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自动控制原理第四章课后习题答案（免费）41 判断下列二次型函数的符号性质：(1) 222123122313( )4262Q xxxxx xx xx x解:( )TV xx px,其中: 111143131P,P 的各阶主子式 :12310,30,160p所以,此二次型函数不定 . (2) 222123122313( )31122Q xxxxx xx xx x解: ( )TV xx px,其中111113211112P,P 的各阶主子式 :12310,20,17.50p所以,P为负定的 . 4-2 已知二阶系统的状态方程：11122122aaxxaa试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件解:坐标原点为该系统的一个平衡点,选取李亚普诺夫函数为( )TV xx px ,其中: TA PPAQ ,取 Q=I 得: 112111121112111212221222122221221001aappppaaaappppaa,展开可得 ,其中1221pp : 11112112111221221111211212112212121122121212222211122122121222221001a pa pa pa pa pa pa papa papa pa pa pa pa pap2112111111211211121222221212221112221212112122221112221212112122112212121121221 22212221120200a ppa pa paa papa ppa pa pa pa paa pa pa pa paapa pa p2112121211221212211122112221111222112222111221221112211 2120222a pa paapaaaaa aa apaaaaa a aa a a1222211112211122112221122()()a aa appaaa aa a解之得 :22112221 1221221111221122211222112221121112221122112212212()()2()()a aa aaapaaa aa aa aa aaapaaa aa a要使矩阵 P 为正定的 ,则应使 :1112112212210,0pp pp p于是得 :22112212212112211221221()()04() ()aaaaaaa aa a,即:112212211111220,00a aa apaa综上所述在平衡点出渐进稳定的充要条件为:1122112212210,0aaa aa a系统为线性的 ,所以满足上述条件即可满足大范围渐进稳定. 43 以李雅普诺夫第二方法确定下列系统原点的稳定性：（1）1123xx解:求平衡点，12120230 xxxx，可得00ex为唯一的平衡点。

设2212( )V xxx ,则1122112212221122( )222()2(23)2326636TV xx xx xxxxxxxxx xxxx,令2336p则1220,180p所以( )V x 负定,又因为该系统为线性系统 ,所以系统大范围渐进稳定. （2）1111xx解: 求平衡点，121200 xxxx，可得00ex为唯一的平衡点2212( )V xxx , 22112211221212( )222()2()2()0V xx xx xxxxxxxxx即( )V x ,又因为该系统为线性系统 ,所以系统大范围渐进稳定 . 45 试求下列非线性微分方程：12212sinxxxxx解:平衡点 :122120,sin0 xxxxx,得:12,0, 1, 2.;0eexnnx(1) 对于平衡点 :120,0eexx得:12212,xxxxx ，取2221212( )2V xxxxx，则1212112212212122122212( )24224222V xxxxxx xx xxxxxxx xxxxxx所以系统在原点处渐进稳定. 47 已知非线性系统状态方程为：12221 1212()xxxa xa x x试证明在120,0aa时系统是大范围渐进稳定的。

证明：令12221121200 xxxa xa x x，可得平衡点为00ex取221120V xa xx，2111221122112122221222222Vxa x xx xa x xxa xa x xa x x所以0V x假设0V x，区分两种情况，120,0 xx或，均能推出只有在120 xx才能得到0V x，因此该非线性系统是渐进稳定的另：当22112xV xa xx时，有， （平衡点00ex为唯一的平衡点），所以该非线性系统在120,0aa是大范围渐进稳定。