建筑力学弯矩图剪力图课件.ppt

工程力学（上）工程力学（上）                                直播课堂6                             第六章静定结构的内力计算一、本章主要知识点 1．截面内力及符号 2．内力图 3．荷载和剪力、弯矩的对应图形关系  4．叠加法作弯矩图、剪力图  5．分段叠加法作弯矩图  6．静定梁作内力图  7．刚架作内力图  8．三铰拱的计算  9．桁架的计算 二、本篇讲授的内容  （一）截面内力及符号   物体因受外力作用，在物体各部分之间所产生的相互作用力称为物体的内力对内力的正、负号作如下规定：           轴力符号：当截面上的轴力使分离体受拉时为正；反之为负       剪力符号：当截面上的剪力使分离体作顺时针方向转动时为正；反之为负      弯矩符号：当截面上的弯矩使分离体上部受压、下部受拉时为正，反之为负      当所有外力（包括已知荷点，通过平衡方程求出的所有支座约束反力）已知时，通过三个独立的平衡方程可求解三个内力截面法是结构力学计算最基本的方法+－＋－＋－教材例6－3（P73）        一外伸梁如图所示。

                                                 求截面1－1及截面2－2的剪力和弯矩222PqAB121   解：  1．求梁的支座反力   由整体平衡可求：   2．求1－1截面上的内力   杆上外力均为已知，可求任意截面的内力如截面1－1，取左段为分离体，如图所示YAQ1PM12m1m   由   由   由   求截面1－1内力也可取左段为分离体，其结果见教材  3．求2－2截面上的内力见教材）4Q2M21l（二）内力图l  内力图为表示内力随横截面的位置变化的函数的图形l  一般取杆轴线为坐标轴，横截的位置选择用X表示，则梁的各个横截面上的内力可以表示为X的函数，函数图形即内力图l教材例6－7（P76）l  简支梁AB受一集度为q的均布荷载作用，试作此梁的剪力图和弯矩图l  分析：取左边X长的分离体，X处截面的内力按正方向假设，用平衡方程求解qLMQ++-qL2/8qL/2qL/2qL/2qL/2l  解：l  （1）求梁的支座反力l  由整体平衡可求：l （2）取距A端X处的C截面，标出                              。

解得：l  l  l  CQ(x)M(x)xAl  M图为二次抛物线，确定X＝0，L/2及L处M值可确定M的函数图形l  Q图为直线形，确定X＝0，L处Q值即可确定Q图MQ++-qL2/8qL/2qL/2l  根据内力图的特征，除均布荷载q作用下的M点为二次抛物线外，其余情况均为直线段因此，可以不需列出函数方程，直接确定直线段内力图的控制点值，即荷点作用不连续点的截面内力连接直线即可l  均布荷点作用段内M图再确定一中间值即可画出二次抛物线按建筑力学的习惯，M图画在杆件弯曲变形时受拉一侧l  画出M图弯矩最大值在梁的中点，为 ql2/8          ；l  画出Q图剪力最大值在梁端，为ql/2l（三）荷载与剪力、弯矩的对应图形关系l  纯弯曲：剪力图为零，弯矩图为一水平直线l q＝0： 剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线几种常见简支梁M、Q图的记忆PL/2L/2MQ++-PL/4P/2P/2qLMQ++-qL2/8qL/2qL/2l  q＝常数:剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线l  集中力：剪力图为一水平直线，P作用处有突变，突变值等于P弯矩图为一折线，P作用处有转折。

几种常见简支梁M、Q图的记忆PabLPab/4MQPb/LPa/L++-mL/2L/2MQ+-+M/2M/2m/Ll  集中力偶：剪力图为一水平直线，力偶作用处无变化弯矩图为水平线，力偶作用处有突变，突变值等于集中力偶l教材例6－10（P81反）l  外伸梁如图所示，已知                                         ，试画出该梁的内力图222PqAB121CDl              分 析 ： 例 中 ， 整 体 平 衡 可 求 解                           ，则A、B、C、D为外力不连续点，――作为控制截面l   在集中力P，或支座反力处剪力有突变，所以控制截面截取应B左、B右、C左、C右，D右支座反力即作用于CD杆端的剪力l  Q图由控制点A、B左、B右、C左、C右的值之间连直线得到l  解：l  （1）求梁的支座反力l  l  （2）画弯矩图：l  求控制截面的弯矩值，取AB杆的分离体l  l                                               杆上侧受拉l  取CD杆的分离体：l  （铰支端）l  l  杆下侧受拉。

l  确定A、B、C、D四点M值：l  BC，CD间无均布荷载q，直接联直线；l  AB间 有 均 布 荷 载 q,确 定 中 点 值 为2.5KN/m,可由三点确定抛物线 （2）画弯矩图：连接控制截面的弯矩值，如图:l  M图AB段的端点值即MA、MB的中间值由 l                         确定，作抛物线M图lBD段的端点值即MB、MD的中间值由                                                      确定，用直线连接l如在的连线上叠加的二次抛物线，或在的连线上叠加的三角形的底边，简单拼合，显然不能对齐l轴力为零不考虑l杆端作用剪力、弯矩与相应简支梁两端作用弯矩受力情况完全相同，即对应所以任意分段均可同叠加法作M图M图10kNm10kNmABCDl  （3）画剪力图：取控制截面如图l  计算剪力：取分离体如图l  AB：QAB=0（自由端）l  l  CD：l  l  BC：l QBCl  l QCB＝5-P=-10l  剪力图如图所示l  在已荷点和所有反应力的情况下，可以取分段分离体求剪力控制截面值，但如果M图已知，不求约束反力也可确定分段杆端的剪力控制截面值。

l l l 10kN10kN5kN-++ABCD几种常见简支梁M、Q图的记忆PL/2L/2MQ++-PL/4P/2P/2qLMQ++-qL2/8qL/2qL/2几种常见简支梁M、Q图的记忆PabLPab/4MQPb/LPa/L++-mL/2L/2MQ+-+M/2M/2m/L（四）叠加法作弯矩图与剪力图当梁上有几项荷载作用时，梁的反力和内力可以这样计算：先分别计算出每项荷载单独作用时的反力和内力，然后把这些计算结果代数相加，即得到几项荷载共同作用时的反力和内力PqL+P+qLMQ++PqPqLPL1/2 qL2PL+1/2qL2          上图悬臂梁上作用有均布荷载和集中力             梁的反力和内力都是由两部分组成各式中第一项与集中力P有关，是由集中力P单独作用在梁上所引起的反力和内力；各式中第二项与均布荷载q有关，是由均布荷载q单独作用在梁上所引起的反力和内力两种情况的叠加，即为二项荷载共同作用的结果这种方法即为叠加法l  剪力图：l  集中力P单独作用时为一水平直线，均布荷载q单独作用时为一斜线；两种情况叠加后即为共同作用的结果，如上图l  弯矩图：l  集中力P单独作用时为一斜线，均布荷载q单独作用时为抛物线；两种情况叠加后即为共同作用的结果，如上图。

l  分段叠加法作弯矩图l  直杆弯矩图――分段叠加，简化绘图工作，适用于多跨梁、刚架的弯矩图的绘制l教材例6－10（P81反）l  外伸梁如图所示，已知                                         ，试用叠加法画出该梁的M图222PqAB121CDM图10kNm10kNm10kN10kN5kN-++ 几个标准弯矩图l  简支梁作用有均布荷载ql  简支梁作用有中点的Pl  悬臂梁作用有均布荷载ql  悬臂梁作用有端点的Pl  简支梁作用有非中点的Pl  简支梁作用有中点的m简支梁作用有均布荷载qP/2qLMQ++-qL2/8qL/2qL/2  （1）简支梁作用有均布荷载q  简支梁作用有均布荷载q的弯矩图为一抛物线，其中点弯矩为    （ 2） 简 支 梁 作 用 有 中 点 的 P   简支梁作用有中点的P的弯矩图为一折线，在集中力P作处产生折点，其值为PL/2L/2MQ++-PL/4P/2简支梁作用有中点的P简支梁作用有中点的mmL/2L/2MQ+-+M/2M/2m/L简支梁作用有非中点的PPabLPab/4MQPb/LPa/L++-MQ+PPPL+L1/2 qL2l悬臂梁作用有均布荷载ql悬臂梁作用有端点的Pl（5）悬臂梁作用有均布荷载q  悬臂梁作用有均布荷载q的弯矩图为一抛物线，其值端点为零、固定端为。

l（6）悬臂梁作用有端点的P  悬臂梁作用有端点的P的弯矩图为一斜线，其值端点为零、固定端为PL （五）分段叠加法作弯矩图 l简支梁上作用有均布荷载q，其两端作用有                  弯矩，用叠加法作弯矩图MAMAMBMBLL+MAMBl  原结构作用有两种荷载弯矩和均布荷载将原结构分解为由弯矩与均布荷载分 别 作 用 的 两 种 情 况 ， 如 图 所 示 MAMAMBMBLL+MAMB中点M=MAMB即：+l  分段叠加法作弯矩图:杆端弯矩图叠加上简支梁上对应荷载（均布荷载q或中点集中力P）的标准弯矩图；l 叠加：是指弯矩图纵坐标的代数和，而不是弯矩图的简单拼合l分段叠加法作弯矩图的方法如下：l分段叠加法作弯矩图的方法：l（1）求控制截面的弯矩值（全部荷载作用）l  控制截面――一般取外力不连续点（如：均布荷载q的端点、P作用点和集中力偶M作图点的左、右）l  （2）分段画弯矩图l  控制截面内无荷载――连直线；l  控制截面内有荷载（q或中点P）――连虚线，再叠加相应的弯矩图  l剪力图可以由弯矩图取得：l  任取杆段AB，荷载及杆端弯矩已知，如图所示。

l  则：                                 ，            l                                              ，l或由l                      ，分别为荷载对杆端A，B之矩的代数和MAMBQABQBAPl  例6－10l  外伸梁如图所示，已知，试画出该梁的内力图本例同例6-10反向222PqAB121CDl  解：l  （1）求控制截面的弯矩值（全部荷载作用）；本题的控制截面为A、B、D截面l  A端为自由端，D端为铰支端，AB为悬臂梁，其控制截面弯矩如图，分段画弯矩图：M图10kNm10kNm 按取得A、B、D截面的弯矩值并连以虚线在AB段的虚线上叠加均布荷载q的弯矩，如图所示在BD段的虚线上叠加集中力P的弯矩，其值为：l    （2）由弯矩图画剪力图 AB段：分离体如图所示：   l   可得： 10   CD段：分离体如图所示：  BC段：分离体如图所示： CQBCQCBl剪力图：l  用A、B、C、D截面的剪力值取点并连以直线，得到本题的剪力图，如图所示10kN10kN5kN-++ABCD 工程力学（上）工程力学（上）                                直播课堂7                             姚志刚（六）静定梁作内力图l  多跨静定梁――按几何组成的相反次序求解，可避免解联立方程。

l  多跨静定梁组成：l  基本部分――能独立承受荷载的部分l  附属部分――依赖于基本部分承受荷载的部分l教材[例6－12]（P82）l多跨静定梁如教材图所示已知l                                             试画出该多跨梁的内力图1）求支座反力，ABCEFDq＝5P＝104m122115412211qP11P=102255510541q=5511.253.75l  （2）作弯矩图：用叠加法l  求出控制截面的弯矩（A点、C点、E点、F点弯矩为零），连以直线；l  在AB段、EF段弯矩的直线上分别叠加均布荷载与集中荷载的弯矩，如教材P83（b）图所示即为结果l（3）作剪力图l  分别求出控制截面A、B左、B右、D左、D右、集中荷载左右及F的剪力；连以直线，结果如教材P83图（c）所示l利用形状特征直接画弯矩图：即利用四个标准弯矩图画多跨静定梁的弯矩图，如图所示*利用形状特征直接画M、Q图ABCEFDq＝510P＝104m1221112.655511.2553.7510++--11.258.75555M(kNm)Q(kN)11P=105552210541q=5511.253.75MQ（七）刚架作内力图l1．静定刚架作内力图l平面刚架是由梁与柱所组成的平面结构。

横杆称为梁，竖杆称为柱 各杆间由结点联接，主要为刚结点，也有铰结点l刚架的特点：梁与柱的联接处为刚结点，当刚架受力而产生变形时，刚结点处各杆端之间的夹角始终保持不变，且能承担弯矩铰结点联接的杆端可相对转动，一般弯矩＝0l（1）常见刚架类型l  常见的刚架类型有三种基本类型：悬臂、简支，三铰刚架应熟练掌握其受力特点及相应的计算方法la．简单刚架l简支刚架：刚架与地基按简支梁的形式联接（与地基由二刚片规则组成）l 悬臂刚架：悬臂构件与地基固结l三铰刚架: 两构件与地基由三个铰联接而成的刚架与地基由三刚片规则组成）l  b.组合刚架l构件由刚结点与铰结点组合而成的刚架其结构可分为基本部分与附属部分l（2）支座反力计算la.悬臂刚架____悬臂构件与地基固定联接，固定端的反力有：                           由一矩式平衡方程可求：  由l l由l由lb.简支刚架____刚架与地基按简支梁的形式联接有A端反力，B端反力由平衡方程可求：    支反力lc.三铰刚架，或整体刚架：l取整体为分离体：求 l 局部为分离体：（取荷载少的半跨求解简单）求l也可利用Cl    （3）计算杆端内力l  求解杆端内力的基本方法是截面法：la.截取杆端截面，适当选取分离体（构件或节点）lb.正确的受力分析: 已知力（荷载及已求出的力）按实际方向画；未知力按正方向假设。

lc.选取适当的平衡方程，避免解联立方程，求解各杆端内力（弯矩，剪力，轴力）l  小结：刚架支座反力求解后，外力均为已知任取杆端截面切开，取左（或右）部分为分离体，均只有三个内力未知量，用平衡方程可完全求解已知力：包括已知荷载、已求出的约束反力，及其它已求出的内力；未知力的计算结果为代数值，其符号的正负表示实际方向：正号与假设的方向相同，负号表示相反可以极大的简化计算一般取任意一杆件或结点校核l（4）画内力图（弯矩图，剪力图，轴力图）的要求：l注明杆端及控制截面值；弯矩图画在受拉面；剪力图、轴力图注明正负；校核：整体及任取局部均应平衡l教材[例6－16]（P90）作如图所示三铰刚架的弯矩图、剪力图及轴力图4m2m2m20kN/mABCl（1）求支座反力：l取整体l      l取ADC分离体，受力分析如图6－25（b）所示取ADC分离体，l解    l例中Xa=Xb=10kN，计算错误，由此导致求解内力M、Q、N均错应为Xa=Xb=5kNl  求未知反力是求解静定结构内力的第一步，解出后，应先简单校核，确保第一步正确，否则如书中例题，一错均错  立即可以校核l（2）作弯矩图l  取AD分离体，D截面有M，Q，N。

对D截面中心取力矩平衡方程，其中只有一个未知力             ，可直接求出；l  取AD杆：A端为支座端，l有支座反力：lD端为刚结，有内力：                        l  也可以考虑AD杆，点D处为刚结约束（如固定支座）：             对D处的力矩：取结点D分离体，有三对内力考虑D点力矩平衡：Q，N均通过D点，无力矩，所以                          ，同为外侧受拉l刚结点处，弯矩大小相等，同外（内）侧受拉，是刚架及连续梁M图的一个显著特点，应特别注意，并可以利用其特点做M图（确定其值，或校核）l同理：取BE杆及结点B的分离体可以求得：                                   （外侧受拉）l  结点C为铰结点：l  铰结点处杆端弯矩为零，也是刚架及连续梁弯矩图的一个显著特点l按叠加法作弯矩图：l  各杆杆端弯矩，即控制截面弯矩已求出，按叠加法，各杆端M值之间：     l首先，标出铰结点、刚结点处的弯矩值，且连以直线有均布荷载的杆段CE处画虚线；l  其次，在CE杆段叠加均布荷载的弯矩，其形状为抛物线，如图（c）所示。

4m2m2m20kN/mABC20kN/mABC10553020kN/mA105B530CDE（3）作剪力图l  取杆AD：l    杆端A的剪力即支座反力XA，因剪力定义的正方向为绕杆顺时针转为正，所以                             l取结点D：l   结点D，DC杆端QDC，NPC按正方向假设（未知）l  建议：DA杆端，                                    最好按实际方向画在结点D分离体，标绝对值（按正方向标示也可以，但代入方程应为负值）l  注意：结点的杆端与杆上杆端的内力为作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但对于各自的杆端，其符号正负相同l这里没有画出内力M，因为所用的力的平衡方程求解Q，N，与M无关截DC杆的杆端D截面，取杆DA＋D为分离体：l杆上所有力应画全（杆端内力，荷载等），求解Q，与N无关，可以不画Nl同理可求：l  取CE分离体求l取铰结点Cl作剪力图：根据各杆杆端剪力值，连直线即得Q图其特点是：杆上无荷载，为平行杆轴的直线，杆上有均布荷载q，为斜交杆轴的直线，杆上有集中力，集中力下为台阶状，其两侧仍为平行杆轴直线。

l作轴力图：各杆端的轴力：在求剪力Q时可以同时求出直接连接直线即得，其特点均为平行杆轴的直线l以书中例题（例题错），P91，图6-25（c）取杆DC或（CE），进行受力分析如教材图：对D点取力矩平衡，结果不满足平衡2．作静定刚架内力图的基本方法：l（1）整体（或加局部）平衡求支座反力，注意及时校核l（2）取构件分离体，求杆端截面的三个内力控制值l（3）叠加法作内力图：剪力图、轴力图为直线；弯矩图：杆上无荷载为直线，杆上有荷载则叠加简支梁相应的弯矩图l（4）注意利用刚结点弯矩图的特点，铰结点的弯矩为零l（5）校核应选取未用过的部分为隔离体（构件或结点），验证满足平衡条件书中P91图6－25（C）取构件DC（或CE）的受力图校核 工程力学（上）工程力学（上）                                直播课堂8                             姚志刚（八）三铰拱的计算l1．三铰拱的特点：竖向荷载作用下，支座处产生水平反力，这是与相应简支梁比较而言几何组成与三铰刚架相同，只是其杆件为曲杆l2．拉杆式三铰拱与地为简支，产生的水平推力由拉杆提供，以避免对支座产生推力。

l3．三铰拱的计算，见P93图6－28l（1）支座反力l  支座反力计算与三铰刚架相同l    与相同跨度相同荷载的简支梁相比：                     为简支梁上相应的反力与弯矩水平反力H与矢高f成反比，矢高越低水平推力越大l  （2）内力计算－－截面法l  取任意x位置用截面K假想截开，有内力M、Q、N，分离体受力分析如图；l  若N，Q按水平、竖向分解，则水平力与H平衡，竖内力与荷载与     平衡，即相当于相应简支梁的        ；HKNQHKl  此二力向N，Q方向投影则得到式（6－8）、（6—9）      与二部分力平衡：一部分为竖向荷载及        ，相当于相应简支梁的        ；第二部分为推力产生的：－Hy，得公式（6—7）l(3)拱的合理轴线l  在竖向荷载作用下：三铰拱的合理轴线形式与相应简支梁的M图相同，只是乘以1/H（常数）l例6－18，P97图6－31l  试求图6－31（a）所示三铰拱在均布荷载作用下的合理轴线l  在满跨均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线是抛物线 （九）桁架的计算1．桁架特点：l  由直杆用铰链联接而成，在结点荷载作用下，各杆只有轴力。

l  组成方式：l  简支桁架――由二元体生长方法可得；l  联合桁架――几个简单桁架，按二刚片法则组成2．结点法l  取结点为分离体――平面汇交力系l  适于求解简单桁架的各杆内力l  有二个独立的平衡方程，可求解二个未知力求解方法：l（1）求解支座反力，零杆判断；l  因几何组成的不同而不一定是必须的，零杆判定后，可以大大简化求解l（2）再选取只含二个未知力的结点顺次取二个未知力的结点分离体可求解每个杆的内力l（3）结点分离体中，未知轴力设为拉力（正），结果为负时表示与所设方向相反已知力一般按实际方向画，标注其数值的绝对值，则平衡方程建立时看图确定其正负零杆的判断：l  1．不共线二杆结点，无外力作用，则此二杆都是零杆图6－36a）l  2．三杆结点，无外力作用，如果其中二杆共线，则第三杆是零杆图6－36b）3．截面法l  用截面切断拟求构件，将桁架分为二部分，取其中一部分为分离体，得平面任意力系，适于求解指定某几个构件的内力l  切断杆件所得内力，与其同侧的外力、支座反力组成一平面的任意力系，有三个独立的平衡方程，可解三个未知力l  截面切断的未知内力的杆件一般不超过三个；切断的杆件内力仍设为正方向。

截面切断的未知内力的杆件一般不超过三个；切断的杆件内力仍设为正方向4．灵活运用l（1）结点法、截面法可以联合使用；l（2）零杆判断应充分利用，可以简化计算l（3）利用对称性；l（4）选取适当的方程也可大大简化计算l例6－19（P98图6－35）  试计算如图所示桁架各杆内力l  解：l  先计算支座反力以桁架整体为分离体，求得：l    求出反力后，从包含二杆的结点开始，逐次截取各结点求出各杆的内力画结点受力图时，一律假定构件受拉，即构件对结点的作用力背离结点l结点1：（b）图，分离体为平面汇交力系  一般用投影二个方程可求解                  ，但考虑平衡的汇交力系合力为零，则对平面内到一点的合力矩为零：l  取结点3为力矩中心，                方程中只有一个未知力       ，        可以避免 若用                 方程求解，如        求解有误，引起          的求解错误l结点1：取适当的平衡方程l                只有        在y方向的投影                为未知量，l其余的为已知力（包括荷载和已求出的支座反力）求解直接，且避免了累积的错误。

l结点1：取适当的平衡方程l    结点1：取适当的平衡方程l  将上面求出的值按实际方向标于分离体图中，如图所示l  下面的求解请见教材l例6－21（P100图6－38）求图中所示桁架中指定构件1、2、3的内力l解：1．按简支梁求解支座反力l  以桁架整体为分离体，求得：l    标于图上l 2．零杆的判断l由结点F、结点G可判断：   l由结点D可判断：  l3．取截面I－I图（b）    利用比例三角形分解斜杆轴力l  4．取结点A，标出A结点的分离体    的弯矩为零。