概率的公理化定义.ppt

第三节,,,概率的公理化定义,在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础.,数学上所说的“,公理,”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.,即,通过规定概率应具备的基本性质来定义概率,.,下面介绍用公理给出的概率定义.,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的,公理化定义,.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.,概率的公理化定义,公理2,,P,(,Ω,)=1 　　　　　　 (2),公理3,若事件,A,1,, A,2,,,…,两两互不相容，则有,,(3),,这里事件个数可以是有限或无限的 .,公理1,0,P,(,A,) 1 　　　　　　　(1),设,E,是随机试验，,Ω,是它的样本空间，对于,Ω,中的每一个事件,A,，赋予一个实数，记为,P,(,A,) ，称为事件,A,的概率，如果集合函数,P,( ) 满足下述三条公理:,公理2,,P,(,Ω,)=1 　 (2),公理3,若事件,A,1,, A,2,,,…,两两互不相容，则有,,(3),,这里事件个数可以是有限或无限的.,公理,,1,0,P,(,A,) 1 　　(1),公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间；,公理2说明，必然事件的概率为1；,公理3说明，对于任何,互不相容（互斥）,的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和.,由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质. 下面我们就来给出,,概率的一些简单性质.,在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于,文氏图,.,文氏图,,,Ａ,设边长为1个单位,,的正方形的,,面积表示样本空间,,S,其中封闭曲线,,围成的一切点,,的集合表示事件,,,A,把图形的面积理解为相应事件的概率,性质1,,,,即不可能事件的概率为0 .,由,再利用公理2和公理3即得.,此为互不相容事件概率的加法公式。

特别地，若,A和B互不相容,,则有,性质2（有限可加性）,若事件,A,1,, A,2,,,… A,n,两两互不相容，则有,由公理3可得例1,设一批同类产品中有50件，其中5件次品现从中任取3件，求其中至少有一件次品的概率为多少？,因为,1=,P(S)=P(A)+P( ),Ａ,Ａ,性质3　对任一事件,A,，有,,(4),,此性质在概率的计算上很有用，如果正面计算事件,A,的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以先计算,,，再计算,P,(,A,),.,例2,将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？,令,事件,A,={至少出一次“6”点},A,发生,{出1次“6”点},{出2次“6”点},{出3次“6”点},{出4次“6”点},直接计算,A,的概率较麻烦, 我们先来计算,A,的对立事件,={4次抛掷中都未出“6”点},的概率.,于是 =0.518,,,因此,,,= =0.482,由于将一颗骰子抛掷4次,共有,,,,=1296种等可能结果,,而导致事件,={4次抛掷中都未出“6”点},,的结果数有,=625种,,例3,,有,r,个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.,,,,,,,为求,P,(,A,), 先求,P,( ),解：令,A,={至少有两人同生日},={,r,个人的生日都不同},则,用上面的公式可以计算此事出现的概率为,,=1,-,0.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.,,表 3.1,,人数 至少有两人同,,生日的概率,,20 0.411,,21 0.444,,22 0.476,,23 0.507,,24 0.538,,30 0.706,,40 0.891,,50 0.970,,60 0.994,,,,,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的. 实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.,移项得第一式,,便得第二式 .,再由,由可加性,性质4 设,Ａ,、,B,是两个事件，若 , 则,,有,又因,,再由性质 4即得.,性质5　对任意两个事件,A,、,B,，有,,三个事件和的概率为,,推广到多个事件,,,P,(,A+B+C,)=,P,(,A,)+,P,(,B,)+,P,(,C,)-,P,(,AB,)-,P,(,BC,),,-,P,(,AC,) +,P,(,ABC,),,n,个事件和的概率为,,,它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.,下面，我们再重点介绍加法公式及其应用.,这一讲，我们介绍了,概率的公理化定义,由概率所必须满足的三条公理，我们推导出概率的其它几条重要性质. 它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式.,设,A,i,={第,i,封信装入第,i,个信封},i,=1,2,3,,,A,={没有一封信装对地址},某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？,直接计算,P,(,A,)不易，我们先来计算,例5,配,对,问,题,={至少有一封信装对地址},则,代入计算 的公式中,应用加法公式,,,,,,于是,,推广到,n,封信,用类似的方法可得:,,把,n,封信随机地装入,n,个写好地,,址的信封中, 没有一封信配对的,,概率为:,我们介绍了加法公式及其应用:,事件互斥时的加法公式,事件相容时的加法公式,它们在计算概率中很有用，要牢固掌握.,。