2021年二次函数的翻折规律和题目.docx

精品资料 欢迎下载翻折规律1 二次函数图象的对称一般有五种情形，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称y a 2x b x关c于 x 轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；2y a x hk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2y a x h k ；2. 关于 y 轴对称2y a x b x关c于 y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c ；2y a x hk 关于 y 轴对称后，得到的解析式是2y a x h k ；3. 关于原点对称y a 2x b x2关c于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；2y a x h4. 关于顶点对称关k 于原点对称后，得到的解析式是y a x h k ；22y a 2x b x关c于顶点对称后，得到的解析式是y axbx c b ；2a2y a x hk 关于顶点对称后，得到的解析式是2y a x h k ．5. 关于点 m ，n 对称2y a x hk 关于点 m ，n对称后，得到的解析式是2y a x h 2m2n k依据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的外形肯定不会发生变 化，因此 a 永久不变． 求抛物线的对称抛物线的表达式时， 可以依据题意或便利运算的原就， 挑选合适的形式， 习惯上是先确定原抛物线 （或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向， 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式．操练：5.（ 2021 .娄底 27．（10 分））如图甲，在△ ABC 中，∠ ACB=90 ， AC=4cm ， BC=3cm ．假如点 P 由点 B 动身沿 BA 方向向点 A 匀速运动， 同时点 Q 由点 A 动身沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 1cm/s．连接 PQ，设运动时间为 t（ s）（ 0＜ t＜ 4），解答以下问题：（1）设△ APQ 的面积为 S，当 t 为何值时， S 取得最大值？ S 的最大值是多少？（2）如图乙，连接 PC，将△ PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQP′C，当四边形 PQP′C 为菱形时，求 t 的值；′（3）当 t 为何值时，△ APQ 是等腰三角形？精品资料 欢迎下载考点 ：相 似形综合题分析：（ 1）过点 P 作 PH ⊥AC 于 H，由△ APH ∽△ ABC ，得出 = ，从而求出 AB ，再依据 = ，得出 PH=3 ﹣ t，就△ AQP 的面积为： AQ.PH=t（ 3﹣ t），最终进行整理即可得出答案；（ 2）连接 PP′交 QC 于 E，当四边形 PQP′C 为菱形时，得出△ APE ∽△ ABC ， = ，求出 AE= ﹣ t+4 ，再依据 QE=AE ﹣ AQ ，QE=QC 得出﹣ t+4= ﹣t+2 ，再求 t 即可；（ 3）由（ 1）知，PD= ﹣ t+3，与（2）同理得：QD= ﹣ t+4，从而求出 PQ= ，在△ APQ 中，分三种情形争论：①当 AQ=AP ，即 t=5﹣ t ，②当 PQ=AQ ，即=t ，③当 PQ=AP ，即 =5﹣ t，再分别运算即可．解答：解 ：（ 1）如图甲，过点 P 作 PH⊥ AC 于 H ，∵∠ C=90，∴ AC ⊥ BC ，∴ PH∥ BC ，∴△ APH ∽△ ABC ，∴ = ，∵ AC=4cm ， BC=3cm ，∴ AB=5cm ，∴ = ，∴ PH=3﹣ t，∴△ AQP 的面积为：2S=AQ PH= t（ 3﹣ t） =﹣ （ t﹣） + ，．∴当 t 为秒时， S 最大值为 cm2（ 2）如图乙，连接 PP′， PP′交 QC 于 E，当四边形 PQP′ C 为菱形时， PE 垂直平分 QC，即 PE⊥ AC ，QE=EC ，∴△ APE∽△ ABC ，精品资料 欢迎下载∴ = ，∴ AE= = =﹣ t+4QE=AE ﹣ AQ ═﹣ t+4 ﹣ t=﹣ t+4 ， QE=QC= （ 4﹣t） =﹣ t+2 ，∴﹣ t+4= ﹣t+2 ，解得： t= ，∵ 0＜ ＜ 4，∴当四边形 PQP′ C 为菱形时， t 的值是 s；（ 3）由（ 1）知，PD= ﹣ t+3，与（ 2）同理得： QD=AD ﹣ AQ= ﹣ t+4∴ PQ=在△ APQ 中，== ，①当 AQ=AP ，即t=5 ﹣ t 时，解得：t1=；②当 PQ=AQ ，即=t 时，解得：t2=，t 3=5；③当 PQ=AP ，即 =5﹣ t 时，解得： t4=0， t5= ；∵ 0＜ t＜ 4，∴ t3=5 ， t4=0 不合题意，舍去，∴当 t 为 s 或 s 或 s 时，△ APQ 是等腰三角形．点评：此 题主要考查了相像形综合，用到的学问点是相像三角形的判定与性质、勾股定理、精品资料 欢迎下载三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是依据题意做出帮助线，利用数形结合思想进行解答．217. 〔 20XX年河南 〕 〔23. 11 分）如图，抛物线 y=－x+bx+c与 x 轴交于 A〔－1,0〕,B〔5,0）两点，直线 y=－ 34x+3 与 y 轴交于点 C，，与 x 轴交于点 D .点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PF ⊥ x 轴于点 F，交直线 CD 于点 E.设点 P 的横坐标为 m；（1）求抛物线的解析式；（2）如 PE =5 EF,求 m 的值；（3）如点 E/ 是点 E 关于直线 PC 的对称点、是否存在点 P，使点 E/落在 y 轴上？如存在，请直接写出相应的点 P 的坐标；如不存在，请说明理由；解： 〔1〕 ∵抛物线 y=－ x2+bx+c 与 x 轴交于 A 〔－ 1,0〕 , B〔5,0〕两点，0= （∴1）2b+cb=4∴ y0= 525b+cc=5 P∴抛物线的解析式为 y=－x2+4x+5． 3 分（ 2）点 P 横坐标为 m，就 P〔m,－ m2＋ 4m＋ 5） ,E〔 m,－ 34m+3〕 ， F 〔m,0〕, C∵点 P 在 x 轴上方，要使 PE =5EF ,点 P 应在 y 轴右侧，A∴ 0＜ m＜ 5. OE BF D XPE= － m2 ＋ 4m ＋ 5 － 〔 － 34m ＋ 3〕= － m2 ＋ 19 m ＋42 4分分两种情形争论：①当点 E 在点 F 上方时， EF =－3m＋ 3.4∵ PE=5EF ，∴ －m2＋ 19 m＋ 2=5〔 － 3 m＋ 3〕4 4即 2m2 －17m＋ 26=0，解得 m1=2， m2= 13 （舍去） 6 分2②当点 E 在点 F 下方时， EF =3m－3.4∵ PE=5EF ，∴ －m2＋ 19 m＋ 2=5〔 3m－ 3〕，4即 m2－m－ 17=0，解得 m3= 1469 ，m4= 1269 （舍去），2精品资料 欢迎下载∴ m 的值为 2 或 1 69 8 分2〔3〕, 点 P 的坐标为 P1〔－ 12， 11 〕,P2〔4， 5〕, P3〔3－ 11 ， 2 11 －3〕. 1分14【提示】∵ E 和 E CP=/关于直线 PC 对称，∴∠ E/∠ ECP ;又∵ PE∥ y 轴，∴∠ EPC=∠E/CP=∠ PCE, ∴ PE=EC,又∵ CE＝ CE/，∴．四边形 PECE /为菱形．过点 E 作 EM ⊥ y 轴于点 M ,∴△ CME ∽△ COD ，∴ CE= 5 m .4∵ PE=CE,∴ －2 19＋m5 19 52＋m＋ 2= m 或 －m m＋ 2=－ m，4 4 4 4解得 m =－ 1 ， m =4， m =3－ 11 ， m =3+ 11 （舍去）1 2 3 42可求得点 P 的坐标为 P1〔－ 12y， 11 〕,P2〔4， 5〕, P3〔3－ 11 ， 2 11 －3〕；4/yEPE MC CPE /M E B BA O F DX A F O D X。