椭圆美的教学.doc

新课改中的椭圆美教学齐 伟摘要：新课改中注重激发学生兴趣的培养，故在椭圆的教学中体现数学的美，进而提高学生的学习兴趣关键词：新课改 椭圆 数学美 新课改要求教师要关注学生的学习兴趣，倡导学生主动参与、乐于探究，而许多学生对学习数学失去兴趣，甚至讨厌数学，更不要谈主动学习，是由于他们没有认识到数学美，更没有体会到数学美因此新课改中的数学美教学就显得尤为重要，本文从北师大版选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》中椭圆美的教学入手，展现椭圆图形的对称美，感受椭圆与圆的统一美、和谐美及类比美，领会数学语言的简洁美，体会椭圆标准方程推导的辩证美，探寻椭圆应用的奇异美，让学生充分感受到数学的美，体会到学习数学的快乐，从而提高学习数学的兴趣 一．统一美统一性反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感数学的统一美是客观世界统一性的结晶，数学的发展是逐步统一的过程，椭圆与圆是否统一？能否由圆得到椭圆？如果把圆适当挤压会成椭圆吗？教师可通过教具（用弹性较好的钢丝或竹条做成的圆）演示，让学生感受椭圆与圆的联系。

另外，教师也可以用一个盛了半杯水的透明圆柱形玻璃杯作教具，把杯子先平放，显然水面成圆形，再把杯子斜放，让学生观察水面，再一次感受椭圆与圆的统一美 二．创新美 随着时代的发展，数学知识也需要不断地创新众所周知，画圆很容易：将一条绳子的两端固定在木板上同一个定点上(如此做是为了画椭圆而准备），用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕着定点旋转，笔尖形成的轨迹即是一个圆而如何画出椭圆呢？若将绳子的两端固定在木板上两个定点上（绳子不可绷直），用笔尖勾直绳子，使笔尖移动，观察所画出的图形，即可画出椭圆，两种作图既相似，又有突破，让学生感受数学的创新美！ 三．对称美 在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形正是因为球和圆具有特有的对称美，椭圆也具有中心对称和轴对称，这使得椭圆看起来也非常美观 四．和谐美和谐性是美的最基本、最普遍的一个特征,任何美的东西无一不给人以和谐之感和谐性在数学中的表现是各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，是指在不同的数学对象或同一对象的不同组成部分之间所存在的内在联系或共同规律，是数学结构美的重要标志。

椭圆与圆具有和谐美，二者有高度的和谐性；同时，椭圆的长轴长、短轴长和焦距长的和谐也决定了椭圆的大小、饱扁 五. 类比美所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式类比尽管是一种主观的不充分的似真推理，其正确性还须经过严格的逻辑论证，但是这种猜想是最富有创造性的，是数学发现的重要工具既然能从圆的图形得到椭圆，那么，能否由圆的方程推出椭圆的方程呢？能否由圆的性质类比出椭圆的性质呢？解析几何中的代数语言具有意想不到的作用，因为它不需要从几何考虑对于方程，我们知道，它对应的曲线是一个圆圆的完美形状，对称性，无终点等都存在在哪里呢？在方程之中！代数取代了几何，思想取代了眼睛！在这个代数方程中，我们能够找出几何中圆的所有性质这个事实使得数学家们通过几何图形的代数表示，能够探索出更深层次的概念如果把单位圆上所有点的横坐标变为变为原来的倍、重坐标变为原来的倍(且均正)，则得到方程，即，其对应曲线不就是椭圆吗？而当时方程即为，不又表示圆了吗？可见无论是图形还是方程，圆和椭圆都是那么地相似，利用圆的性质即可类比椭圆的性质，岂不美妙！ 六．简洁美简洁美是数学结构美的重要标志，是数学形态美的基本内容，是数学发现和创造中的美学因素之一。

爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则朴素，简单，是其外在形式只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美椭圆定义可采用符号语言：设M是平面上的一个动点，和是平面上的两个定点，若，则动点M的轨迹为椭圆，既简洁又明了为何令、及建立平面直角坐标系时把椭圆中心放在坐标原点、把焦点放在坐标轴上？都是为了最后推出椭圆的标准方程最为简洁在利用椭圆的定义得到椭圆的方程时，由整齐、对称来考虑，用>0代替，得到，再整理得出椭圆的标准方程，如此简洁，怎能说它不美呢? 七．辩证美熟悉数学的人都体会到在数学中充满着辩证法如果说各门科学都包含着丰富的辩证思想，那么，数学则有自己特殊的表现方式，即用数学的符号语言以及简明的数学公式能明确地表达出各种辩证的关系和转化在推导椭圆标准方程前，许多人为了去根号而把由定义得出的方程直接两边平方，为何不可？显然不仅去不掉根号，而且所得方程更为复杂，违反了化难为易的解题规则移项平方后方程整理为 ，再化为 形式，即动点P到定点距离与到定直线的距离之比是一个常数，无意之中导出了椭圆的另一个定义，真是何等美妙！在得到，最后整理得出，难道仅仅是为了简洁吗？从中不难发现，则又不难联想到，则令，，又引出了椭圆的参数方程，进而达到消元的目的；再由即及线性规划知识可知椭圆必在长为、宽为的矩形里；若把换成、或把y换成，方程都不改变，无意中又验证了椭圆的轴对称和中心对称的特性；由不难联想到勾股定理，引出在椭圆中以焦点、原点和短轴的一个端点组成的特征三角形，再由、、变化又会引起椭圆形状的变化……各种辩证关系层层深入，相互关联，沟通了解几、三角、平几之间的联系，不正体现出数学结构和内容的和谐、统一、协调之美吗？真是美不胜言！八．变异美 椭圆的变异美也很耐人寻味。

人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线：当运动速度为第一宇宙速度时运行轨道为椭圆，当运动速度为第二宇宙速度时运行轨道为抛物线，当运动速度为第三宇宙速度时运行轨道为双曲线，这几种曲线的定义又可统一如下：到定点的距离与到定直线的距离之比是常数e的动点的轨迹，当e<1时，形成的是椭圆，当e>1时，形成的是双曲线．当e=1时，形成的是抛物线常数e由0.999变为1、变为1.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线！而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线由椭圆引出了双曲线和抛物线，还能引出其它曲线吗？椭圆与正弦曲线会有什么联系吗？先做一个实验：把一张厚纸卷几次，做成一个圆筒，斜割这个圆筒成两部分，如果不拆开圆筒，那么截面将是椭圆，如果拆开圆筒，切口形成的则是正弦曲线，数学就是这么奇异！ 通过椭圆的学习，让学生体会到数学美，对数学学习产生更大的兴趣，教学效果很好，这正体现了新课改的要求。