屈婉玲离散数学PPT16.ppt

1,第十六章 树,主要内容 无向树及其性质 生成树 根树及其应用,2,16.1 无向树及其性质,定义16.1 (1) 无向树——连通无回路的无向图 (2) 平凡树——平凡图 (3) 森林——至少由两个连通分支（每个都是树）组成 (4) 树叶——1度顶点 (5) 分支点——度数2的顶点,3,无向树的等价定义,定理16.1 设G=是n阶m条边的无向图，则下面各命题 是等价的： (1) G 是树 (2) G 中任意两个顶点之间存在惟一的路径. (3) G 中无回路且 m=n1. (4) G 是连通的且 m=n1. (5) G 是连通的且 G 中任何边均为桥. (6) G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈.,4,(3)(4). 只需证明G连通. 用反证法. 否则G有s（s2）个连通 分支都是小树. 于是有mi=ni1, ， 这与m=n1矛盾.,证明思路,(2)(3). 若G中有回路，则回路上任意两点之间的路径不 惟一. 对n用归纳法证明m=n1. n=1正确. 设nk时对，证n=k+1时也对：取G中边e， Ge有且仅有两个连通分支G1,G2(为什么?) . nik，由归纳 假设得mi=ni1, i=1,2. 于是，m=m1+m2+1=n1+n22+1=n1.,,(1)(2). 关键一步是, 若路径不惟一必有回路.,5,(4)(5). 只需证明G 中每条边都是桥. 为此只需证明命题 “G 是 n 阶 m 条边的无向连通图，则 mn1”. 命题的证明: 对n归纳. eE, Ge只有n2条边，由命题可知Ge不连通，故e为桥.,证明思路,(5)(6). 由(5)易知G为树，由(1)(2)知，u,vV（uv）, u到v有惟一路径，加新边(u,v)得惟一的一个圈.,(6)(1). 只需证明G连通，这是显然的.,6,由上式解出x  2.,定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T 中至少有两片树叶.,无向树的性质,证 设 T 有 x 片树叶，由握手定理及定理16.1可知，,7,例题,例1 已知无向树T中有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点 全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树.,解 解本题用树的性质m=n1，握手定理. 设有x片树叶，于是 n = 1+2+x = 3+x, 2m = 2(n1) = 2(2+x) = 13+22+x 解出x = 3，故T有3片树叶.,T 的度数列应为 1, 1, 1, 2, 2, 3， 易知3度顶点与1个2度顶点相邻与和2个2度顶点均相邻是非同构的，因而有2棵非同构的无向树T1, T2，如图所示.,8,例2 已知无向树T有5片树叶，2度与3度顶点各1个，其余顶 点的度数均为4，求T的阶数n，并画出满足要求的所有非同 构的无向树.,例题,解 设T的阶数为n, 则边数为n1，4度顶点的个数为n7. 由握手定理得 2m = 2(n1) = 51+21+31+4(n7) 解出n = 8，4度顶点为1个.,9,T的度数列为1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4，共有3棵非同构的无向树，如图所示.,例题,10,不一定连通，也不一定不含回路，如图所示,定义16.2 设G为无向图 (1) G的树——T 是G 的子图并且是树 (2) G的生成树——T 是G 的生成子图并且是树 (3) 生成树T的树枝——T 中的边 (4) 生成树T的弦——不在T 中的边 (5) 生成树T的余树 ——全体弦组成的集合的导出子图,16.2 生成树,11,推论2 的边数为mn+1.,推论3 为G的生成树T的余树，C为G中任意一个圈，则C与 一定有公共边. 证 否则，C中的边全在T中，这与T为树矛盾.,定理16.3 无向图G具有生成树当且仅当G连通.,生成树存在条件,推论1 G为n阶m条边的无向连通图，则mn1.,证 必要性显然. 充分性用破圈法（注意：在圈上删除任何一条边，不破坏连通性）,12,基本回路系统,定理16.4 设T为G的生成树，e为T的任意一条弦，则Te中 含一个只有一条弦其余边均为T的树枝的圈. 不同的弦对应的 圈也不同. 证 设e=(u,v)，在T中u到v有惟一路径，则e为所求的圈.,定义16.3 设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生成树，设 e1, e2, …, emn+1为T 的弦. 设Cr为T 添加弦er 产生的只含弦 er、其余边均为树枝的圈. 称Cr为G的对应树T 的弦er的基本 回路或基本圈，r=1, 2, …, mn+1. 并称{C1, C2, …,Cmn+1}为 G对应T 的基本回路系统，称mn+1为G的圈秩，记作 (G).,求基本回路的算法：设弦e=(u,v)，先求T中u到v的路径uv，再并上弦e，即得对应e的基本回路.,13,基本割集的存在,定理16.5 设T是连通图G的一棵生成树，e为T的树枝，则G 中存在只含树枝e，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对 应的割集也不同. 证 由定理16.1可知，e是T的桥，因而Te有两个连通分支T1 和T2，令 Se={e | eE(G)且 e 的两个端点分别属于V(T1)和V(T2)}， 由构造显然可知Se为G的割集，eSe且Se中除e外都是弦， 所以Se为所求. 显然不同的树枝对应的割集不同.,14,定义16.4 设T是n阶连通图G的一棵生成树，e1, e2, …, en1 为T 的树枝，Si是G的只含树枝ei的割集，则称Si为G的对应 于生成树T由树枝ei生成的基本割集，i=1, 2, …, n1. 并称 {S1,S2, …, Sn1}为G 对应T 的基本割集系统，称n1为G的割 集秩，记作(G).,基本割集与基本割集系统,求基本割集的算法 设e为生成树T 的树枝，Te为两棵小树T1与T2，令 Se ={e | eE(G)且e的两个端点分别属于T1与T2} 则Se为e 对应的基本割集.,15,解 弦e, f, g对应的基本回路分别为 Ce=e b c, Cf=f a b c, Cg=g a b c d, C基={Ce, Cf, Cg}. 树枝a, b, c, d对应的基本割集分别为 Sa={a, f, g}, Sb={b, e, f, g}, Sc={c, e, f g}, Sd={d, g}, S基={Sa, Sb, Sc, Sd}.,例3 图5实线边所示为生成树，求基本回路系统与基本割集系统,实例,16,最小生成树,定义16.5 T是G=的生成树 (1) W(T)——T各边权之和 (2) 最小生成树——G的所有生成树中权最小的,求最小生成树的一个算法 避圈法（Kruskal）设G=，将G中非环边按权从小 到大排序：e1, e2, …, em. (1) 取e1在T中 (2) 查e2，若e2与e1不构成回路，取e2也在T 中，否则弃e2. (3) 再查e3,…, 直到得到生成树为止.,17,例4 求图的一棵最小生成树.,所求最小生成树如 图所示，W(T)=38.,实例,18,16.3 根树及其应用,定义16.6 T是有向树（基图为无向树） (1) T 为根树——T 中一个顶点入度为0，其余的入度均为1. (2) 树根——入度为0的顶点 (3) 树叶——入度为1，出度为0的顶点 (4) 内点——入度为1，出度不为0的顶点 (5) 分支点——树根与内点的总称 (6) 顶点v的层数——从树根到v的通路长度 (7) 树高——T 中层数最大顶点的层数 (8) 平凡根树——平凡图,19,根树实例,根树的画法——树根放上方，省去所有有向边上的箭头,20,家族树与根子树,定义16.7 T 为非平凡根树 (1) 祖先与后代 (2) 父亲与儿子 (3) 兄弟 定义16.8 设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子 图为以v为根的根子树.,21,根树的分类,(1) T 为有序根树——同层上顶点标定次序的根树 (2) 分类 ① r 叉树——每个分支点至多有r 个儿子 ② r 叉有序树——r 树是有序的 ③ r 叉正则树——每个分支点恰有r 个儿子 ④ r 叉正则有序树 ⑤ r 叉完全正则树——树叶层数相同的r叉正则树 ⑥ r 叉完全正则有序树,22,定义16.9 设2叉树T 有t片树叶v1, v2, …, vt，权分别为w1, w2, …, wt，称 为T 的权，其中l(vi)是vi 的层数. 在所有有t片树叶，带权w1, w2, …, wt 的2叉树中，权最小的2叉树称为最优2叉树.,最优二叉树,求最优树的算法—— Huffman算法 给定实数w1, w2, …, wt，且w1w2…wt. (1) 连接权为w1, w2的两片树叶，得一个分支点，其权为w1+w2. (2) 在w1+w2, w3, …, wt 中选出两个最小的权，连接它们对应的顶点(不一定是树叶)，得新分支点及所带的权. (3) 重复(2)，直到形成 t1个分支点，t片树叶为止.,23,例 5 求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优树. 解题过程由图9给出，W(T)=38,24,最佳前缀码,定义16.10 设1, 2, …, n-1, n是长度为 n 的符号串 (1) 前缀——1, 12, …, 12…n1 (2) 前缀码——{1, 2, …, m}中任何两个元素互不为前缀 (3) 二元前缀码——i (i=1, 2, …, m) 中只出现两个符号，如0与1.,如何产生二元前缀码？ 定理16.6 一棵2叉树产生一个二元前缀码. 推论 一棵正则2叉树产生惟一的前缀码（按左子树标0，右子树标1）,25,图所示二叉树产生的前缀码为 { 00, 10, 11, 011, 0100, 0101 },26,用Huffman算法产生最佳前缀码,例6 在通信中，八进制数字出现的频率如下： 0：25% 1：20% 2：15% 3：10% 4：10% 5：10% 6：5% 7：5% 求传输它们的最佳前缀码，并求传输10n（n2）个按上述比 例出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的 （长为3）的码字传输需要多少个二进制数字？,27,解 用100个八进制数字中各数字出现的个数，即以100乘各频率为权，并将各权由小到大排列，得w1=5, w2=5, w3=10, w4=10, w5=10, w6=15, w7=20, w8=25. 用此权产生的最优树如图所示.,求最佳前缀码,01-----0 11-----1 001-----2 100-----3 101-----4 0001-----5 00000-----6 00001-----7,W(T)=285， 传10n(n2)个 用二进制数字需 2.8510n个， 用等长码需 310n个数字.,28,波兰符号法与逆波兰符号法,行遍或周游根树T——对T的每个顶点访问且仅访问一次. 对2叉有序正则树的周游方式： ① 中序行遍法——次序为：左子树、根、右子树 ② 前序行遍法——次序为：根、左子树、右子树 ③ 后序行遍法——次序为：左子树、右子树、根,对图所示根树按中序、前序、 后序行遍法访问结果分别为： b a (f d g) c e， a b (c (d f g) e)， b ((f g d) e c) a,29,用2叉有序正则树存放算式,存放规则 最高层次运算放在树根 后依次将运算符放在根子树的根上 数放在树叶上 规定：被除数、被减数放在左子树树叶上,算式 ((b+(c+d))a)((ef)(g+h)(ij)) 存放在图所示2叉树上.,30,波兰符号法,波兰符号法 按前序行遍法访问存放算式的2叉有序正则树，其结果不加 括号，规定每个运算符号与其后面紧邻两个数进行运。