数学竞赛试题.doc

1 40名同学在做3道数学题时，有25人做对第一题，有28人做对第二题，有31人做对第三题，那么至少有______人做对了三道题. 2 三位国际友人中，穿白色上衣的先生说：“我们三人的皮肤颜色各不相同，所穿上衣的颜色恰好是咱们三人的皮肤色，但谁穿的上衣都与自己的肤色不同黑皮肤的先生听后，连连点头.黄皮肤的先生，穿的上衣是______色的. 3 现有五个自然数,其中第一个数小于第二个数的2倍，第二个数小于第三个数的3倍，第三个数小于第四个数的4倍，第四个数小于第五个数的5倍，而第五个数小于100，那么第一个数的最大值是_____. 4 考试的考场有20排座位，第一排有20个座位，以后各排都比前一排多一个座位如果允许考生任意坐，但不能坐在其他考生的旁边，该考场最多可容纳( )个考生5 有3个箱子，每两箱合称一次，称得它们的重量分别是63千克、65千克和66千克，最重的箱子比最轻的箱子重______千克. 6 育红小学原计划栽杏树、桃树和梨树共1500棵植树开始后，当栽种了杏树总数的3/5和30棵桃树后，又临时运来15棵梨树，这时剩下的三种树的棵数恰好为相等。

问原计划要栽种这三种树各多少棵?1、25+28-40=1331+13-40=4至少有4人做对三道题2、白色因为肤色与衣服颜色不同，所以肯定不是黄色黑皮肤先生不是白色衣服所以，黑皮肤先生一定是黄色则白皮肤先生必定是黑色所以，剩下，黄皮肤先生是白色3、12000（100×5×4×3×2）第五个数小于100所以，第四个数小于100×5=500第三个数小于500×4=2000第二个数小于2000×3=6000第一个数小于6000×2=120004、每排可坐的人数=座位数/2，再取整（即，除以2出现小数时进一位）第一排20个座位，可以坐20/2=10人第二排可以坐21/2，进一位，11人第三排可以坐22/2=11人第四排可以坐23/2，进一位，12人……第20排可以坐39/2，进一位，20人最多可坐10+11+11+12+12+……+19+19+20=10+20+(11+19)×9=300人5、三个数字相加除以2，可得三个箱子合称的重量：（63+65+66）/2=97最重的97-63=34千克最轻的97-66=31千克34-31=3千克6、杏树×(1-3/5)=桃树-30=梨树+15设梨树x棵则桃树=x+15+30=x+45杏树=(x+15)÷(1-3/5)=(5/2)x+75/2三者相加：x+x+45+(5/2)x+75/2=1500解得，x=315梨树315棵，桃树315+45=360棵，杏树1500-315-360=825棵一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（共15分，每小题5分）　　二、填空题（共40分，每小题5分）1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=19922.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。

那么，这个等腰梯形的周长是_ _厘米3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻原来至少有_ _人已经就座4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是ra=_ _，r=_ _5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000其中年龄最大的老人今年_ ___岁6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本那么，至少__ __个学生中一定有两人所借的图书属于同一种7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分那么得分最少的选手至少得__ __分，至多得 __ __分每位选手的得分都是整数）8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管那么，只有当锯得的38毫米的铜管为__ __段、90毫米的铜管为_ ___段时，所损耗的铜管才能最少三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）（共20分，每小题5分）1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米。

现由甲工程队先修3天余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？ 2.一个人从县城骑车去乡办厂他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程3.一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图12）将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米求这个大长方体的体积详解与说明　　一、计算题　　　　　　说明：要想得到简便的算法，必须首先对题中每个数和运算符号作全面、，马上就应该知道它可以化为3.6；而3.6与36只差一个小数点，于是，又容易想到把“654.3×36”变形为“6543×3.6”，完成了这步，就为正”采用了同样的手段，这种技巧本报多次作过介绍　　　　说明：解这道题可以从不同的角度来观察解法一是先观察、比较分子部分每个加数（连乘积）的因数，发现了前后之间的倍数关系，从而把“1×3×24”作为公因数提到前面，分母部分也作了类似的变形而解法二，是着眼于整个繁分数，由分子看到分母，发现分子部分的左、中、右三个乘分子部分括号内三个乘积的和约去了。

本题是根据《数学之友》（7）第2页例5改编的　　3.解法一：　　　说明：解法一是求等比数列前n项和的一般方法，这种方法本报217期第一版“好伙伴信箱”栏中曾作过介绍由于本题中后一个加数总是前一个加数的一半，因而，只要添上一个最小的加数，就能凑成“2倍”，也就是它前面的一个加数，这就不难想到解法二　　二、填空题　　1.解：（1×9×9+2）×（1+9-9+2）×（19-9-2）　　=83×3×8　　=1992　　或（1×9×9＋2）×（1×9÷9×2）×（19-9+2）　　=83×2×12　　=1992　　（本题答案不唯一，只要所填的符号能使等式成立，都是正确的）　　说明：在四个数字之间填上三个运算符号，使它们的计算结果为某个已知数，这是选手们熟悉的“算式谜”题而这道题却不容易一下子判断括号内的计算结果应该是多少，这就需要把1992分解为三个数连乘积的形式，1992=83×3×2×2×2，因为83、3、2、2、2组成三个乘积为1992的数有多种组合形式，所以填法就不唯一了　　2.解：55+15+25×2=120（厘米）　　说明：要算周长，需要知道上底、下底、两条腰各是多长容易判断：下底最长，应为55厘米。

关键是判断腰长是多少，如果腰长是15厘米，15×2+25=55，说明上底与两腰长度之和恰好等于下底长，四条边不能围成梯形，所以，腰长只能是25厘米读者从本报190期第三版《任意三根小棒都能围成三角形吗》一文中应当受到启发　　3.解：最少有　　　　说明：根据题意，可推知这排长椅上已经就座的任意相邻的两人之间都有两个空位但仅从这个结果中还不能肯定长椅上共有多少个座位，因为已经就座的人最左边一个（最右边一个）既可以坐在左边（右边）起第一个座位上，也可以坐在左边（右边）起第二个座位上（如图16所排出的两种情况，“●”表示已经就座的人，“○”表示空位）”　　不过，题目中问“至少”有多少人就座，那就应选第二种情况，每三人（○●○）一组，每组中有一人已经就座　　（1）●○○●○○●……　　（2）○●○○●○○●○……图164.解法一：由 1992÷46=43……14　　立即得知：a=43，r=14　　解法二：根据带余除法的基本关系式，有　　1992=46a+r（0≤r＜a）　　由 r=1992-46a≥0，推知　　　　由r=1992-46a＜a，推知　　　　因为 a是自然数，所以 a=43　　r=1992-46×43=14　　说明：本题并不难，因此应尽可能运用简单的方法，迅速地算出答案。

解法一是根据 1992÷a的商是 46，因而直接用 1992÷46得到了a和r解法二用的是“估值法”　　5.解法一：先算出这25位老人今年的岁数之和为　　2000-25×2=1950　　年龄最大的老人的岁数为　　[1950+（1+2+3+4+……+24）]÷25　　=2250÷25　　=90（岁）　　解法二：两年之后，这25位老人的平均年龄（年龄处于最中间的老人的年龄）为2000÷25=80（岁）　　两年后，年龄最大的老人的岁数为80+12=92（岁）　　年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90（岁）　　说明：解法一采用了“补齐”的手段（详见本报241期第一版《“削平”与“补齐”》一文）当然，也可以用“削平”法先求年龄最小的老人的岁数，再加上24解法二着眼于 25人的平均年龄，先算年龄处于最中间的老人的岁数，算起来更简便些　　6.解：根据“抽屉原理”，可知至少7个学生中有两人所借图书的种类完全相同　　说明：本题是抽屉原理的应用应用这个原理的关键是制造抽屉从历史、文艺、科普三种图书若干本中任意借两本，共有——（史，史）、（文，文）、（科，科）、（史，文）、（史，科）、（文，科）这六种情况，可把它们看作六只“抽屉”，每个学生所借的两本书一定是这六种情况之一。

换句话说，如果把借书的学生看作“苹果”，那么至少7个苹果放入六个抽屉，才能有两个苹果放在同一个抽屉内本题是由本报234期“奥林匹克学校”拦的例2改换而成的7.解：得分最低者最少得404-（90+89+88+87）=50（分）得分最低者最多得　　[404-90-（1+2+3）]÷4=77（分）　　说明：解这道题要考虑两种极端情形：（1）要使得分最低的选手的得分尽可能地少，在五名选手总分一定的条件下，应该使前四名领先于第五名的分数尽可能多才行第一名得分是已知的（90分），这就要求第二、三、四名的得分尽可能靠近90分，而且互不相等，只有第二、三、四名依次得89分、88分、87分时，第五名得分最少　　（2）要使得分最低的选手得分最多，在总分和第一名得分一定的条件下，应当使第二、三、四、五名的得分尽可能接近考虑到他们的得分又要互不相等，只有当第二、三、四、五名的得分为四个连续自然数时才能做到，用“削平”的方法可以算出第五名最多得多少分　　本题是根据《数学之友》（7）第46页第13题改编的　　8.解：设38毫米、90毫米的铜管分别锯X段、Y段，那么，根据题意，有　　38X+90Y+（X+Y-1）=1000　　39X+91Y=1001　　　　要使损耗最少，就应尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说上面式中的X应尽可能小，Y尽可能大。

由于X、Y都必须是自然数，因而不难推知：X=7，Y=8即38毫米的铜管锯7段，90毫米的铜管锯8段时，损耗最少　　说明：选手们读题之后，可以马上想到：要使损耗最少，应尽可能多锯90毫米。