2015届高考数学（理）复习配套训练：第7章第1节《空间几何体的结构及其3视图和直观图》（含答案）.doc

第一节　空间几何体的结构及其三视图和直观图考纲　1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.3.会用平行投影画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．(见学生用书第116页)1．多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．5．(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱(　　)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥(　　)(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°(　　)(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．(人教A版教材习题改编)关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(　　)A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等【解析】　根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．【答案】　B3．(2013·淮北高三第一次质检)下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是(　　)　①正方体　　　 ②圆锥　　　　③三棱台　　　④正四棱台图7－1－1A．①②　　　B．②③　　　C．②④　　　D．①③【解析】　①中，正方体的三个视图都相同；②中，圆锥正视图与侧视图相同，与俯视图不同；③中，三棱台三个视图均不相同；④中，正四棱台的正视图与侧视图相同，与俯视图不同．【答案】　C4．(2013·四川高考)一个几何体的三视图如图7－1－2所示，则该几何体的直观图可以是(　　)图7－1－2【解析】　由俯视图知选D.【答案】　D图7－1－35．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图7－1－3所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)【解析】　根据斜二测画法的规则知，选A.【答案】　A(见学生用书第117页)考向1　空间几何体的结构特征【例1】　下列结论中正确的是(　　)A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【思路点拨】　根据常见几何体的结构特征，借助于常见的几何模型进行判断．【尝试解答】　当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误．【答案】　D,规律方法1　1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．变式训练1　给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形．其中正确命题的序号是(　　)A．①②③　　B．②③　　C．③　　D．①②③④【解析】　对于①，棱柱的侧面不一定全等，故①错；对于②，截面与底面不一定平行，故②错；对于④，棱台的侧棱延长后相交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故④错，由面面垂直的判定及性质知③正确，故选C.【答案】　C考向2　空间几何体的三视图【例2】　(2013·湖南高考)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于(　　)A．1　　　B.　　　C.　　　D.【思路点拨】　求出正方体的正视图的面积的最大值与最小值．【尝试解答】　当正方体的俯视图是面积为1的正方形时，其正视图的最小面积为1，最大面积为.因为<1，因此其正视图的面积不可能为，故选C.【答案】　C,规律方法2　1.画几何体的三视图可以想象自己站在几何体的正前方、正左方和正上方观察它的轮廓线是什么，然后再去画图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．变式训练2　(2013·皖南八校高三第三次联考)将图7－1－4(1)中正三棱柱截去三个角(A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到图7－1－4(2)所示的几何体．则按图7－1－4(2)所示的方向为侧视方向，则该几何体的侧视图是(　　)(1)　　　　　　　　　　(2)图7－1－4【解析】　借助原正三棱柱中的面面关系、线面关系进行解决，可知A正确．【答案】　A考向3　空间几何体的直观图图7－1－5【例3】　如图7－1－5所示，四边形A′B′C′D′是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，求这个平面图形的实际面积．【思路点拨】　逆用斜二测画法得到实际图形，求出相应的边长，进而求出面积．【尝试解答】　根据斜二测直观图画法规则可知：该平面图形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不变．由于C′B′＝A′D′＝2.所以CB＝4.故平面图形的实际面积为×(6＋4)×4＝20.,规律方法3　1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形．变式训练3　图7－1－6如图7－1－6所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC的面积．【解】　如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则C′、D′到x′轴的距离为a.∵∠D′A′B′＝45°，∴A′D′＝a，由斜二测画法的法则知，在△ABC中，AB＝A′B′＝a，AB边上的高是A′D′的二倍，即为a，∴S△ABC＝a·a＝a2.两点注意　1.注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．2．画直观图注意平行性、长度两个要素．三条规则　1.画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”．2．摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方．3．实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出.(见学生用书第118页)从近两年高考试题来看，高考的重点是简单几何体与三视图之间的相互转化，以及根据三视图中的“三图”确定“第三图”，题型以客观题为主，考查对简单几何体结构特征的掌握及空间想象能力，在画空间几何体的三视图时，忽视轮廓线、边界线或实虚不分是常见错误．易错辨析之六　画三视图忽视界线及其实虚致误 (2012·陕西高考)将正方体(如图7－1－7(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图7－1－7(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为(　　)图7－1－7【错解一】　由几何体知，AD1是边界线，投影到正方体右侧面上恰为正方形的对角线，故选D.【答案】　D【错解二】　由几何体知，AD1、B1C都是边界线，投影到正方体右侧面后恰为正方形的对角线，故选C.【答案】　C错因分析：(1)错解一忽视了B1C也是边界线导致错误答案．(2)错解二虽然注意了B1C是边界线，但忽视了其不可视，在左视图中应为虚线，从而造成错误答案．防范措施：(1)在确定边界线时，要先分析几何体由哪些面组成，从而可确定边界线，其次要确定哪些边界线投影后与轮廓线重合，哪些边界线投影后与轮廓线不重合，不重合的是我们要在三视图中画出的．(2)在画三视图时，首先确定几何体的轮廓线，然后再确定面与面之间的边界线，再根据是否可视确定实虚．【正解】　还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．【答案】　B1．(2013·湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于(　　)A.　　　　B．1　　　　C.　　　　D.【解析】　由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为，宽为1的矩形，其面积为.【答案】　D图7－1－82．(2011·课标全国卷)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图7－1－8所示，则相应的侧视图可以为(　　)【解析】　根据正视图和俯视图可以看出，几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故选D.【答案】　D 高考学习网－中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识！。