现代光电信息处理技术2.doc

1. 在空域中，如何利用3函数进行物光场分解答：3函数常用来描述脉冲状态这样一类物理现象 空间变量的3函可以描写诸如单位光通量的点光源的面发光度等其定义：d(x-xoy-yo)={0其十O0打 d(x -xo,y - y°)dxdy = 1考察平行光束通过透镜后会聚于焦点时的照度分布，后焦面上的照度分布可用3 ( x,y)描述任何输入函数都可以表达为f xi,y f ]x. 一 ；y—d该式表明，函数f Xi,*可以分解成为在捲,厂:平面上不同位置处无穷多个、函数的线性组合2. 卷积与相关各表示什么意义？在运算上有什么差异？答：①卷积既是一个由含参变量的无穷积分定义的函数， 又代表一种运算由于光学图像大多是二维平面图像，故定义函数 g x,y和h x,y的二维卷积为gx“hx,y=g〔 hx—」一 d d假设线光源置于会聚透 镜Li的前焦平面上，其方向与 xo轴方向一致，其强度分布为I o(x 0), 求透镜Lz后焦平面上的强度分布：I i(Xi)二二」0( ；)P (Xi - ；)d ；其中，li(Xi)是像平面上某点Xi处的总光强li(Xi) , P(Xi)是单位强度 的点光源对应的像强度分布。

由上式可知，光学系统像平面上的光强 分布是物的光强分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积这 就是卷积在光学成像中的物理意义② 互相关的定义为：O0efg(x, y)二 f * c, )g(x ；,y )d ；d 二 f(x, y^fg(x, y)式中，*表示函数的复共轭互相关是两个信号间存在多少相似性或者 关联性的量度两个完全不同的，毫无关联的信号，对所有位置，它 们互相关的值应为零如果两个信号由于某种物理上的联系在一些部 位存在相似性，则在相应位置上就存在非零的互相关值③ 比较卷积和相关的定义式可以看出，相关和卷积的区别仅在于相关 的运算中，函数f(x,y)应取复共轭，但图形不需要翻转，而位移，相 乘和积分三个过程是两者共通的3. 空间傅里叶变换的物理意义，具有哪些基本性质？哪些函数的傅里叶换本 身还是该类型函数？他们具有哪些特点？答：①空间傅里叶变换得物理意义是：在处理线性系统时，常用的方法是 把一个复杂的输入分解成许多较简单的基元的输入，计算该系统对每 一个这样的基元函数的响应，再把所有的单个响应叠加起来得到总响 应傅里叶分析提供了一个进行这种分解的基本手段由傅里叶逆变换公式f(x,y)= JjFUx'fyjMEFMdfxdfy看到，可以把二维傅里叶变换看 作是函数f(x,y) -分解为exp[i2 n (f xx+f yy)]的基元函数的线性组合。

物函数f(x,y)可看成无数振幅不同(|F ( fx,f y)dfxdfy|),方向不同(cosco^"fx,cosB=hfy)的平面波形线性叠加的结果傅里叶分解对 于讨论线性系统的性质和作用尤为重要②傅里叶变换的基本性质有：设函数 g x,y和h x,y的傅里叶变换分别 为G fx,fy 和 H fx,fy，(1) 线性定理F ：ag x,y bh x,y 1aG fx, fy bH fx,fy 式中a和b是任意复常数，即两个函数线性组合的变换等于两个函数变换的线性组合F 9 axpy G 上，- 即空域中坐标x，a 的扩(2) 相似性定理展，导致频域中坐标 亿心啲压缩以及频谱 幅度的变化3) 位移定理F 9 x_a,y_b fx,fy exp- j2 n fxa fyb 丨即函数在空域中平移，带来频域中的线性相移另一方面F ：g x,y exp ^2 n faX Jy G fx-fa,fy f 即函数在空域中的相移，会导致频谱的位移4)帕色伐(Parsaval )定理,g x,y dxdy= G fx,fy dxdy若:g x,y表示一个实际的物理信号，G fx,fy ：通常称为信号的功率 谱(有时是能量谱)。

定理表明信号在空域的能量与其在频域的能 量守恒5) 卷积定理函数g(x,y 和抵x,y )的卷积定义为g x,y h x,y 二 g h x — E,y-n d ^d n则 F 9 x,y h x,y i；；=G fx,fy H fx,fy即空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变 换的乘积另一方面有 F :g x,y h x,y >G fx, fy H fx,f y 即空间域中两个函数的乘积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变 换的卷积卷积定理可以用来通过傅里叶变换方法求卷积或者通 过卷积方法求傅里叶变换6) 相关定理(维纳 辛钦定理)两复函数g(x,y和h(x,y )的互相关定义为：oOg(x,y) ☆ h(y) =j jg*(E-x,n-yh( En pEdn显然两函数的互相关可以表达为卷积的形式，再利用卷积定理，可以得到F〈g x,y x,y ?=G* fx,fy H fx,fy式中G* fx,fy H fx,fy通常称为函数g x,y和h x,y的互谱密度，因 此式说明两函数的互相关与其互谱密度构成傅里叶变换对这就 是傅里叶变换的互相关定理函数与其自身的互相关称为自相关。

用 g x,y替换h x,y可得自相 关定理为Fig x,y ☆ g x,yRG fx,f^：，自相关定理表明一个函数的 自相关与其功率谱构成傅里叶变换对7) 傅里叶积分定理在函数 g(x,y )的各个连续点上 F-1 F{g(x,y*FF -1 {g(x,y》=g(x,y )FF :g x,y ：=F-1 F-1 :g x,y =g —x, — y即对函数相继进行正变换和逆变换，重新得到原函数；而对函数 相继进行两次正变换或逆变换，得到原函数的“倒立像”8) 导数定理F「gm,n x,yij F m jFy nG fx,fyF\myngx,yGm，n fX,fy式中gm,n = xny f f _：：mnG fx,fy定理表明函数的微分x -y ■ ■■- y m n的傅立叶变换，可以转化为乘积运算y③傅里叶变换还是该类型函数的有：(1 )梳状函数comb(x) , comb(x) rombf x)一维梳状函数定 qQ义为：comb(x/x°) =x° ' ：(x-nxo)，其特点是无穷多个等间隔排列 的5函数之和，可以用来表示在一个平面上纵横排列着无穷多个 各自等距离的点光源可以利用梳状函数对普通函数作等间隔采 样。

2) 高斯函数的傅里叶变换仍是一个高斯函数即F{Gaus(x)} =Gaus(f)高斯函数一维表达式 Gsuss(x/a)= /曲)其中a>0其特点函数在原点具有最大值 1, 曲线下面积等于a高斯函数常用来描述激光器发出的高斯光束4. 如何理解线性空间不变系统的本征函数 ？答：对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数仅等于输入与一个复比例常数的乘积，这个输入函数就称为系统的本征函数即若函数f x, y满足以下条件：L [f x,y i；.；=af x,y式中a为一复常数，为本征函数的本征值，则称 f x,y为算符L°所表征的系统的本征函数无论脉冲响应函数是什么形式，与它卷积的本 征函数得到的结果的函数形式一定还是本征函数，一个线性空间不变 系统的本征函数，其变化量决定与相应的本征值， 5函数，复指数函数和余弦函数这些基元函数都可以形式不变的通过线性空间不变系 统，输出函数只是输入函数与一个复比例常数的乘积5. 超过临界采样间隔采集数据会有哪些后果？答：根据二维采样定理，用二维梳状函数作为采样函数，分析采样值函数 的频谱，它是由频率平面上无限重复的原函数的频谱构成，形成排列 有序的频谱岛。

米样值函数的频谱Fs(fx,fy) = F壬F ( fx -m / X , fy — n/Y) 当下标m=0,n=0时，即可从采样值函数的周期性重复频谱中绝对准确 的恢复出原函数的频谱为了达到这个目的，则必须使各重复频谱分 开，因此原函数应是一个带限函数，定义为｛；其他fy),|2x'|fy昭 为保证相 邻区域不会重叠，各抽样点之间最大容许间隔为 X=1/2B, Y =1/2By若超过临界采样间隔即X>1/2Bx,Y>1/2By时为欠采样的，这时频谱岛间 将有部分重叠，则不能采集正确的数据来准确的复现原函数6. 如何理解孔径对频谱的展宽效应？答：光学问题中所关心的常常是某个选定平面上的光场分布例如衍射场 中的孔径平面、观察平面，成象系统中的物平面和像平面等如下图 示，在z已平面处有一无穷大不透明屏，其上开一孔,则该孔的透射 函数为：1 ( x,y)在为内t(x,y)「o 其他图6.1衍射孔径对角谱的影响沿z方向传播的光波入射到该孔径上的复振幅为 Ui(x, y,0),则紧靠孔径后的平面上的出射光场的复振幅Ut(x,y,0)为：UJx, y,0)二 U y,O)t(x, y)对上式两边做傅立叶变换，用角谱表示为A ,COS： COS：、 A ,COS： COS：、 —COS： cos：、At( ， )=A( ， )T(, )/u /u /u /u /u /u其中“为卷积，T(叱,止)为孔径函数的傅里叶变换。

以矩形孔径为例，有t(xo, y°) urectdo/aJrectWo/b)，采用单位振幅平面 波垂直照明孔径，入射光场为 U(Xo,y°)=1,入射光场的角谱则是A(cosa / 丸,cos B/ 丸)=F{Ui (x0,y0)} =5(cosa /丸,cosP / 丸)，则透射光场的角谱 为At (cos / ■ ,cos： / J 二、(cos： /，,cos/) T(cos / ■, cos： / ■) =abs in c(acos / ■ )s in c(bcos / ■) 显然A(COS a /入，COS B /入)较之入射光场角谱所实际包含的角谱分 量增加了因此，从空间域来看，孔径的作用是限制了入射波面的大 小范围，从频域来看，是展宽了入射光场的角谱7. 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射有何区别与联系？答：在讨论了基尔霍夫衍射公式后，用它计算在数学上是很困难的，因此 需要讨论普遍理论的某些近似，以便可以用比较简单的数学运算来计 算衍射图样，并且这些近似又是实际问题所允许的按照近似条件的 不同，可把近似分为菲涅耳近似和夫琅和费近似，与之对应的衍射现 象分为夫琅和费衍射和菲涅耳衍射①菲涅耳衍射公式：假定孔径和观察平面之间的距离z远远大于孔径a的线度，并且只z轴 附近的一个小区域内进行观察，则有ax y ；＞ax 及 z ■ xmax 『maxU (x, y)二 exp( jkz) exp[ j — (^ y ') \ !U「(x「，y「.)Z *k 7 7 zJ!exp[j (x「y「)]exp[-j (xv yy；)]dx-dyl-工 z ■■■ zz ； X ；jmax y 沛ax 及 Z X-Z'Zk式中光场的复振幅已改用通常的二维面分布的形式，为区别衍射孔径 面与观察面，前者增加下标“ 0”菲涅耳衍射成立的条件是要求观察 距离z满足z‘ (x -X。

)2 (y -y)2 [ax (L0 l1)24 4其中，Lo十X：—y2)max为孔径的最大尺寸，Li 乂 X2—y2)max为观察区 的最大区域这种近似称为菲涅耳近似②夫琅和费衍射公式：在菲涅耳衍射公式中，对衍射孔采取更强的限制条件，即取:z k(x0 y0)2则平方位相因子在整个孔径上近似为 1,于是。