最新数学九年级上浙教版446;2相似三角形同步练习4优秀名师资料.doc

数学九年级上浙教版4.2相似三角形同步练习44.2 相似三角形 同步练习 重点、难点： 1. 通过探索两个三角形相似的识别方法，加强合情推理能力的培养，感受发现的乐趣，逐步掌握说理的基本方法 2. 通过相似三角形性质复习，丰富与角、面积等相关的知识方法，开阔研究角、面积等问题的视野 1. 相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles） 议一议： （1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？ （2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？ （3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？ 2. 相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比 AB 说明：相似比要注意顺序：如?ABC??A'B'C'的相似比k,，而?A'B'C'??ABC的相似比1AB''1AB'',k，这时 k,12kAB23. 相似三角形的识别 （1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似 （2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 （3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

例1. 如图，?1＝?2＝?3，图中相似三角形有（ ）对 A 1 D E 2 3 B C 4对 例2. 如图，已知：?ABC、?DEF，其中?A＝50?，?B＝60?，?C＝70?，?D＝40?，?E＝60?，?F＝80?，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使?ABC所分成的每个三角形与?DEF所分成的每个三角形分别对应相似？ 如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由 B E A C D F B E oo M 60 N 60 oooo 50 70 40 80 A C D F 例3. （2004?广东省）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E （1）求证：?CDE??FAE； （2）当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：?F＝?BCF D C E F A B 相似三角形的识别、特征在解题中的应用 由AB?DC得：?F＝?DCE，?EAF＝?D ??CDE??FAE CDDE？, ，又E为AD中点 FAAE?DE＝AE，从而CD＝FA，结合已知条件，易证 BF＝BC，?F＝?BCF （1）?四边形ABCD是平行四边形 ?AB?CD ??F＝?DCE，?EAF＝?D ??CDE??FAE （2）?E是AD中点，?DE＝AE CDDE 由（1）得：, AFAE?CD＝AF ?四边形ABCD是平行四边形 ?AB＝CD ?AB＝CD＝AF ?BF＝2CD，又BC＝2CD ?BC＝BF ??F＝?BCF 平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。

例4. 在梯形ABCD中，?A＝90?，AD?BC，点P段AB上从A向B运动， （1）是否存在一个时刻使?ADP??BCP； （2）若AD＝4，BC＝6，AB＝10，使?ADP??BCP，则AP的长度为多少？ A D B C （1）存在 A D P B C ADAP （2）若?ADP??BCP，则, BCBP设 APx,4x ？,，，？,？,xAP44 610,xADAP 或 ,BPBC4x ？,？,，x4或 x,6106,x或 ？,AP4AP,6?AP长度为4或6 例5. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则SSS：：,（ ） ,,,DEFEBFABFA. 4：10：25 B. 4：9：25 C. 2：3：5 D. 2：5：25 （2001年黑龙江省中考题） 运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比 ?选A 例6. 如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知?C＝90?，AB＝5cm，BC＝3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长 要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在?ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。

如图甲，设正方形EFGH边长为x，则AC＝4 12 而CD×AB＝AC×BC＝，得 2SCD,,ABC5CMEH 又?CEH??CAB，得 ,CDAB12,xx605 于是，解得：x, ,123755如图乙，设正方形CFGH的边长为y cm GHBH 由GH?AC，得：, ACBCyy3,12y, 即,，解得： 743601260 ？xyyx,,,？,，， 3773512 即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为cm 7ABaADb,,， 例7. 如图，已知直角梯形ABCD中，?A＝?B＝90?，设，BCbab,,2()，作DE?DC，DE交AB于点E，连结EC （1）试判断?DCE与?ADE、?DCE与?BCE是否分别一定相似？若相似，请加以证明 （2）如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似？ （1）?DCE与?ADE一定相似，?DCE与?BCE不一定相似，分别延长BA、CD交于F点 FDADb1 由?FAD??FBC，得： ,,,FCBC2b2于是FD＝DC，从而可证?FED??CED 得?AED＝?DEC 所以?DEC??AED 22CDab,， （2）作CG?AD交AD延长线于G， AEAD 由?AED??GDC，有，得 ,GDGC2bAE,a2222222,,bbDEAEADb,，,，,，ab,,aa,,222bab, BEABAEa,,,,,aa2222ab,BEab,a2222,,bDEbab，ab，aBC2b, 22DCab，BEBC 要使?DCE与?BCE相似，那么,一定成立 DEDC22ab,22,2b 即，得 ab,3bab,3 也就是当时，?DCE与?BCE一定相似。

（答题时间：40分钟） SS：：,916 1. 如图，已知DE?BC，CD和BE相交于O，若，则AD：DB＝____________ ,,DOECOB2. 如图，?ABC中，CE：EB＝1：2，DE?AC，若?ABC的面积为S，则?ADE的面积为____________ 3. 若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为____________ （2000年武汉市中考题） 4. 阅读下面的短文，并解答下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体 ab： 如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：，22Saa6,,甲设SS：VV、分别表示这两个正方体的表面积，则，又设分别表示这两个正方,,,,甲乙甲乙2,,Sb6b乙33Vaa,,甲体的体积，则 ,,,,3,,Vbb乙（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ） A. 两个球体 B. 两个圆锥体 C. 两个圆柱体 D. 两个长方体 （2）请归纳出相似体的3条主要性质： ?相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于____________； ?相似体表面积的比等于____________； ?相似体体积的比等于____________。

（2001年江苏省泰州市中考题） 5. 如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高（ ） A. 11.25 m B. 6.6 m C. 8 m D. 10.5 m BC,2 6. 如图，D为?ABC的边AC上的一点，?DBC＝?A，已知，?BCD与?ABC的面积的比是2：3，则CD的长是（ ） 4243 A. B. C. D. 33333AD1, 7. 如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，则有（ ） AC3A. ?AED??BED B. ?AED??CBD C. ?AED??ABD D. ?BAD??BCD （2001年杭州市中考题） 8. 如图，已知?ABC中，DE?FG?BC，且AD：FD：FB＝1：2：3，则等SSS：：,ADEDFGEFBCG四边形四边形于（ ） A. 1：9：36 B. 1：4：9 C. 1：8：27 D. 1：8：36 2ABBC, 9. 如图，已知梯形ABCD中，AD?BC，?ACD＝?B，求证： 2ADCD10. 如图，?ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE?BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F。

（1）求证：?ABC??FCD； SBC,,510， （2）若，求DE的长 ,FCD（2000年河北省中考题） 11. 阅读并解答问题 在给定的锐角?ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上，作法如下： 第一步：画一个有3个顶点落在?ABC两边上的正方形D'E'F'G' 第二步：连结BF'，并延长交AC于点F； 第三步：过F点作FE?BC于E； 第四步：过F点作FG?BC交AB于点G； 第五步：过G点作GD?BC于点D 四边形DEFG即为所求作的四边形DEFG，为正方形 问题： （1）证明上述所求作的四边形DEFG为正方形； BCABC,，,:6345，? （2）在?ABC中，如果，?BAC＝75?，求上述正方形DEFG的边长 （江苏省扬州市中考题） A G F G' F' B D' E' D E C ABACBC,,,52，PPPP、、„ 12. 如图，在?ABC中，，在BC上有100个不同的点，过123100这100个点分别作?ABC的内接矩形PEFGPEFG，„PEFG，设每个内接矩形的周长11112222100100100100分别为LLL、„LLL，，，,„，则 1210012100____________。

（安徽省竞赛题） A E F22 E F11 B PPGG C 1 2 2 1 13. 如图，在?ABC中，DE?FG?BC，GI?EF?AB，若?ADE、?EFG、?GIC的面积分别为222204580cmcmcm、、，则?ABC的面积为____________ 14. 如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别2在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是____________厘米 （第11届“希望杯”邀请赛试题） 15. 如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为（ ） A E D B F C 31：21： A. 2：1 B. C. D. 1：1 16. 如图，梯形ABCD中，AB?CD，且CD＝3AB，EF?CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于（ ） A B 。