菱形问题分类例析.doc

动手操作折菱形折纸是一种既有趣味性，同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动，通过折纸可以得到许多美丽的图案，下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形一、从三角形纸片中折出菱形例1、将一张三角形的纸片ABC按照如下的折叠步骤进行折叠：O图1（1）将三角形的纸片ABC沿过B点的某条直线折叠，使BC与BA重合，得到折痕与AC的交点D2）再将三角形的纸片ABC沿某条直线折叠，使点B与点D重合，得到折痕与BA、BC的交点E、F则四边形EBFD是菱形分析：关键利用轴对称的性质得到相应的边等和角等，然后熟练利用菱形的判定进行说理本题说明四边形EBFD是菱形的方法很多，下面一一予以说明解：由第一步折叠可知：∠ABD=∠CBD，由第二步折叠可知：EF垂直平分BD，∴BE=DE，DF=BF，OD=OB，∴∠ABD=∠EDB．∴∠EDB=∠CBD．又∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB，∴DE=BF．∴ BE=DE=DF=BF．∴四边形EBFD是菱形（四边相等的矩形是菱形）．二、从矩形纸片中折出菱形例2、把一张矩形的纸ABCD按照如下的折叠步骤进行折叠：图2O将矩形的纸片ABCD沿某条直线折叠，使点B与点D重合，得到折痕与AD、BC的交点E、F。

则四边形EBFD是菱形分析：虽然纸片不同，但方法同例1一样，说明四边形EBFD是菱形的方法还有很多，下面只选一种予以说明解：由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BE=DE，DF=BF，OD=OB，∴∠EBD=∠EDB．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠FBD，又∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB，∴DE=BF．∴ BE=DE=DF=BF．∴四边形EBFD是菱形（四边相等的矩形是菱形）．菱形中的计算题在矩形中，常见的计算题有求线段的长，角的度数，图形的周长与面积等菱形作为特殊的平行四边形问题，平行四边形的性质它都具有，同时还具有它本身所特有的性质，即菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角下面举例说明这些性质在解题中的应用一、求角的度数图1例1、如图1，菱形ABCD的一条对角线BD长为12cm，周长为48㎝，求这个菱形的内角的度数解析：如图1，因为四边形ABCD为菱形，周长为48㎝，所以AB=BC=CD=DA=12㎝，又若BD=12㎝，所以AB=AD=BD，所以ABD为等边三角形，所以∠A=60°，所以又∠ABC=∠ADC =120°，则∠C=60°。

例2、如图2，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠CEF.ABDFCE图2解析：连结AC.因为∠B＝60°，AB＝BC，所以△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠BAC＝60°，因为∠CAF+∠CAE＝60°，∠CAE+∠BAE＝60°，所以∠BAE＝∠CAF.因为四边形ABCD是菱形，所以∠BCD＝180°－∠B＝120°，AC平分∠BCD，所以∠ACF＝60°，即∠B＝∠ACF，在△ABE和△ACF中，因为∠B＝∠ACF，AB＝AC，∠BAE＝∠CAF，所以△ABE≌△ACF，所以AE＝AF，因为∠EAF＝60°，所以△AEF是等边三角形，即∠AEF＝60°，因为∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°+20°＝80°，所以∠CEF＝∠AEC－∠AEF＝80°－60°＝20°.二、求线段的长图3例3、菱形的周长为20㎝，相邻两角的度数之比为1：2，求菱形的较短的对角线长解析：如图3，因为四边形ABCD为菱形，则CD∥AB，所以∠A+∠ADC=180°，又∠A：∠ADC=1：2，则∠A=60°，又因为菱形的四条边相等，即AB=AD=5㎝，所以ABD为等边三角形，所以AB=BD=5cm，则菱形的较短的对角线长为5cm。

三、求图形的周长O图4例4、如图4，菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是24和10，则菱形的周长为 ，面积为 解析：由于菱形的两条对角线互相垂直平分，所以OA=12，OB=5，所以AB===13，又菱形的四条边都相等，所以菱形的周长为52又菱形的面积为S△ABD+S△BCD=BD×OA+BD×OC=BD×（OA+OC）=BD×AC=120由此可以得到，菱形的面积等于两条对角线积的一半四、求图形的面积图5例5、如图5，菱形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，AE⊥BC于E，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG与AF交于点H，交AD于点G（1）求菱形ABCD的面积（2）求∠CHA的度数解析：（1）连结AC，∵E为BC的中点，AE⊥BC，∴AB=AC，又∵菱形的四边相等，∴AB=BC=AC=4，∴AE==2,∴菱形ABCD的面积为4×2=8（2）因为CG∥AE，又AE⊥BC，所以CG⊥CD，又可得△ACD为等边三角形，AF⊥CD，易得∠DAF=30°，所以∠AHG=60°, ∴∠CHA=120° 说明：此题也可以利用RtABO求出BO的长，从而求出BD长，利用菱形ABCD的面积是其对角线积的一半，求出菱形的面积。

综观上述例题，我们可以看出，菱形的对角线将矩形分成四个等腰三角形和四个全等的直角三角形，再由特殊角，又可得某些等边三角形，然后利用等边三角形的性质以及勾股定理来解决问题解决菱形问题时，在充分运用它们边、角和对角线的性质同时，还常常把它们转化为等腰三角形和直角三角形中的问题，将等腰三角形和直角三角形的性质和矩形、菱形的性质结合起来进行求解O图7练习：1、如图7，在菱形ABCD中，不一定成立的（　　）（A）四边形ABCD是平行四边形 （B）AC⊥BD（C）△ABD是等边三角形 （D）∠CAB＝∠CAD答案：菱形作为特殊的平行四边形，平行四边形的性质它都具有，同时它还具有平行四边形不具有的性质：四条边都相等，对角线互相垂直，每一条对角线都平分一组对角所以A、B、D都是正确的，△ABD只能是等腰三角形，要是等边三角形，还需增加条件菱形“条件追溯型”试题赏析这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断.解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意.现从中考试题中采撷几例,予以分析.ADCB图1O例1 如图1，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．解析:本题是对菱形判定的直接考查,比较容易,只要对判定方法熟悉,问题便可迎刃而解.因为四边形的对角线互相平分，所以四边形为平行四边形,若应用一组邻边相等的平行四边形是菱形来判定，则需要添加条件AB=BC;若用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来判定.则需要添加条件AC⊥BD.图2例2 如图2，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.（1）求证：△ABE≌△ACE（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.分析:欲证△ABE≌△ACE,因为AB=AC，AE是公共边,只需证其夹角相等,这可由等腰三角形的三线合一性质得到;(2)若四边形ABEC是菱形,因为菱形的对角线互相垂直且平分（1）证明：∵AB=AC，点D为BC的中点∴∠BAE=∠CAE，AE=AE∴△ABE≌△ACE（SAS）（2）当AE=2AD（或AD=DE或DE=AE）时，四边形ABEC是菱形理由如下：∵AE=2AD，∴AD=DE又点D为BC中点，∴BD=CD∴四边形ABEC为平行四形边∵AB=AC∴四边形ABEC为菱形评注:解这类问题，应从分析题中己有条件，（包括从图形中找的条件）和结论着手，通过分析、联想找出结记成立的必备条件，然后根据己知条件，加以补充、完善、验证． ADGCBFE趁热打铁:已知：如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．（1）求证：；（2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴．∵是边上的高，且是由沿方向平移而成．∴．∴．∵，∴．∴．（2）当时，四边形是菱形．∵，，∴四边形是平行四边形．∵中，，∴，∴．∵，∴．∴．∴四边形是菱形．。