高等流体力学第4章.ppt

第四章第四章 无粘性不可压缩无粘性不可压缩流体的无旋运动流体的无旋运动Date1流体流动与传热的数值计算 v 无粘性不可压缩流体的无旋运动是流体力 学中一种理想化的简单模型v 对无粘性不可压缩流体无旋运动的研究可 以给出许多有用的结果，并可为研究复杂 流动现象奠定基础v 通过本章的学习，可以加深了解流体力学 的某些基本规律Date2流体流动与传热的数值计算 主要内容第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程组第二节 平面运动和空间轴对称运动的流函数第三节 平面定常无旋运动的复势第四节 定常绕流中柱体受力的复势表示第五节 奇点分布法解平面势流问题第六节 镜像法解平面势流问题第七节 共形映射法解平面势流问题第八节 无粘性不可压缩流体的空间轴对称流动Date3流体流动与传热的数值计算 第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组无粘性不可压缩流体的无旋流动是真实流体 运动在一定条件下的一种简化 第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程组Date4流体流动与传热的数值计算 第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组无粘性的假设：v 真实流体都具有粘性，在流动过程中粘性力对 流动起一定的作用。

v 试验表明，当流体绕流物体时，在物体的表面 会形成很薄的一层区域： •在这个薄层区域内，流体强烈有旋，粘性作用相当 显著，流体粘性不能忽略； •薄层外大部分区域，流体惯性力与粘性力之比很大 ，粘性作用可忽略，流体可作为无粘性处理 v 自然界中，惯性力远远大于粘性力的流动现象 非常普遍，许多流动都可作为无粘性处理Date5流体流动与传热的数值计算 第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组不可压缩的假设：v 在自然界通常的条件下，流体(液体和气体)的运 动速度较低，压缩性的影响可以忽略v 可把液体和低速气体近似作为不可压缩流体无旋的假设：v 涡保持性定理指出，在一定条件下(体力有势、 正压、无粘性)，如果在流体中初始时刻没有涡 量的话，以后就永远不能具有涡量 v 无穷远均匀来流的定常绕流及从静止起动的非 定常运动等都可用无旋运动模型进行处理Date6流体流动与传热的数值计算 第一节 一、无粘性不可压缩流体运动的基本方程及定解条件一、 无粘性不可压缩流体运动的基本方程及定解条件由于非线性及速度与 压强的耦合，求解很 困难，只有在特定条 件下才可能得到理论 解初始条件：边界条件：一组最简单的 流体运动方程 组Date7流体流动与传热的数值计算 第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组 二、速度势函数二、 速度势函数如果在流动区域内，流体运动无旋，则可以证明 必存在一个速度势函数：速度势函数， 或速度势代入不可压 流体连续性 方程拉普拉斯方 程Date8流体流动与传热的数值计算 引入速度势函数的意义：•速度势函数满足拉普拉斯方程，拉普拉斯 方程是线性方程，在给定的边界条件下可 以进行数学求解，求解方法比较成熟；•在原基本方程组中，速度与压强耦合，引 入速度势函数后，基本方程组转化为只需 求解速度势就可以了，成为一个纯数学问 题；在求得速度势和流动速度后，代入运 动方程即可求解压强。

第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组 二、速度势函数Date9流体流动与传热的数值计算 压强的求解：对于正压和体力有势流体，当流动无旋时， 存在拉格朗日积分：正压 函数体力势在流体密度不变，体力为重力时，有：第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组 二、速度势函数在已知速度势函数 及速度的条件下， 压强函数可由此式 求出Date10流体流动与传热的数值计算 第一节 三、无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程及定解条件三、 无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程及定解条件初始条件：边界条件：Date11流体流动与传热的数值计算 关于速度势函数的说明：•速度势满足拉普拉斯方程的条件：(1) 流动无旋；(2) 流体不可压•对于粘性不可压缩流体，如果运动无旋，则也 存在速度势函数，且同样满足拉普拉斯方程， 但边界条件要发生变化什么变化？)•速度势满足拉普拉斯方程与流动是否定常无关 ；对于非定常流动，时间 t 在方程中以参数的 形式出现第一节 三、无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程及定解条件Date12流体流动与传热的数值计算 无粘性不可压缩流体绕流分析：分析条件：•不可压均匀来流速度为V∞，密度为； •绕流物体为无穷长直圆柱，半径为a； •不计重力，无速度环量。

第一节 三、无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程及定解条件这是一个无粘性不 可压无旋二维流动 ，存在速度势函数Date13流体流动与传热的数值计算 速度势函数所满足的拉普拉斯方程为：第一节 三、无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程及定解条件边界条件：柱坐标下的 拉普拉斯方 程Date14流体流动与传热的数值计算 应用分离变量法，求得速度势函数：第一节 三、无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程及定解条件速度：Date15流体流动与传热的数值计算 圆柱壁上流体的速度：第一节 三、无粘性不可压缩流体无旋运动的基本方程及定解条件根据伯努利方程，圆柱壁上的压强：根据圆柱壁面上 的压强分布，就 可以求出圆柱受 力Date16流体流动与传热的数值计算 第二节 平面运动和空间轴对称运动的流函数平面运动：第二节 平面运动和空间轴对称运动的流函数平面运动指流场中各点流体速度都平行于某 一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直 方向没有变化：说明：实际工程中，严格意义的平面运动不存在，但 当物理量在某一方向的变化相对其他方向的变 化很小，则可将此流动简化为平面运动Date17流体流动与传热的数值计算 第二节 平面运动和空间轴对称运动的流函数空间轴对称运动：空间轴对称运动指在流场中存在对称轴，所 有流体质点都在通过轴线的平面内运动，而 且所有这些过轴线的平面内的运动情况都是 相同的：例如：炮弹在空 中直线飞行、排 气管内气体的流 动等Date18流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 一、平面运动的流函数一、不可压缩流体平面运动的流函数1. 流函数的定义流函数的定义(直角坐标系中)：直角坐标系中的标量函数，当其满足：则称这个标量函数为流函数。

Date19流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 一、平面运动的流函数流函数的定义(柱坐标系中)：柱坐标系中的标量函数，当其满足：则称这个标量函数为柱坐标下的流函数Date20流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 一、平面运动的流函数2. 流函数的性质(1) 等流函数线是流线等流函数线上：d = 0平面运动的 流线方程说明：以下各项性质与 流体是否具有粘性无关 ，即不论是粘性流体或 者非粘性流体都适用Date21流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 一、平面运动的流函数(2) 平面内任意两点的流函数的差值等于通过这两点 的流体的流量过任一非流线的曲线AB上微元dl的流量：Date22流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 一、平面运动的流函数(3) 流函数可能是多值函数假设流过内边界L0的总流量Q0不为零，即：如果封闭曲线P0DBAP0绕内边界n周，则有：说明是多值的， 它们之间相差Q0 的整数倍尽管流函数可能是 多值的，但速度是 单值的。

Date23流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 一、平面运动的流函数(4) 流函数的值是“速度矢量势B”的模根据不可压缩流体连续性方程(速度的散度为零) ，定义“速度矢量势B”:另一方面：比较Date24流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 一、平面运动的流函数(5) 流函数 满足 -  方程平面流动的流体涡量只有z轴方向分量： -  方程Date25流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 一、平面运动的流函数3. 流函数所满足的方程根据无粘性、不可压缩、体力有势条件下的亥姆 霍兹方程以及流函数的定义和性质，可得： 无粘性不可压缩流体平面运动流函数满足的方程 ：定常条件下Date26流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 一、平面运动的流函数4. 无粘性不可压缩流体的平面无旋运动无旋条件下，  - 方程转化为拉普拉斯方程：无旋条件下(1) 无粘性不可压缩流体平面无旋运动的运动方程无粘性不可压缩 流体平面无旋运 动的运动方程Date27流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 一、平面运动的流函数(2) 无粘性流体的流函数应满足的边界条件无粘性流体在固壁边界上应满足无渗透与 无分离条件：其中：固壁平动速度固壁转动角速度Date28流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 一、平面运动的流函数边界条件为：沿周界积分固壁静止时无粘性流体的流 函数应满足的静 止固体壁面上的 边界条件Date29流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 一、平面运动的流函数无粘性不可压缩流体平面无旋运动的基本方程 及定解条件：边界条件：运动方程：Date30流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 一、平面运动的流函数说明：•无粘性不可压缩流体的平面无旋流动同时存 在速度势函数和流函数，并且速度势函数和 流函数都满足拉普拉斯方程。

•无粘性不可压缩流体的平面无旋流动问题可 归结为速度势函数或流函数的拉普拉斯方程 的求解问题，通过求解可得到速度势函数或 流函数，根据速度势函数或流函数与速度的 关系即可求得速度场及压强分布Date31流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 二、斯托克斯函数二、不可压缩流体空间轴对称运动的斯托克斯函数1. 斯托克斯函数的定义斯托克斯函数的定义(柱坐标系中)：柱坐标系中的标量函数，当其满足：则称这个标量函数为斯托克斯函数通常把不可压缩流体空间轴对称运动中的流 函数称为斯托克斯函数Date32流体流动与传热的数值计算 斯托克斯函数的定义(球坐标系中)：球坐标系中的标量函数，当其满足：则称这个标量函数为球坐标下的斯托 克斯函数第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 二、斯托克斯函数Date33流体流动与传热的数值计算 2. 斯托克斯函数的性质(1) 在对称轴平面上的等流函数线即为流线2) 过对称轴平面内任两点流函数值的差乘以2 等于通过这两点任意曲线绕对称轴旋转形成 的旋转面的流量 (3) 对于无粘性不可压缩流体空间轴对称的无旋 运动，斯托克斯函数满足：柱坐标系：球坐标系：第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 二、斯托克斯函数Date34流体流动与传热的数值计算 第二节平面运动和空间轴对称运动的流函数 二、斯托克斯函数说明：•对于无粘性不可压缩流体空间轴对称的无旋运 动问题，可以通过两种方式求解：求解速度势 函数满足的拉普拉斯方程；求解斯托克斯函数 所满足的方程。

•斯托克斯流函数满足的方程不是拉普拉斯方程 ，求解具有较大的困难，因此通常不采用解斯 托克斯流函数的方法对无粘性不可压缩流体空 间轴对称的无旋运动问题进行研究Date35流体流动与传热的数值计算 第三节 平面定常无旋运动的复势第三节 平面定常无旋运动的复势无粘性不可压缩流体平面无旋运动的速度势和 流函数满足柯西-黎曼条件：因此，可以通过复变函数求解解析函数的方 法对流场进行求解Date36流体流动与传热的。