　　(2)等边三角形是特殊的等腰三角形. 考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质：　(1)直角三角形中两锐角互余.　(2)直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半.　(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30.　(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.　(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3．判定：　　(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.　　(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.　　(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.【典型例题】类型一、等腰三角形1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )　　A.顶角的2倍 　　　B.顶角的一半 　　　C.顶角 　　　D.底角的一半　　　　　【思路点拨】等角的余角相等.【答案】B.【解析】如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90，所以∠DBC=90-∠C=90-(180-∠A)= ∠A，【总结升华】本题适用于任何一种等腰三角形,可以试着证明在钝角三角形中结论一样成立；总结规律，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半.举一反三： 【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）A．5个 　　　B．4个　　　 C．3个　　　 D．2个【答案】A．2．（2015秋•南通校级月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60，若BE=30cm，DE=2cm，则BC=　 　cm．【思路点拨】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=30，DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．【答案】32;【解析】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=30，DE=2，∴DM=28，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90，∴∠NDM=30，∴NM=14，∴BN=16，∴BC=2BN=32，故答案为32．【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．类型二、直角三角形3．将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点.已知，，则折痕的长为( ) A. 　　　B.　　　 C. 　　　D. 　　　　　　　【思路点拨】直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理和直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半.【答案】C.【解析】由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30，因为在矩形ABCD中，∠C等于90，CD=AB=2，　　　　所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故选C.　　【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等，对应的角相等.【变式】 如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( )．　A.　　　 B. 　　　C.　　　 D.5　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】B. 解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB， ∴BE=AB　　　 设BD为x，则CD=8-x　　　 ∵∠C=90，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2 　　 　∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=　　　在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5　　　在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=， 故选B.4．已知：在直角△ABC中，∠C=90，BD平分∠ABC且交AC于D.　　(1)若∠BAC=30，求证: AD=BD；　　(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　图2【思路点拨】(1)利用直角三角形两锐角互余，求得∠ABD=∠A=30，得出AD=BD.　　　 (2)利用三角形内角和及角平分线定义或利用三角形外角性质.【答案与解析】　(1)证明：∵∠BAC=30，∠C=90，∴∠ABC=60　　　　　　 又∵ BD平分∠ABC， ∴∠ABD=30，∴ ∠BAC =∠ABD，∴BD=AD； (2)解法一： ∵∠C=90，∴∠BAC+∠ABC=90　　　　　　∴=45　　　　　　∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC　　　　　 　∠BAP=，∠ABP=　　　　　　　　即∠BAP+∠ABP=45　　　　　 ∴∠APB=180-45=135　解法二： ∵∠C=90，∴∠BAC+∠ABC=90　　　　　 ∴=45　　　　　 ∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC　　　　　　　∠DBC=，∠PAC=　　　　　∴∠DBC+∠PAD=45　　　　　∴∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45+90=135. 【总结升华】本题利用了：1、直角三角形的性质，两锐角互余，2、角的平分线的性质，3、三角形的外角与内角的关系．类型三、综合运用5 . 已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5. （1）k为何值时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形？ （2）k为何值时，ΔABC是等腰三角形？并求出ΔABC的周长。

思路点拨】△ABC的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，应该想到一元二次方程中根与系数的关系.【答案与解析】(1)∵AB、ACAB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根, ∴AB+AC=2k+3,ABAC= k2+3k+2 又∵ΔABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5 ∴ ∴ 即 ∴ 当k=-5时，方程为 解得（不合题意，舍去） 当k=2时，方程为 解得 ∴当k=2时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形.(2)当ΔABC是等腰三角形时，则有①AB=AC,②AB=BC,③AB=BC三种情况：∵△==1>0∴AB≠AC,故第一种情况不成立；当AB=BC或AC=BC时，5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根∴当k=3时，，∴∴等腰三角形的边长分别是5,5,4.周长为14；当k=4时，，∴所以等腰三角形的边长是5,5,6，周长是16.【总结升华】当三角形是等腰三角形并且未明确哪两边为腰时,要注意分类讨论.【变式】已知等腰三角形三边的长为a、b、c且a=c，若关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是（ ）. A. 150 B. 300 C. 450 D. 600【答案】B.6．（2015春•威海期末）如图，△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．【思路点拨】根据EH⊥AB于H，得到△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．【答案与解析】解：∵∠BAC=90，AB=AC，∴∠B=∠C=45，∵EH⊥AB于H，∴△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45，∴∠BEM=45+45=90，∴ME⊥BC．【总结升华】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并证明出等腰直角三角形是解题的关键．【：等腰三角形与直角三角形 例6】【变式】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45；②BD=AE；③AC+CE=AB；④ AB-BC=2MC；其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D.7。