线性代数（第五版）课件：4-5 向量空间.ppt

§§5 向量空间向量空间封闭的概念封闭的概念定定义：：所所谓封封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的的结果仍属于果仍属于该集合．集合．例：例：试讨论下列数集下列数集对四四则运算是否封运算是否封闭？？n整数集整数集 Zn有理数集有理数集 Qn实数集数集 R向量空间的概念向量空间的概念定定义：：设 V 是是 n 维向量的集合，如果向量的集合，如果①① 集合集合 V 非空，非空，②② 集合集合 V 对于向量的于向量的加法加法和和乘数乘数两种运算封两种运算封闭，，具体地具体地说，就是：，就是：ü若若 a ∈∈ V，， b ∈∈ V，，则a + b ∈∈ V ．．（（对加法封加法封闭））ü若若 a ∈∈ V，， l l ∈∈ R，，则 l l a ∈∈ V ．．（（对乘数封乘数封闭））那么就称集合那么就称集合 V 为向量空向量空间．．例：例：下列哪些向量组构成向量空间？下列哪些向量组构成向量空间？1. n 维向量的全体维向量的全体Rn2.集合集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈∈R }3.集合集合 V2 = { (1, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈∈R }4.齐次线性方程组的解集齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 }5.非齐次线性方程组的解集非齐次线性方程组的解集 S2 = { x | Ax = b }解：解：集合集合 Rn，，V1，，S1 是向量空间，是向量空间， 集合集合 V2，，S2 不是向量空间不是向量空间．．定义：定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间解空间. .例：例：设设 a, b 为两个已知的为两个已知的 n 维向量，集合维向量，集合L = {l l a + m m b | l l, m m ∈∈R }是一个向量空间吗？是一个向量空间吗？解：解：设设 x1, x2 ∈∈L，， k∈∈R，因为，因为lx1 + x2 = (l l1a + m m1b) + (l l2a + m m2b) = (l l1 + l l2) ) a + (m m1 + m m2) ) b∈∈ Llk x1 = k (l l1a + m m1b) = (kl l1) ) a + (km m1) ) b ∈∈ L 所以，所以，L 是一个向量空间．是一个向量空间．定义：定义：把集合把集合L = {l l a + m m b | l l, m m ∈∈R }称为称为由向量由向量 a, b 所生成的向量空间所生成的向量空间．．一般地，把集合一般地，把集合 L = {l l1a1 + l l2a2 + …+ l lmam | l l1, l l2, ..., l lm ∈∈R }称为称为由向量由向量a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间所生成的向量空间．．例：例：设向量组设向量组a1 , a2 , ..., am 和和 b1 , b2 , ..., bs 等价，记等价，记L1 = { l l1a1 + l l2a2 + …+ l lmam | l l1, l l2, ..., l lm∈∈R }，，L2 = { m m1b1 + m m2b2 + …+ m ms bs | m m1, m m2, ..., m ms∈∈R }，，试证试证 L1 = L2 ．．结论：结论：等价的向量组所生成的空间相等．等价的向量组所生成的空间相等．向量空间的基的概念向量空间的基的概念定定义：：设有有向量空向量空间 V ，如果在，如果在 V 中能中能选出出 r 个向量个向量a1, a2, …, ar，，满足足①① a1, a2, …, ar 线性无关；性无关；②② V 中任意一个向量都能由中任意一个向量都能由 a1, a2, …, ar 线性表示；性表示；那么称向量那么称向量组 a1, a2, …, ar 是是向量空向量空间 V 的一个的一个基基．．r 称称为向量空向量空间 V 的的维数数，并称，并称 V 为 r 维向量空向量空间 ．． 向量空间向量空间向量空间的基向量空间的基向量空间的维数向量空间的维数向量组向量组向量组的最大无关组向量组的最大无关组向量组的秩向量组的秩1. n 维向量的全体维向量的全体 Rn解：解：En 的列向量组是的列向量组是 Rn 的一个基，故的一个基，故Rn 的维数等于的维数等于 n . .2.集合集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈∈R }解：解：En 的后的后 n－－1个个列向量是列向量是V1 的一个基，故的一个基，故 V1 的维数等于的维数等于 n－－1 ．．3. n 元元齐次线性方程组的解集齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 }解：解：齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的基础解系是是 S1 的一个基，故的一个基，故 S1 的维的维数等于数等于 n－－R(A) ．．4.由由a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间所生成的向量空间L = { l l1a1 + l l2a2 + …+ l lmam | l l1, l l2, ..., l lm∈∈R }•若若 a1 , a2 , ..., am 线性无关，则线性无关，则 a1 , a2 , ..., am 是向量空间是向量空间 L 的一个基．的一个基．•若若 a1 , a2 , ..., am 线性相关，则线性相关，则 向量组向量组 A：：a1 , a2 , ..., am 等价于等价于向量组向量组 A 的最大无关组的最大无关组 A0 ：：a1 , a2 , ..., ar 从而从而 L =L1= { l l1a1 + l l2a2 + …+ l lr ar | l l1, l l2, ..., l lr∈∈R }故向量组故向量组 A0 就是就是 L 的一个基，的一个基， A0中向量的个数就是中向量的个数就是 L 的维数的维数. .定义：定义：如果在向量空间如果在向量空间 V 中取定一个基中取定一个基 a1 , a2 , ..., ar ，那么，那么V中任意一个向量可唯一表示为中任意一个向量可唯一表示为x = l l1a1 + l l2a2 + …+ l lrar数组数组 l l1, l l2, ..., l lr 称为向量称为向量 x 在基在基 a1 , a2 , ..., ar 中的中的坐标坐标．．例：例： 的列向量组是的列向量组是 R3 的一个基的一个基，，那么那么b 在基在基 e1, e2, e3 中的坐标中的坐标 n 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列向量叫做的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量．．n 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列向量组称为的列向量组称为 Rn 的的自然基自然基．．上三角形矩阵上三角形矩阵 的列向量组也是的列向量组也是 R3 的一个基的一个基，那么，那么 结论结论：：同一个向量在不同基中的坐标是不同的同一个向量在不同基中的坐标是不同的．．例：例：设设验证验证a1, a2, a3 是是R3 的一个基，并求的一个基，并求 b1, b2 在这个基中的坐标在这个基中的坐标. .分析：分析：la1, a2, a3 是是 R3 的一个基的一个基 R(a1, a2, a3 ) = 3lb1, b2 在这个基中的坐标在这个基中的坐标 用用 a1, a2, a3 表示表示 b1, b2l当当 时，时，A 的的列向量组列向量组与与B 的的列向量组列向量组有相同的线性有相同的线性关系．（关系．（P. 93 例例11））为此，考虑把为此，考虑把 (A, B) = (a1, a2, a3, b1, b2) 化为化为行最简形矩阵行最简形矩阵．．解：解：于是于是例：例：设设验证验证a1, a2, a3 是是R3 的一个基，并求的一个基，并求 b1, b2 在这个基中的坐标在这个基中的坐标. .例：例：在在 R3中取定一个基中取定一个基 a1, a2, a3 ，再取一个新基，再取一个新基 b1, b2, b3，，设设 A = (a1, a2, a3)，，B = (b1, b2, b3) ．．①① 求用求用a1, a2, a3 表示表示 b1, b2, b3 的表示式的表示式（基变换公式）（基变换公式）；；②② 求向量在两个基中的坐标之间的关系式求向量在两个基中的坐标之间的关系式（坐标变换公式）（坐标变换公式）. .分析：分析：l求解矩阵方程求解矩阵方程 AX = B．．l设设 x∈∈R3，且，且 ，求，求解解矩阵方程矩阵方程 ．．。