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等价无穷小量的替换法求极限樊宝恒（西北师范大学数学与统计学学院 甘肃 兰州 730070）摘 要： 讨论了等价无穷小量以及等价无穷小量替换法求极限以及在运算中互相替换时要注意的一些问题.Abstract: Some problems are discussed as well as the Equivalent Infinitesimal Substitution of Equivalence Infinitesimal Method for limit and replace each other in operation should pay attention to.关键词： 无穷小量；无穷大量；等价无穷小量；极限Keywords: infinitesimal; infinity; l; infinite product; limit一 等价无穷小量的定义设 f 在某 内有定义，若0x则称 f 为当 时的无穷小量0lim()x0x设当 时， f 于 g 均为无穷小量0若 则称 f 于 g 是当 时的等价无穷小量记作0()li1xfg0x0()~()fx二 等价无穷小在求函数极限中的应用求函数的极限技巧很强，可利用无穷小等价的关系，简化了求某些 0型的极限的计算1引理 设函数 （x） ， （x）满足下列条件：ff在 a 的某个去心邻域内均有非零导数（1）lim f（x）=0， ； 0)(lim_xfax（2） 则()li1xaf，lim()xafln()i1xafx（3）当 f（x） ， >0 时, =1()fln()imxaf证明 由洛比达法则;;()limxaf()li1xafxln(1)ixaf1()li.xafx= ,证毕l()imnxaf()li.xaf定理 1 设函数 f(x),g(x)及 , 满足下列条件 :()fxg（1）在 a 的某去心邻域内均有导数（2）在 x a 时,均为无穷小量 ,, ,于是;()lim1xaf()li1xag(1) 若1()li,fxxagl1()ifxagl(2) 若 f(x), >0，且 ,则f()lixft()limgxxaft证明 由引理(1) ln1() ln1()ln1() ln1()imi*ixaxa xaggggfffxf故 11()()lilifxfxxaaggl(2) ln()lim()lnli()ln*lim()ln()xaxa xafff gfxx故 ()()liliggxxaafft如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量,则在求某些 型的01极限时将很方便. 如 时, 等,均为无穷小量,且0xsin,ta1,ln()xxe00200sinlmlicos1talilixxxx001lilin()m1xxxxee所谓等价无穷小，是指在同种变化趋势下， 和 都是无穷小，且0，如果 ，那么 和 是等价无穷小，记 。

这意味着在这一lim1~极限过程中， 和 趋近于零的速度基本相同例如因为 ，0sinlm1x，所以当 时， 都是等价无穷小，即0tanlix0x,sintaxs~,t常见的等价形式有： 时，x 2sinta,rcsin~aros,ln(1),~,(1)~,1cos~xaxxxex,1()~x12例 1 因为当时0xsintax0lnt7imx解 原式= =07llit2nx007lilim12xx例 2 1lnta20limsxx解 00sinllim1lnsita2lnta2ta20lisxx xxe使用等价无穷小，当时 sin~,taxx上式= 0lim12xee例 3 求630l(ta)inscoxx解 它是 型，按以前的求极限方法，它是不能用等价无穷小来代替，用洛必达法则计算 原式= 612653320 1[tan(2)]sec(1)()lim .siooscsinxxxxx很显然，这个题目直接用洛比达法则求解太繁，我们考虑函数中使用等价无穷小进行化简注意到：当 时，有0x66623331tan(12)~(1)~()sicocos8xxx原极限= 66630 06(tan1)l lnlnimim1ics18()88x xx可见，对一些无法直接使用等价无穷小的极限式直接使用洛比达法则，会造成计算量大而且通过对函数式的构造变换，再使用等价无穷小，就很容易求得答案了。

数列极限的常见求法（1）极限的四则运算法则若{ }与{ }为收敛数列，则{ }，{ }，{ }也都是收敛数列，nanbnabnnab其有lim()linnaabb例 4 求 li(1)n解 1nn由 1()n得 1lim(1)lim2nn（2） 利用重要极限求数列的极限两个重极限分别为 n0sinx1(1)lm,(2)li)exn例 5 求 n2lin解 2nli(1)li1nne（3）单调有界数列法这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为:(1)判定数列是单调有界的，从而可设其极限为 A （2）建立数列相邻两项之间的关系式 （3）在关系式两端取极限，得以关于 A 的方程，若能解出 A，问题得解例 8 求数列 ,,aaa  其中（a>0）极限解: 设 ， …0x10x1(1,2.)nnx则{ }是单调有界数列，它必有极限，设其极限为 A 在n两边取极限得 即1xa Aa20a所以 ，因为 A>0 所以42A14即 1limnax（4）利用定积分计算计算项数无限增多的无穷小量之和，有时可设法把问题化为某一函数在某一区间上的积分和的极限问题，从而利用定积分求解。

有时问题呈现乘积的形式，也可试用本方法，只式要先取对数将问题转化为和的形式例 6 计算 1lim!n（ 2）解 、(()12().!!nnnna） ！ （ +）先考虑 ，从而有11lnl()ln()ni iia100limll2lnnxdx 因此 2ln14ae（5）变上限积分的极限常用的变上限积分的等价无穷小有： 200000~tanrcsin~arctnl(1)~(1)xxxxxxtxtdtddtded其中3020(1cos)6~()lnxxttdxaa 0,1a上述等式可以用洛比塔法则直接证明，证明中我们可以看到被积函数之间是等价无穷小，由此可得将被积函数用等价无穷小代换后的变上限积分仍是等价无穷小，即是:定理 3 若当 存在， ，则0,(),()xffx()0,(),()~FxGFx)()00~fxfFtdGdt证明： () ()00() ()0()0()()limlilimlim1fxfxf ffxofx fxtFtfFfGGdd由此定理还可以得出如下结论，例如： tantan22300() () 21si~t0)1(,()0xxf fxdttdftxf例 7 求20sin3(1)lmxtoed解 原式=2 660sin 40034llilim13(sn)xxxtd例 8 求601cos2art()limxxtd解 原式=6 6602001cos 3ln(1)()liilim481cosxx xxtd（6）幂指数数激增和 Taylor 公式使用定理 4 设 ，且~,1010lim()li()xxxA证明 1 100ln()lim()iln()xx A 例 9 求2li(cos)xx解 因为 ，当 时，有21in()x，所以22sin()~x原式=22 1()21lim)li(4xxx e在求极限过程中，初学者往往对问题直接计算，造成计算量大，甚至死路一条，若平时学习注意积累一些必要的素材，对极限问题按所掌握的素材进行构造性的转换，利用等价无穷小进行化简，再结合洛比达法则，就很容易得答案了。

从而有效地提高学生思维的开放性，增强其解决复杂问题的信心，激发学生学习高等数学的兴趣综上所述，我们看到等价无穷小的应用非常广泛，但还是要具体情况具体分析，同时结合洛比达法则，选择合理恰当的方法进行求解。