小学奥数几何(燕尾模型).doc

燕尾定理貝tw归例题精讲燕尾定理：在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么，S:S=BD:DC€ABO€ACOA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为€ABO和€ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明燕尾定理:如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S:S=S:S=BD:DC1423S2ES3S1S4D【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S:S=BD:DC；亠14三角形ABE与三角形EBD同高，s:S=ED:EA；__亠12三角形ACE与三角形CED同高，s:S=ED:EA，所以S:S=S:S；431423综上可得，S:S=S:S=BD:DC.1423【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上,且BD:DC€1：2，AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于.33F1【解析】方法一：连接CF,根据燕尾定理，S△ACF设S€1份，则S△BDF△DCF5BDDC2€2份，△ABF€S△CBF竺€1,EC所以S€丄SDCEF12△ABC12S△ABF€3份，€S方法二：连接DE，由题目条件可得到SS△AEF△EFC€3份，如图所标'€1S△ABD3△ABC3page#of181所以BFS1FES1△ADE1S€-S€-X-S△ADE2△ADC23△ABC3S€-XS€-X-XS€-X-X-XS△DEF2△DEB23△BEC232△ABC12而S€-X-XS△CDE32△ABC€1•所以则四边形DFEC的面积等于丄.312【巩固】如图，已知BD€DC,EC€2AE,三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.page#of18page#of18【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，（法一）连接CF，因为BD€DC,EC€2AE，三角形ABC的面积是30,所以S€1S€10,S△ABE3△ABC△ABDAE1根据燕尾定理，SS△CBF所以S€1S€7.5，S△ABF4△ABC△BFD△ABF€€EC2€—S€15-2△ABCS/△ABF€S△ACFBD〔CD€15—7.5€7.5，所以阴影部分面积是30-10-7.5€12.5.（法二）连接DE，由题目条件可得到S€1S€10,△ABE3△ABC112，所以AFS1S€S€X—S€10,所以€—△ABE€-△BDE2△BEC23△ABCFDS1△BDEpage#of18S€1xS€1x-XS€1x-X-XS€2.5，△DEF2△DEA23△ADC232△ABC而S€2x1xS€10•所以阴影部分的面积为12.5.△CDE32△ABC【巩固】如图，三角形ABC的面积是200cm2，E在AC上，点D在BC上,且AE:EC=3:5,BD:DC=2:3，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于△△page#of18△△page#of18【解析】连接CF,根据燕尾定理，S△ACFBDDC39设S△ABF€6份，则S€9份,S△ACF△BCF△ABFS△CBF€10份，SAE36EC510'€9x△EFC€45份，s△CDF€10x€6份，2,3所以S4545DCFE€200一(6,9,10)x(,6)€8x(,6)=93(cm2)【巩固】如图，已知BD€3DC,EC€2AE,BE与CD相交于点O，则AABC被分成的4部分面积各占AABC面积的几分之几？1912EO213.54.5CBD1C€1份，则其他部分的面积如图所示，所以S€1+2+9+18€30份，所以四部△ABC分按从小到大各占△ABC面积的丄2+4・5139313・59【解析】连接CO，设S△AEO,-30'30一60'30一10'3020【巩固】（2007年香港圣公会数学竞赛）如图所示，在AABC中,CP€2CB，BQ与AP相交于点X，若△ABC的面积为6，则AABX的面积等于【解析】方法一：连接PQ.由于CP€1CB,CQ€1CA，所以S23ABQ3ABC由蝴蝶定理知，AX:XP€S:SA2S:1SABQBP當£ABC6ABi1SBPQ2BCQ6ABC厶4：1，△△page#of18page#of18所以s€4s€4x1S€2s€2x6€2.4.ABX5ABP52ABC5ABC5方法二：连接CX设s€I份，根据燕尾定理标出其他部分面积，△CPX所以S€6,(1+1+4+4)x4€2.4△ABX【巩固】如图，三角形ABC的面积是1,BD€2DC,的面积各是多少?CE€2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分AEFBDCA61EF284DC【解析】连接CF，设S△AEF€1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以s△AEF121s△ABF21△BDF8c2+42，3€€21FDCE217【巩固】如图，E在AC上,D在BC上，且AE:EC=2:3,BD:DC=1：2，AD与BE交于点F.四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积.EFFBBDCD1.6E2F2.412DCsBD1，sAE2△ABF€€—，△ABF€—€—/sDC2sEC3△ACF△CBF€2份/s€2份，s△DCF△ABF【解析】连接CF，根据燕尾定理，设s€1份，则△BDF€4份，s€4x-^€1.6△AEF份,s€4x^^€2.4份，如图所标，所以s€2+2.4=4.4份,s=2+3+4=9份△EFCEFDC△ABC所以s€22,4.4x9€45(cm2)△ABC【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知AC€2，CD=2，CB=3部分）的面积为多少？AM€BM，那么三角形AMN（阴影【解析】连接BN.△ABC的面积为3x2,2€3根据燕尾定理，△ACN:△ABN€CD:BD=2:1；同理HCBN△CAN€bm:AM=1:1设HAMN面积为1份，则HMNB的面积也是1份，所以5ANB的面积是1+1=2份，而5ACN的面积就是2,2€4份，ACBN也是4份，这样△ABC的面积为4+4+1+1=10份，所以HAMN的面积为3十10，1€0.3.【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC€2DE,平方厘米?F是DG的中点.阴影部分的面积是多少EBBxyGCG【解析】设S△DEF€1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S€5S阴影12△BCD5平方厘米.12【例2】如图所示，在四边形ABCD中，AB€3BE,形BODC的面积为．AD€3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边E1O6【解析】连接AO,BD根据燕尾定理S则其他图形面积，如图所标，所以S:S△ABO△BDO€AF:FD€1:2,S€2S€2,12€24.BODCAEOF:S△AOD△BOD€AE:BE€2:1，设S€1,△BEO例3】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、平方厘米．F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形AGCD的面积是€1份，根据燕尾定理得S€1份，S€1份，则S€(1+1+1),2€6△BGC正方形【解析】连接AC、GB，设S△AGC△AGB份，S€3+1€4份，所以S€122+6,4€96(cm2)ADCGADCG【例4】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米．【解析】连接BH，根据沙漏模型得BG:GD€1：2，设S=1份，根据燕尾定理S=2份，S=2份，△BHC△CHD△BHD因此S€(1+2+2),2€10份，S=-+-=7,所以S=120一10,-=14(平方厘米).正方形BFHG236BFHG6【例5】如图所示，在AABC中,BE:EC€3:1，D是AE的中点，那么AF:FC€BECBEC【解析】连接CD•由于S:S€1:1,S:S€3:4，所以S:S€3:4,△ABD△BED△BED△BCD△ABD△BCD根据燕尾定理，AF:FC€S:S€3:4．△ABD△BCD【巩固】在„ABC中，BD:DC€3:2,AE:EC=3:1，求OB:OE=?EOEOBDCBDC【解析】连接OC.3S因为BD:DC€3:2，根据燕尾定理，S:S€BD:BC€3:2，即S€„AOB„AOC„AOB2„AOC又AE:EC€3:1，所以s€4S.则S€334S€，—S€2Sf„AOC3„AOE„AOB2„AOC23„AOE„AOE所以OB:OE€S:S€2:1.„AOB„AOE【巩固】在„ABC中，BD:DC€2:1，AE:EC=1:3，求OB:OE=?AEO解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC.连接OC•AEOBDC因为BD:DC€2:1,根据燕尾定理，S:S€BD:BC=2:1,即S=2S^AOB^AOC^AOB^AOC又AE:EC€1:3，所以S€4S.则S€2S€2,4S=8S,NAOCAAOENAOBNAOCAAOENAOE所以OB:OE€S:S€8:1.AAOBAAOE例6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且AE€1AB,CF€1BC,AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120,则AAEG与ACGF的34page#of18page#of18解析】（法1）如图，过F做CE的平行线交AB于H，则EH:HB=CF:FB=1:3,所以AE€1EB€2EH,AG:GF=AE:EH=2，即AG=2GF,2231。