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第第第第3 3章章章章 刚体力学基础刚体力学基础刚体力学基础刚体力学基础 在一只猫从高处摔落的下将过程中，它上半身向一个方向扭转，在一只猫从高处摔落的下将过程中，它上半身向一个方向扭转，而下半身会向相反方向扭转且无论从何处摔落，猫通常都能以四脚而下半身会向相反方向扭转且无论从何处摔落，猫通常都能以四脚着地请分析猫在下落及落地过程中体现出哪些物理规律请分析猫在下落及落地过程中体现出哪些物理规律? ?§3.1§3.1￿￿￿￿￿￿￿￿刚体运动概述刚体运动概述刚体运动概述刚体运动概述主要内容：主要内容：1. 刚体模型刚体模型2. 刚体的运动形式刚体的运动形式3. 刚体的自由度刚体的自由度3.1.1 3.1.1 刚体的运动形式刚体的运动形式刚体的运动形式刚体的运动形式l l 刚体和质点一样是一种理想模型；刚体和质点一样是一种理想模型；刚体和质点一样是一种理想模型；刚体和质点一样是一种理想模型；l l 刚体可以看成是由无数质点构成的质点组；刚体可以看成是由无数质点构成的质点组；刚体可以看成是由无数质点构成的质点组；刚体可以看成是由无数质点构成的质点组；l l 刚体无论在多大的力作用下或刚体无论作何运动，刚体中刚体无论在多大的力作用下或刚体无论作何运动，刚体中刚体无论在多大的力作用下或刚体无论作何运动，刚体中刚体无论在多大的力作用下或刚体无论作何运动，刚体中 任意两质点间的距离保持不变；任意两质点间的距离保持不变；任意两质点间的距离保持不变；任意两质点间的距离保持不变；1. 刚体模型刚体模型刚体刚体刚体刚体：：：：在力的作用下在力的作用下在力的作用下在力的作用下，，，，大小和形状都始终保持不变的物体。

大小和形状都始终保持不变的物体大小和形状都始终保持不变的物体大小和形状都始终保持不变的物体ØØ 说明说明说明说明2. 刚体的平动刚体的平动平动平动平动平动：：：：刚体运动时刚体运动时刚体运动时刚体运动时，若在，若在，若在，若在其内部所作的任何一条直线其内部所作的任何一条直线其内部所作的任何一条直线其内部所作的任何一条直线，，，，在运在运在运在运 动中都始终保持与自身平行的运动形式动中都始终保持与自身平行的运动形式动中都始终保持与自身平行的运动形式动中都始终保持与自身平行的运动形式 l l 刚体质心的运动代表平动刚体的运动刚体质心的运动代表平动刚体的运动刚体质心的运动代表平动刚体的运动刚体质心的运动代表平动刚体的运动l l 刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律；刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律；刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律；刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律；ØØ 说明说明说明说明l 刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线；刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线；l刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加速度，刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加速度，各点的运动轨迹都相同；各点的运动轨迹都相同；定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动: : 转轴在所选参考系中固定不动的转动。

转轴在所选参考系中固定不动的转动转轴在所选参考系中固定不动的转动转轴在所选参考系中固定不动的转动转动轴转动轴转动轴转动轴: : 刚体转动围绕的那条直线刚体转动围绕的那条直线刚体转动围绕的那条直线刚体转动围绕的那条直线( (转轴可以是固定的或变化的转轴可以是固定的或变化的转轴可以是固定的或变化的转轴可以是固定的或变化的) )3. 3. 刚体的转动刚体的转动刚体的转动刚体的转动进动进动进动进动定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动转动转动转动转动: : 刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式定点转动定点转动定点转动定点转动: : : : 在运动过程中，刚体上某一点始终保持不动的运在运动过程中，刚体上某一点始终保持不动的运在运动过程中，刚体上某一点始终保持不动的运在运动过程中，刚体上某一点始终保持不动的运 动形式非定轴转动非定轴转动非定轴转动非定轴转动: : : : 转轴位置随时间变化的转动。

转轴位置随时间变化的转动转轴位置随时间变化的转动转轴位置随时间变化的转动 ------ 进动进动进动进动 平面平行运动：平面平行运动：平面平行运动：平面平行运动：在运动过程中，刚体上任一点和某一固定平在运动过程中，刚体上任一点和某一固定平在运动过程中，刚体上任一点和某一固定平在运动过程中，刚体上任一点和某一固定平 面的距离保持不变面的距离保持不变面的距离保持不变面的距离保持不变的运动形式的运动形式的运动形式的运动形式一般运动一般运动一般运动一般运动: : : : 滚动滚动滚动滚动铁饼在空中的运动铁饼在空中的运动铁饼在空中的运动铁饼在空中的运动 除上述几种运动除上述几种运动除上述几种运动除上述几种运动形式外，刚体其它更形式外，刚体其它更形式外，刚体其它更形式外，刚体其它更为复杂的运动形式为复杂的运动形式为复杂的运动形式为复杂的运动形式自由度：自由度：自由度：自由度：确定一个物体空间位置所需要的独立坐标数目确定一个物体空间位置所需要的独立坐标数目确定一个物体空间位置所需要的独立坐标数目。

确定一个物体空间位置所需要的独立坐标数目3.1.2 3.1.2 刚体的自由度刚体的自由度刚体的自由度刚体的自由度u 自由度的概念自由度的概念火车：火车：火车：火车：自由度为自由度为自由度为自由度为1 1飞机：飞机：飞机：飞机：自由度为自由度为自由度为自由度为3 3轮船：轮船：轮船：轮船：自由度为自由度为自由度为自由度为2 2u 刚体的自由度刚体的自由度xyzO3 3个平动自由度个平动自由度个平动自由度个平动自由度 ( (x x、、、、y y、、、、z z) ) 确定质心确定质心确定质心确定质心C C的位置的位置的位置的位置: : : :3 3个方位角个方位角个方位角个方位角 ( (a a a a、、、、   、、、、g g g g ) )，其中两个是独立的，其中两个是独立的，其中两个是独立的，其中两个是独立的. .确定刚体绕瞬时轴转过的角度确定刚体绕瞬时轴转过的角度确定刚体绕瞬时轴转过的角度确定刚体绕瞬时轴转过的角度j j j j i = 3+2+1= 6 当刚体受到某些限制当刚体受到某些限制当刚体受到某些限制当刚体受到某些限制————————自由度减少自由度减少自由度减少。

自由度减少§3.2§3.2￿￿￿￿￿￿￿￿刚体定轴转动的运动学规律刚体定轴转动的运动学规律刚体定轴转动的运动学规律刚体定轴转动的运动学规律主要内容：主要内容：1. 描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量2. 定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系3. 刚体定轴转动运动学的两类问题刚体定轴转动运动学的两类问题转动平面转动平面转动平面转动平面：刚体上垂直于固定轴的任意平面刚体上垂直于固定轴的任意平面刚体上垂直于固定轴的任意平面刚体上垂直于固定轴的任意平面定轴转动时，刚体上各质点都绕固定轴定轴转动时，刚体上各质点都绕固定轴定轴转动时，刚体上各质点都绕固定轴定轴转动时，刚体上各质点都绕固定轴作圆周运动，在任意时刻其上各质点的作圆周运动，在任意时刻其上各质点的作圆周运动，在任意时刻其上各质点的作圆周运动，在任意时刻其上各质点的位移、速度、加速度位移、速度、加速度位移、速度、加速度位移、速度、加速度( ( ( (线量线量线量线量) ) ) )各不相同各不相同各不相同各不相同运动学中讲过的角坐标、角位移、角速运动学中讲过的角坐标、角位移、角速运动学中讲过的角坐标、角位移、角速运动学中讲过的角坐标、角位移、角速度、角加速度等概念，以及有关公式都度、角加速度等概念，以及有关公式都度、角加速度等概念，以及有关公式都度、角加速度等概念，以及有关公式都可适用于刚体的定轴转动。

可适用于刚体的定轴转动可适用于刚体的定轴转动可适用于刚体的定轴转动3.2.1 3.2.1 描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量转转转转动动动动平平平平面面面面描述刚体定轴转动的物理量是描述刚体定轴转动的物理量是描述刚体定轴转动的物理量是描述刚体定轴转动的物理量是角量角量角量角量角坐标、角位移角坐标、角位移角坐标、角位移角坐标、角位移角速度、角加速度角速度、角加速度角速度、角加速度角速度、角加速度参考方向参考方向参考方向参考方向任选刚体上的任意点任选刚体上的任意点任选刚体上的任意点任选刚体上的任意点P P点为参考点点为参考点点为参考点点为参考点 若若若若P P在在在在t t 和和和和   t t 后的角坐标为后的角坐标为后的角坐标为后的角坐标为   1 1和和和和   2 2，则，则，则，则转转转转动动动动平平平平面面面面uu 角位移角位移角位移角位移      uu角坐标角坐标角坐标角坐标   刚体定轴转动的运动方程刚体定轴转动的运动方程刚体定轴转动的运动方程刚体定轴转动的运动方程平均角速度平均角速度平均角速度平均角速度uu 角速度角速度角速度角速度瞬时角速度瞬时角速度瞬时角速度瞬时角速度l l 刚体转动的刚体转动的刚体转动的刚体转动的角速度矢量角速度矢量角速度矢量角速度矢量参考方向参考方向参考方向参考方向uu 角加速度角加速度角加速度角加速度l l     > 0> 0，，，，角加速度方向与角坐标正方角加速度方向与角坐标正方角加速度方向与角坐标正方角加速度方向与角坐标正方向相同；向相同；向相同；向相同；     < 0< 0，，，，角加速度方向与角角加速度方向与角角加速度方向与角角加速度方向与角坐标正方向相反。

坐标正方向相反坐标正方向相反坐标正方向相反l l 刚体定轴转动时，角加速度刚体定轴转动时，角加速度刚体定轴转动时，角加速度刚体定轴转动时，角加速度可看成可看成可看成可看成 是只有正、负的是只有正、负的是只有正、负的是只有正、负的代数量代数量代数量代数量 ( ( (瞬时瞬时瞬时瞬时) ) ) ) 角加速度角加速度角加速度角加速度l l 刚体转动的刚体转动的刚体转动的刚体转动的角加速度矢量角加速度矢量角加速度矢量角加速度矢量在一般刚体运动中，角加速度矢量和角速度矢量一般不沿同一方向在一般刚体运动中，角加速度矢量和角速度矢量一般不沿同一方向在一般刚体运动中，角加速度矢量和角速度矢量一般不沿同一方向在一般刚体运动中，角加速度矢量和角速度矢量一般不沿同一方向     的正负与的正负与的正负与的正负与       相同相同相同相同转转转转动动动动平平平平面面面面 3.2.2 3.2.2 定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系刚体内各质点具有相同的角位移、角刚体内各质点具有相同的角位移、角刚体内各质点具有相同的角位移、角刚体内各质点具有相同的角位移、角速度、角加速度，但由于各质点离转速度、角加速度，但由于各质点离转速度、角加速度，但由于各质点离转速度、角加速度，但由于各质点离转轴的距离和方向各不相同，所以刚体轴的距离和方向各不相同，所以刚体轴的距离和方向各不相同，所以刚体轴的距离和方向各不相同，所以刚体内各个质点的位移、速度、加速度内各个质点的位移、速度、加速度内各个质点的位移、速度、加速度内各个质点的位移、速度、加速度 ( ( ( (线量线量线量线量) ) ) )各不相同。

各不相同各不相同各不相同 l l MM点的线速度、切向加速度沿圆轨迹的切线，指向由点的线速度、切向加速度沿圆轨迹的切线，指向由点的线速度、切向加速度沿圆轨迹的切线，指向由点的线速度、切向加速度沿圆轨迹的切线，指向由   、、、、   的正负确定的正负确定的正负确定的正负确定l l 刚体转动时，如果刚体转动时，如果刚体转动时，如果刚体转动时，如果   和和和和   同号，刚体转动是加速的；如果同号，刚体转动是加速的；如果同号，刚体转动是加速的；如果同号，刚体转动是加速的；如果   和和和和   异号，刚异号，刚异号，刚异号，刚 体转动是减速的体转动是减速的体转动是减速的体转动是减速的3.2.3 3.2.3 刚体定轴转动运动学的两类问题刚体定轴转动运动学的两类问题刚体定轴转动运动学的两类问题刚体定轴转动运动学的两类问题uu 第一类问题第一类问题第一类问题第一类问题已知刚体转动运动方程已知刚体转动运动方程已知刚体转动运动方程已知刚体转动运动方程    = =    ( (t t) )，求角速度，求角速度，求角速度，求角速度   、角加速度、角加速度、角加速度、角加速度   ------------ 微分问题微分问题微分问题微分问题uu 第二类问题第二类问题第二类问题第二类问题已知已知已知已知角速度角速度角速度角速度或或或或角加速度角加速度角加速度角加速度及初始条件，求及初始条件，求及初始条件，求及初始条件，求转动运动方程转动运动方程转动运动方程转动运动方程    = =    ( (t t) )------ ------ 积分问题积分问题积分问题积分问题l l 对于刚体绕定轴匀变速转动，对于刚体绕定轴匀变速转动，对于刚体绕定轴匀变速转动，对于刚体绕定轴匀变速转动，角加速度角加速度角加速度角加速度    = = 常量常量常量常量，有，有，有，有一飞轮绕定轴转动，其转过的角度与时间的关系为一飞轮绕定轴转动，其转过的角度与时间的关系为  =10 t 2，式，式中中  的单位为的单位为rad，，t 的单位为的单位为s 。

根据定义，飞轮的角速度为根据定义，飞轮的角速度为飞轮的角加速度为飞轮的角加速度为距转轴距转轴r处处质点的切向加速度质点的切向加速度法向加速度法向加速度例例解解求求(1)飞轮的角速度和角加速度；飞轮的角速度和角加速度；(2)距转轴距转轴r处的质点的切向加速度和法向加速度处的质点的切向加速度和法向加速度 船用螺旋桨的正常转速为船用螺旋桨的正常转速为120r/min从静止启动均匀地到从静止启动均匀地到此转速需时此转速需时40s当转速为当转速为84r/min时运动系统出现振动，时运动系统出现振动，转速为转速为96r/min时振动消失时振动消失螺旋桨的初速度为螺旋桨的初速度为 ，正常运转角速度为，正常运转角速度为角加速度角加速度  为常量，故为常量，故 在起动过程中系统振动所持续的时间在起动过程中系统振动所持续的时间 例例解解求求而而 系统开始振动时刻为系统开始振动时刻为系统振动消失时刻为系统振动消失时刻为系统振动所持续的时间为系统振动所持续的时间为 且且电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度 0 = 0，经，经150s其转速达到其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度，已知转子的角加速度 与时间与时间t的平的平方成正比。

方成正比根据题意，设根据题意，设 （（k为比例常量）为比例常量） 由角加速度的定义，有由角加速度的定义，有分离变量并积分，有分离变量并积分，有在这段时间内，转子转过的圈数在这段时间内，转子转过的圈数例例解解求求t 时刻转子的角速度为时刻转子的角速度为当当t =150s，转子的角速度为，转子的角速度为则有则有由此得由此得 由角速度的定义由角速度的定义 ，得转子在，得转子在150s内转过的角度为内转过的角度为因而转子在这一段时间内转过的圈数为因而转子在这一段时间内转过的圈数为§3.3§3.3￿￿￿￿￿￿￿￿刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律主要内容：主要内容：1. 力矩力矩2. 刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律3. 转动惯量转动惯量4. 定轴转动定律的应用定轴转动定律的应用力的力的力的力的大小大小大小大小、力的、力的、力的、力的方向方向方向方向和力的和力的和力的和力的作用作用作用作用线线线线相对于转轴的位置是决定刚体相对于转轴的位置是决定刚体相对于转轴的位置是决定刚体相对于转轴的位置是决定刚体转动效果的重要因素。

转动效果的重要因素转动效果的重要因素转动效果的重要因素3.3.1 3.3.1 力矩力矩力矩力矩力臂：力臂：力臂：力臂：力力力力 对转轴对转轴对转轴对转轴z z的力矩的力矩的力矩的力矩: : uu 若刚体所受力若刚体所受力若刚体所受力若刚体所受力 在转动平面内在转动平面内在转动平面内在转动平面内 uu 若刚体所受力若刚体所受力若刚体所受力若刚体所受力 不在转动平面内不在转动平面内不在转动平面内不在转动平面内 在定轴转动中，只有在定轴转动中，只有在定轴转动中，只有在定轴转动中，只有 起作用起作用起作用起作用力力力力 对转轴对转轴对转轴对转轴z z的力矩的力矩的力矩的力矩平行于转轴平行于转轴平行于转轴平行于转轴 分量不能使刚体发生转动分量不能使刚体发生转动分量不能使刚体发生转动分量不能使刚体发生转动l l 对于刚体的定轴转动，力矩对于刚体的定轴转动，力矩对于刚体的定轴转动，力矩对于刚体的定轴转动，力矩MMz z可看成是可看成是可看成是可看成是代数量代数量代数量代数量力矩的正力矩的正。

力矩的正力矩的正 负由右手螺旋法则确定负由右手螺旋法则确定负由右手螺旋法则确定负由右手螺旋法则确定从从从从z z轴正端向负端看，若力轴正端向负端看，若力轴正端向负端看，若力轴正端向负端看，若力F F使使使使刚体沿逆时针方向转动，则力刚体沿逆时针方向转动，则力刚体沿逆时针方向转动，则力刚体沿逆时针方向转动，则力矩矩矩矩MMz z为正，反之为为正，反之为为正，反之为为正，反之为MMz z为负ØØ 说明说明说明说明l l 对于刚体的定轴转动，力矩对于刚体的定轴转动，力矩对于刚体的定轴转动，力矩对于刚体的定轴转动，力矩MMz z也可认也可认也可认也可认 为是为是为是为是矢量矢量矢量矢量即l l几个作用力同时作用在一个绕几个作用力同时作用在一个绕几个作用力同时作用在一个绕几个作用力同时作用在一个绕固定轴转动的刚体上时固定轴转动的刚体上时固定轴转动的刚体上时固定轴转动的刚体上时, , 合力合力合力合力矩矩矩矩等于这几个力各自的等于这几个力各自的等于这几个力各自的等于这几个力各自的力矩的力矩的力矩的力矩的代数和代数和代数和代数和 方向：方向：方向：方向：满足右手螺旋法则。

满足右手螺旋法则满足右手螺旋法则满足右手螺旋法则对对对对P Pi i : : : :两边同乘以两边同乘以两边同乘以两边同乘以 r ri i ：：：：切向：切向：切向：切向：对刚体中所有质点求和对刚体中所有质点求和对刚体中所有质点求和对刚体中所有质点求和 和和和和 的法向分力作用线的法向分力作用线的法向分力作用线的法向分力作用线通过转轴，其力矩为零通过转轴，其力矩为零通过转轴，其力矩为零通过转轴，其力矩为零3.3.2 3.3.2 刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律其中内力的力矩之和为其中内力的力矩之和为其中内力的力矩之和为其中内力的力矩之和为所以所以所以所以合外力矩合外力矩合外力矩合外力矩刚体的转动惯量刚体的转动惯量刚体的转动惯量刚体的转动惯量（刚体定轴转动定律）（刚体定轴转动定律）（刚体定轴转动定律）（刚体定轴转动定律）作用在刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动作用在刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动作用在刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动作用在刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与所获得的角加速度的乘积。

惯量与所获得的角加速度的乘积惯量与所获得的角加速度的乘积惯量与所获得的角加速度的乘积l l 刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢 量关系式，即量关系式，即量关系式，即量关系式，即力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生角加速度的原因力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生角加速度的原因力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生角加速度的原因力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生角加速度的原因l l 刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如 同质点力学中的同质点力学中的同质点力学中的同质点力学中的 ；；；；l l 刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的MM、转动惯量、转动惯量、转动惯量、转动惯量J J和角加速度和角加速度和角加速度和角加速度   三个物三个物三个物三个物 理量都是相对于同一转轴而言的；理量都是相对于同一转轴而言的；理量都是相对于同一转轴而言的；理量都是相对于同一转轴而言的；ØØ 讨论讨论讨论讨论l l 刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的MM是作用在刚体上的合外力矩；是作用在刚体上的合外力矩；是作用在刚体上的合外力矩；是作用在刚体上的合外力矩；l l 刚体定轴转动定律仅适用于惯性系。

刚体定轴转动定律仅适用于惯性系刚体定轴转动定律仅适用于惯性系刚体定轴转动定律仅适用于惯性系3.3.3 3.3.3 转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量对质量连续分布的刚体对质量连续分布的刚体对质量连续分布的刚体对质量连续分布的刚体对质量离散分布的质点系对质量离散分布的质点系对质量离散分布的质点系对质量离散分布的质点系u转动惯量的定义转动惯量的定义 刚体对某转轴的转动惯量刚体对某转轴的转动惯量刚体对某转轴的转动惯量刚体对某转轴的转动惯量 J J 等于刚体内每个质点的质等于刚体内每个质点的质等于刚体内每个质点的质等于刚体内每个质点的质量与这个质点到该转轴垂直距离平方乘积之和量与这个质点到该转轴垂直距离平方乘积之和量与这个质点到该转轴垂直距离平方乘积之和量与这个质点到该转轴垂直距离平方乘积之和 u计算转动惯量的基本公式计算转动惯量的基本公式r质量线分布，质量线分布，质量线分布，质量线分布，   为线密度为线密度为线密度为线密度( ( ( ( ) ) ) )质量面分布，质量面分布，质量面分布，质量面分布，   为面密度为面密度为面密度为面密度( ( ) )质量体分布，质量体分布，质量体分布，质量体分布，   为体密度为体密度为体密度为体密度( ( ) )(2) (2) 刚体的总质量：刚体的总质量：刚体的总质量：刚体的总质量：l l转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量J J的物理意义：表示刚体在转动中惯性的大小的量的物理意义：表示刚体在转动中惯性的大小的量的物理意义：表示刚体在转动中惯性的大小的量的物理意义：表示刚体在转动中惯性的大小的量度。

度ØØ 讨论讨论讨论讨论------ ------ 转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量J J越大，转动状态越不容易改变越大，转动状态越不容易改变越大，转动状态越不容易改变越大，转动状态越不容易改变l l 影响转动惯量影响转动惯量影响转动惯量影响转动惯量J J大小的三个因素大小的三个因素大小的三个因素大小的三个因素(1) (1) 刚体的转轴位置：刚体的转轴位置：刚体的转轴位置：刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的同一刚体依不同的转轴而有不同的同一刚体依不同的转轴而有不同的同一刚体依不同的转轴而有不同的J J ；；；；刚体的转动惯量与其自身的总质量成正比；刚体的转动惯量与其自身的总质量成正比；刚体的转动惯量与其自身的总质量成正比；刚体的转动惯量与其自身的总质量成正比；(3) (3) 质质质质量相对转轴的分布：量相对转轴的分布：量相对转轴的分布：量相对转轴的分布：转动惯量与其形状、大小和密度分布有关转动惯量与其形状、大小和密度分布有关转动惯量与其形状、大小和密度分布有关转动惯量与其形状、大小和密度分布有关l l 转动惯量叠加定理转动惯量叠加定理转动惯量叠加定理转动惯量叠加定理l l 平行轴定理平行轴定理平行轴定理平行轴定理zdCmz' 在细杆上在细杆上x 处取线元处取线元dx(1) 取如图所示的坐标取如图所示的坐标细杆对过中点的垂直转轴的转动惯量为细杆对过中点的垂直转轴的转动惯量为试求质量为试求质量为m，长为，长为l 的均质细杆对如下给定轴的转动惯量。

的均质细杆对如下给定轴的转动惯量1) 转轴垂直于杆并通过杆的中点；转轴垂直于杆并通过杆的中点；(2) 转轴垂直于杆并通过杆的一端转轴垂直于杆并通过杆的一端解解(2) 以细杆的一端以细杆的一端 为坐标原点，取如图所示的坐标为坐标原点，取如图所示的坐标例例线元的质量为线元的质量为则此时的转动惯量为：则此时的转动惯量为： 均质细圆环的质量线密度为均质细圆环的质量线密度为由于圆环上各线元到转轴的距离均为由于圆环上各线元到转轴的距离均为R，所以圆环对该轴，所以圆环对该轴的转动惯量为的转动惯量为试求一质量为试求一质量为m，半径为，半径为R的均质细圆环对通过其中心且垂的均质细圆环对通过其中心且垂直于环面的转轴的转动惯量直于环面的转轴的转动惯量在圆环上任取长度为在圆环上任取长度为dl 的线元，的线元，该线元的质量为该线元的质量为解解例例 任取一半径为任取一半径为r，宽度，宽度dr的圆环薄圆盘可以看成是许多半径不同的同薄圆盘可以看成是许多半径不同的同心圆环的集合心圆环的集合圆环对过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量为圆环对过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量为试求半径为试求半径为R ，质量为，质量为m的均质薄圆盘，对过盘心且垂直于的均质薄圆盘，对过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量。

盘面的轴的转动惯量 解解例例则整个圆盘对该轴的转动惯量为则整个圆盘对该轴的转动惯量为薄圆盘的质量面密度薄圆盘的质量面密度圆环的质量为圆环的质量为: :常常常常见见见见刚刚刚刚体体体体的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量刚体刚体（质量为（质量为m））转轴位置转轴位置转动惯量转动惯量细棒细棒（棒长为（棒长为l））通过中心与棒垂直通过中心与棒垂直通过端点与棒垂直通过端点与棒垂直细圆环细圆环（半径为（半径为R））通过中心与环面垂直通过中心与环面垂直直径直径薄圆盘薄圆盘（半径为（半径为R））通过中心与盘面垂直通过中心与盘面垂直直径直径空心圆柱空心圆柱（内外半径为（内外半径为R1和和R2））对称轴对称轴球壳球壳（半径为（半径为R））中心轴中心轴球体球体（半径为（半径为R））中心轴中心轴3.3.4 3.3.4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用l l已知转动运动方程已知转动运动方程已知转动运动方程已知转动运动方程θ θ= =θ θ( ( t t ) ) ，求刚体所受合外力矩，求刚体所受合外力矩，求刚体所受合外力矩，求刚体所受合外力矩MM；；；；l l已知刚体所受合外力矩已知刚体所受合外力矩已知刚体所受合外力矩已知刚体所受合外力矩 M M 及初始条件，求刚体的角加速度及初始条件，求刚体的角加速度及初始条件，求刚体的角加速度及初始条件，求刚体的角加速度     、角速度、角速度、角速度、角速度ω ω和转动运动方程。

和转动运动方程和转动运动方程和转动运动方程uu 刚体动力学的两类问题刚体动力学的两类问题刚体动力学的两类问题刚体动力学的两类问题l l 对平动的刚体列出牛顿第二定律方程，对定轴转动的刚体对平动的刚体列出牛顿第二定律方程，对定轴转动的刚体对平动的刚体列出牛顿第二定律方程，对定轴转动的刚体对平动的刚体列出牛顿第二定律方程，对定轴转动的刚体 列出定轴转动定律方程；列出定轴转动定律方程；列出定轴转动定律方程；列出定轴转动定律方程；l l 注意利用角量与线量的关系注意利用角量与线量的关系注意利用角量与线量的关系注意利用角量与线量的关系uu 应用定轴转动定律求解刚体动力学的一般思路应用定轴转动定律求解刚体动力学的一般思路应用定轴转动定律求解刚体动力学的一般思路应用定轴转动定律求解刚体动力学的一般思路l l 要注意正确选取角速度、角加速度和力矩的正负；要注意正确选取角速度、角加速度和力矩的正负；要注意正确选取角速度、角加速度和力矩的正负；要注意正确选取角速度、角加速度和力矩的正负；l l 除了受力分析，还要进行力矩分析在进行受力、力矩分除了受力分析，还要进行力矩分析在进行受力、力矩分除了受力分析，还要进行力矩分析。

在进行受力、力矩分除了受力分析，还要进行力矩分析在进行受力、力矩分 析时，对刚体要找准力的作用点，以便求力矩；析时，对刚体要找准力的作用点，以便求力矩；析时，对刚体要找准力的作用点，以便求力矩；析时，对刚体要找准力的作用点，以便求力矩； 滑块滑块滑块滑块A A、重物、重物、重物、重物B B的质量分别为的质量分别为的质量分别为的质量分别为mm1 1和和和和mm2 2，用一轻绳相连，绳子跨，用一轻绳相连，绳子跨，用一轻绳相连，绳子跨，用一轻绳相连，绳子跨过质量为过质量为过质量为过质量为mm3 3、、、、半径为半径为半径为半径为r r的定滑轮的定滑轮的定滑轮的定滑轮C C（可视为均质圆盘）滑块（可视为均质圆盘）滑块（可视为均质圆盘）滑块（可视为均质圆盘）滑块A A与水平桌面间的滑动摩擦系数为与水平桌面间的滑动摩擦系数为与水平桌面间的滑动摩擦系数为与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ μk k，滑轮与轴之间的摩擦可，滑轮与轴之间的摩擦可，滑轮与轴之间的摩擦可，滑轮与轴之间的摩擦可忽略不计，不可伸缩的轻绳与滑轮之间无相对滑动忽略不计，不可伸缩的轻绳与滑轮之间无相对滑动忽略不计，不可伸缩的轻绳与滑轮之间无相对滑动。

忽略不计，不可伸缩的轻绳与滑轮之间无相对滑动的力矩：的力矩：的力矩：的力矩：受力分析受力分析受力分析受力分析的力矩：的力矩：的力矩：的力矩：例例解解l l力矩分析力矩分析力矩分析力矩分析, , 取如图所示的正方向取如图所示的正方向取如图所示的正方向取如图所示的正方向l l 列动力学方程列动力学方程列动力学方程列动力学方程对滑块对滑块对滑块对滑块A A ：：：：若重物若重物若重物若重物B B下降时，滑块下降时，滑块下降时，滑块下降时，滑块A A的加速度的加速度的加速度的加速度a a及绳中的张力及绳中的张力及绳中的张力及绳中的张力求求 对滑轮对滑轮对滑轮对滑轮C C（均质圆盘）（均质圆盘）（均质圆盘）（均质圆盘）对重物对重物对重物对重物B B且且且且求解以上方程，求解以上方程，求解以上方程，求解以上方程，得得得得 如图，一钟摆由长度为如图，一钟摆由长度为如图，一钟摆由长度为如图，一钟摆由长度为l l，质量为，质量为，质量为，质量为mm1 1的均质细杆和固定在其的均质细杆和固定在其的均质细杆和固定在其的均质细杆和固定在其一端的质量为一端的质量为一端的质量为一端的质量为mm2 2的摆球（可以看作质点）构成。

钟摆可绕的摆球（可以看作质点）构成钟摆可绕的摆球（可以看作质点）构成钟摆可绕的摆球（可以看作质点）构成钟摆可绕过杆另一端的固定轴无摩擦地摆动，开始时把它放置于水过杆另一端的固定轴无摩擦地摆动，开始时把它放置于水过杆另一端的固定轴无摩擦地摆动，开始时把它放置于水过杆另一端的固定轴无摩擦地摆动，开始时把它放置于水平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落受力分析如图受力分析如图受力分析如图受力分析如图钟摆所受的合外力矩钟摆所受的合外力矩钟摆所受的合外力矩钟摆所受的合外力矩（重力的力矩）（重力的力矩）（重力的力矩）（重力的力矩）例例解解求求放手后钟摆摆到放手后钟摆摆到放手后钟摆摆到放手后钟摆摆到   角位置时的角加速度角位置时的角加速度角位置时的角加速度角位置时的角加速度   和角速度和角速度和角速度和角速度   钟摆系统的总转动惯量钟摆系统的总转动惯量钟摆系统的总转动惯量钟摆系统的总转动惯量由刚体定轴转动定律，有由刚体定轴转动定律，有由刚体定轴转动定律，有由刚体定轴转动定律，有而而而而 如图，一半径为如图，一半径为R、、质量为质量为m的均质圆盘平放在粗糙的水平的均质圆盘平放在粗糙的水平面上，设圆盘与水平面的摩擦系数为面上，设圆盘与水平面的摩擦系数为μk，摩擦力均匀地分，摩擦力均匀地分布于圆盘的底面。

若圆盘绕垂直于圆盘中心的布于圆盘的底面若圆盘绕垂直于圆盘中心的OO′轴转动，轴转动，初速度为初速度为ω0例例解解受力受力分析分析如图，如图， 以以 0的转动方向为正的转动方向为正所取圆环的质量为所取圆环的质量为则这一圆环受到的摩擦力为则这一圆环受到的摩擦力为任取一半径为任取一半径为r，宽度，宽度dr的圆环经过多长时间圆盘会停止？经过多长时间圆盘会停止？求求圆环受到的摩擦力矩为圆环受到的摩擦力矩为 （式中力矩取负号是因为摩擦力（式中力矩取负号是因为摩擦力矩的方向与选取的正方向相反）矩的方向与选取的正方向相反） 整个薄圆盘受到的摩擦力矩为整个薄圆盘受到的摩擦力矩为由刚体定轴转动定律有由刚体定轴转动定律有积分并代入初始条件，有积分并代入初始条件，有棒在水平冲力棒在水平冲力Fi的力矩作用下，绕通的力矩作用下，绕通过点过点O的瞬时轴转动由定轴转动定的瞬时轴转动由定轴转动定律可得律可得 如图，棒球运动员双手握棒于如图，棒球运动员双手握棒于O点，给棒以约束力点，给棒以约束力F棒的质量为质量为m，棒的质心，棒的质心C 到到O 点的距离为点的距离为rC飞来的棒球打击飞来的棒球打击在棒上的在棒上的P 点处，点处，P点到点到O点的距离为点的距离为r。

在击球的瞬间，球在击球的瞬间，球给棒一水平冲力给棒一水平冲力Fi ，手给棒的约束力的横向分力为，手给棒的约束力的横向分力为Ft 若打击点的位置选择适当，就会使打击点的位置选择适当，就会使 Ft 为零，这时运动员的手为零，这时运动员的手掌自然感觉轻松，这一特殊的打击点称为掌自然感觉轻松，这一特殊的打击点称为打击中心打击中心例例解解求求打击中心到打击中心到O点的距离点的距离根据质心运动定理，其水平分量式为根据质心运动定理，其水平分量式为又又(1)(1)(2)(2)(3)(3)（设棒的转动惯量为（设棒的转动惯量为J）） (1)(1)(2)(2)(3)(3)联立以上三方程，解得联立以上三方程，解得 由此可见，手提供的约束力由此可见，手提供的约束力Ft 是被动的响应力，它与球给棒是被动的响应力，它与球给棒的冲击力的冲击力Fi 以及击球点的位置以及击球点的位置r有关 令令, ,则可求得打击中心的位置为则可求得打击中心的位置为 §3.4§3.4￿￿￿￿￿￿￿￿刚体绕定轴转动的功能关系刚体绕定轴转动的功能关系刚体绕定轴转动的功能关系刚体绕定轴转动的功能关系主要内容：主要内容：1. 刚体绕定轴转动的转动动能刚体绕定轴转动的转动动能2. 力矩的功力矩的功3. 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理4. 刚体的重力势能刚体的重力势能5. 含有刚体的力学系统的机械能守恒定律含有刚体的力学系统的机械能守恒定律3.4.1 3.4.1 刚体绕定轴转动的转动动能刚体绕定轴转动的转动动能刚体绕定轴转动的转动动能刚体绕定轴转动的转动动能对刚体上所有质点的动能求和对刚体上所有质点的动能求和对刚体上所有质点的动能求和对刚体上所有质点的动能求和在刚体上任取一质点在刚体上任取一质点在刚体上任取一质点在刚体上任取一质点P Pi i质点质点质点质点P Pi i的动能为的动能为的动能为的动能为（刚体绕定轴转动的转动动能）（刚体绕定轴转动的转动动能）（刚体绕定轴转动的转动动能）（刚体绕定轴转动的转动动能）ØØ 讨论讨论讨论讨论l l 刚体绕定轴转动的动能就是组成刚体所有质点的动能之和；刚体绕定轴转动的动能就是组成刚体所有质点的动能之和；刚体绕定轴转动的动能就是组成刚体所有质点的动能之和；刚体绕定轴转动的动能就是组成刚体所有质点的动能之和；l l 与质点的动能相比较，也可看出转动惯量与质点的动能相比较，也可看出转动惯量与质点的动能相比较，也可看出转动惯量与质点的动能相比较，也可看出转动惯量J J的地位对应于质的地位对应于质的地位对应于质的地位对应于质 点的质量点的质量点的质量点的质量mm，也说明，也说明，也说明，也说明J J是刚体绕定轴转动惯性大小的量度。

是刚体绕定轴转动惯性大小的量度是刚体绕定轴转动惯性大小的量度是刚体绕定轴转动惯性大小的量度3.4.2 3.4.2 力矩的功力矩的功力矩的功力矩的功力矩和元角位移的乘积力矩和元角位移的乘积力矩和元角位移的乘积力矩和元角位移的乘积角位移角位移角位移角位移d d   ，元路程，元路程，元路程，元路程d ds s，元位移，元位移，元位移，元位移力力力力 在元路程在元路程在元路程在元路程d ds s上的元功上的元功上的元功上的元功l l 力矩的元功：力矩的元功：力矩的元功：力矩的元功：l l刚体从刚体从刚体从刚体从   1 1转到转到转到转到   2 2的过程中，力矩对刚的过程中，力矩对刚的过程中，力矩对刚的过程中，力矩对刚体所作的功体所作的功体所作的功体所作的功 刚体在合外力作用下绕定轴转动而发刚体在合外力作用下绕定轴转动而发刚体在合外力作用下绕定轴转动而发刚体在合外力作用下绕定轴转动而发生角位移时，则力矩对刚体作了功生角位移时，则力矩对刚体作了功生角位移时，则力矩对刚体作了功生角位移时，则力矩对刚体作了功l l 力矩的功表达式中的力矩的功表达式中的力矩的功表达式中的力矩的功表达式中的即即即即MM为作用在刚体上各外力的合外力矩为作用在刚体上各外力的合外力矩为作用在刚体上各外力的合外力矩为作用在刚体上各外力的合外力矩 当力矩与角速度同号当力矩与角速度同号当力矩与角速度同号当力矩与角速度同号( ( ( (或同方向或同方向或同方向或同方向) ) ) )时，力矩的功为正值；时，力矩的功为正值；时，力矩的功为正值；时，力矩的功为正值；当力矩与角速度异号当力矩与角速度异号当力矩与角速度异号当力矩与角速度异号( ( ( (或反方向或反方向或反方向或反方向) ) ) )时，力矩的功为负值。

时，力矩的功为负值时，力矩的功为负值时，力矩的功为负值l l 力矩的功的正负力矩的功的正负力矩的功的正负力矩的功的正负l l 力矩的功率力矩的功率力矩的功率力矩的功率l l力矩所作的功实质上就是力所作的功力矩所作的功实质上就是力所作的功力矩所作的功实质上就是力所作的功力矩所作的功实质上就是力所作的功在刚体转动情况下的表现形式在刚体转动情况下的表现形式在刚体转动情况下的表现形式在刚体转动情况下的表现形式ØØ 讨论讨论讨论讨论转动定律转动定律转动定律转动定律设在合外力矩设在合外力矩设在合外力矩设在合外力矩MM的作用下的作用下的作用下的作用下3.4.3 3.4.3 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理（（（（刚体绕定轴转动动能定理的刚体绕定轴转动动能定理的刚体绕定轴转动动能定理的刚体绕定轴转动动能定理的微分形式）微分形式）微分形式）微分形式） 当绕定轴转动的刚体在外力作用下，角速度从当绕定轴转动的刚体在外力作用下，角速度从当绕定轴转动的刚体在外力作用下，角速度从当绕定轴转动的刚体在外力作用下，角速度从t t t t1 1 1 1时刻的时刻的时刻的时刻的ωωωω1 1改变为改变为改变为改变为t t t t2 2时刻的时刻的时刻的时刻的ωωωω2 2时，合外力矩对刚体所作的功为时，合外力矩对刚体所作的功为时，合外力矩对刚体所作的功为时，合外力矩对刚体所作的功为（刚体绕定轴转动的动能定理）（刚体绕定轴转动的动能定理）（刚体绕定轴转动的动能定理）（刚体绕定轴转动的动能定理） l l 刚体绕定轴转动的动能定理只适用于刚体的定轴转动。

刚体绕定轴转动的动能定理只适用于刚体的定轴转动刚体绕定轴转动的动能定理只适用于刚体的定轴转动刚体绕定轴转动的动能定理只适用于刚体的定轴转动合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体始、末两个状始、末两个状始、末两个状始、末两个状态态态态转动动能的增量转动动能的增量转动动能的增量转动动能的增量ØØ 讨论讨论讨论讨论l l 刚体中一对内力所作功的代数和为刚体中一对内力所作功的代数和为刚体中一对内力所作功的代数和为刚体中一对内力所作功的代数和为内力的功不影响刚体的转动动能内力的功不影响刚体的转动动能内力的功不影响刚体的转动动能内力的功不影响刚体的转动动能若以若以若以若以h hC C表示质心到零势能面的高度，则刚体的重力势能为表示质心到零势能面的高度，则刚体的重力势能为表示质心到零势能面的高度，则刚体的重力势能为表示质心到零势能面的高度，则刚体的重力势能为刚体重力势能与其质量全部集中在质心上的质点具有刚体重力势能与其质量全部集中在质心上的质点具有刚体重力势能与其质量全部集中在质心上的质点具有刚体重力势能与其质量全部集中在质心上的质点具有的重力势能相同。

的重力势能相同的重力势能相同的重力势能相同以以以以xOy xOy 平面为重力势能零参考面平面为重力势能零参考面平面为重力势能零参考面平面为重力势能零参考面3.4.4 3.4.4 刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能对刚体中所有质点的势能求和对刚体中所有质点的势能求和对刚体中所有质点的势能求和对刚体中所有质点的势能求和ØØ 结论：结论：结论：结论：3.4.5 3.4.5 含有刚体的力学系统的机械能含有刚体的力学系统的机械能含有刚体的力学系统的机械能含有刚体的力学系统的机械能（系统的机械能守恒定律）（系统的机械能守恒定律）（系统的机械能守恒定律）（系统的机械能守恒定律） 对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守内力作功对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守内力作功对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守内力作功对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守内力作功，而外力和非保守内力都不作功，或作功的总和始终为零，则该，而外力和非保守内力都不作功，或作功的总和始终为零，则该，而外力和非保守内力都不作功，或作功的总和始终为零，则该，而外力和非保守内力都不作功，或作功的总和始终为零，则该系统的机械能守恒。

系统的机械能守恒系统的机械能守恒系统的机械能守恒当当当当 A A外外外外 + A+ A非保内非保内非保内非保内 = = 0 0 时，有时，有时，有时，有力学系统的机械能应包括力学系统的机械能应包括力学系统的机械能应包括力学系统的机械能应包括l l 质点的动能、重力势能，弹性势能；质点的动能、重力势能，弹性势能；质点的动能、重力势能，弹性势能；质点的动能、重力势能，弹性势能；l l 平动刚体的平动动能、重力势能；平动刚体的平动动能、重力势能；平动刚体的平动动能、重力势能；平动刚体的平动动能、重力势能；l l 定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即 如图，一质量为如图，一质量为m1、半径为、半径为R的定滑轮（可视为均质圆），的定滑轮（可视为均质圆），滑轮上绕着轻绳，轻绳一端系一质量为滑轮上绕着轻绳，轻绳一端系一质量为m2的物体若滑轮轴的物体若滑轮轴承处的摩擦力矩可忽略不计承处的摩擦力矩可忽略不计由质点动能定理，对物体有由质点动能定理，对物体有定滑轮和物体的受力如图定滑轮和物体的受力如图例例解解求求物体由静止下落高度物体由静止下落高度h时，物体的速度和定滑轮的角加速度。

时，物体的速度和定滑轮的角加速度设物体的初速度为设物体的初速度为v0，物体下，物体下降距离降距离h时，物体的速度为时，物体的速度为v，，定滑轮的角速度为定滑轮的角速度为  ，其转过，其转过的角位移为的角位移为   由动能定理，对定滑轮有由动能定理，对定滑轮有 线量与角量的关系线量与角量的关系联立求解并代入初始条件，即联立求解并代入初始条件，即 t = 0时，时，v0 = 0，， 0 = 0将上式对时间求导，得定滑轮的角加速度将上式对时间求导，得定滑轮的角加速度且且物体由静止下落高度物体由静止下落高度h时的速度为时的速度为, , 则有则有 由于由于本题可以有几种不同的解法本题可以有几种不同的解法如图，一质量为如图，一质量为m，长度为，长度为l的均质细杆，可绕通过其一端的均质细杆，可绕通过其一端O且与杆垂直的光滑水平轴转动若将此杆在水平位置时由静且与杆垂直的光滑水平轴转动若将此杆在水平位置时由静止释放例例解解求求当杆转到与水平方向成角当杆转到与水平方向成角  =   /6时的角速度时的角速度 (1)应用刚体绕定轴转动定律求解应用刚体绕定轴转动定律求解 。

根据转动定律，有根据转动定律，有 （式中（式中 、、 、、t均为变量）均为变量）变量代换变量代换  由此得由此得即当即当 时时 (2) 应用刚体绕定轴转动的动能定理求解应用刚体绕定轴转动的动能定理求解 只有重力矩在作功，根据动能定理，有只有重力矩在作功，根据动能定理，有分离变量后两边积分，有分离变量后两边积分，有由此得由此得(3) 应用系统机械能守恒定律求解应用系统机械能守恒定律求解 摩擦力不计，只有重力作功，故系统机械能守恒摩擦力不计，只有重力作功，故系统机械能守恒 取细杆的水平位置为重力势能零点取细杆的水平位置为重力势能零点则有则有由此解得由此解得即当即当 时时  如图，系统由静止开始释放，释放时弹簧处于自然状态如图，系统由静止开始释放，释放时弹簧处于自然状态如图，系统由静止开始释放，释放时弹簧处于自然状态如图，系统由静止开始释放，释放时弹簧处于自然状态已知滑轮半径为已知滑轮半径为已知滑轮半径为已知滑轮半径为 r r = = 0.3m0.3m ，转动惯量为，转动惯量为，转动惯量为，转动惯量为 J J = 0.5kgm= 0.5kgm2 2。

滑块滑块的质量为的质量为的质量为的质量为 m m = 2kg= 2kg ，斜面倾角为，斜面倾角为，斜面倾角为，斜面倾角为     = 37= 370 0 ，弹簧的劲度系数，弹簧的劲度系数，弹簧的劲度系数，弹簧的劲度系数为为为为 k k = 20Nm= 20Nm-1-1 滑块与斜面、滑轮与轴承之间的摩擦均可滑块与斜面、滑轮与轴承之间的摩擦均可滑块与斜面、滑轮与轴承之间的摩擦均可滑块与斜面、滑轮与轴承之间的摩擦均可忽略不计，轻绳不可伸长忽略不计，轻绳不可伸长忽略不计，轻绳不可伸长忽略不计，轻绳不可伸长1) (1) 当滑块沿斜面滑下当滑块沿斜面滑下当滑块沿斜面滑下当滑块沿斜面滑下 1.0m1.0m时，它的速率多大？时，它的速率多大？时，它的速率多大？时，它的速率多大？(2) (2) 滑块沿斜面将下滑多远？滑块沿斜面将下滑多远？滑块沿斜面将下滑多远？滑块沿斜面将下滑多远？(3) (3) 当滑块速率达到最大值时，它已滑下多远？当滑块速率达到最大值时，它已滑下多远？当滑块速率达到最大值时，它已滑下多远？当滑块速率达到最大值时，它已滑下多远？例例解解求求 设滑块沿斜面下滑距离为设滑块沿斜面下滑距离为设滑块沿斜面下滑距离为设滑块沿斜面下滑距离为x x时的速率为时的速率为时的速率为时的速率为v v，则，则，则，则取弹簧、滑轮、滑块、斜面和地球为研取弹簧、滑轮、滑块、斜面和地球为研取弹簧、滑轮、滑块、斜面和地球为研取弹簧、滑轮、滑块、斜面和地球为研究系统，经分析知系统机械能守恒。

究系统，经分析知系统机械能守恒究系统，经分析知系统机械能守恒究系统，经分析知系统机械能守恒取滑块的初始位置为重力势能零点，取滑块的初始位置为重力势能零点，取滑块的初始位置为重力势能零点，取滑块的初始位置为重力势能零点，弹簧自然长度点为弹性势能零点弹簧自然长度点为弹性势能零点弹簧自然长度点为弹性势能零点弹簧自然长度点为弹性势能零点参（参（参（参 数）数）数）数）任意位置时滑块的速率为任意位置时滑块的速率为任意位置时滑块的速率为任意位置时滑块的速率为(1) (1) 当当当当x x = 1.0m= 1.0m时，速率为时，速率为时，速率为时，速率为(2) (2) 当当当当x x = = x xmaxmax时，滑块速率为零时，滑块速率为零时，滑块速率为零时，滑块速率为零 (3) (3) 当滑块速率达到最大值时，有当滑块速率达到最大值时，有当滑块速率达到最大值时，有当滑块速率达到最大值时，有则当则当则当则当x x = 0.6 m = 0.6 m 时，速率为时，速率为时，速率为时，速率为§3.5§3.5￿￿￿￿￿￿￿￿刚体的角动量定理与角动量守恒定律刚体的角动量定理与角动量守恒定律刚体的角动量定理与角动量守恒定律刚体的角动量定理与角动量守恒定律主要内容：主要内容：1. 刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理2. 角动量守恒定律角动量守恒定律3. 角动量守恒定律在工程技术上的应用角动量守恒定律在工程技术上的应用在刚体上任取一质点在刚体上任取一质点在刚体上任取一质点在刚体上任取一质点P P3.5.1 3.5.1 刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理质点质点质点质点P P对对对对z z轴的角动量为轴的角动量为轴的角动量为轴的角动量为l l 刚体的角动量是描述刚体绕定轴转动状态的物理量；刚体的角动量是描述刚体绕定轴转动状态的物理量；刚体的角动量是描述刚体绕定轴转动状态的物理量；刚体的角动量是描述刚体绕定轴转动状态的物理量；uu 刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量( ( ( (刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量) ) ) )l l 角动量角动量角动量角动量 L L= =J J    与质点动量与质点动量与质点动量与质点动量 p p= =mmv v 相对应。

相对应可以证明，此式也适用于在物体转动过程中，可以证明，此式也适用于在物体转动过程中，可以证明，此式也适用于在物体转动过程中，可以证明，此式也适用于在物体转动过程中，J J发生变发生变发生变发生变化的过程，而化的过程，而化的过程，而化的过程，而M M = = J J    仅适用于转动惯量不变的过程仅适用于转动惯量不变的过程仅适用于转动惯量不变的过程仅适用于转动惯量不变的过程刚体定轴转动的角动量定理）（刚体定轴转动的角动量定理）（刚体定轴转动的角动量定理）（刚体定轴转动的角动量定理）作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对时间的导数时间的导数时间的导数时间的导数uu 刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理将刚体的角动量对时间求导将刚体的角动量对时间求导将刚体的角动量对时间求导将刚体的角动量对时间求导刚体对确定轴的转动惯量不变，则刚体对确定轴的转动惯量不变，则刚体对确定轴的转动惯量不变，则刚体对确定轴的转动惯量不变，则ØØ 说明：说明：说明：说明：积分形式的角动量定理积分形式的角动量定理积分形式的角动量定理积分形式的角动量定理（定轴转动角动量定理的积分形式）（定轴转动角动量定理的积分形式）（定轴转动角动量定理的积分形式）（定轴转动角动量定理的积分形式）定轴转动刚体在某段时间内所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同定轴转动刚体在某段时间内所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同定轴转动刚体在某段时间内所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同定轴转动刚体在某段时间内所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同一时间内角动量的增量。

一时间内角动量的增量一时间内角动量的增量一时间内角动量的增量可以证明，对转动惯量可以证明，对转动惯量可以证明，对转动惯量可以证明，对转动惯量J J 可变化的质点系或非刚体，可变化的质点系或非刚体，可变化的质点系或非刚体，可变化的质点系或非刚体，在定轴转动时，角动量定理仍成立，即有在定轴转动时，角动量定理仍成立，即有在定轴转动时，角动量定理仍成立，即有在定轴转动时，角动量定理仍成立，即有ØØ 说明：说明：说明：说明：当作用在定轴转动物体上的合外力矩为零时，物体在运动过程当作用在定轴转动物体上的合外力矩为零时，物体在运动过程当作用在定轴转动物体上的合外力矩为零时，物体在运动过程当作用在定轴转动物体上的合外力矩为零时，物体在运动过程中的角动量保持不变中的角动量保持不变中的角动量保持不变中的角动量保持不变3.5.2 3.5.2 角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律（角动量守恒定律）（角动量守恒定律）（角动量守恒定律）（角动量守恒定律）当当当当 MM = = 0 0 时，有时，有时，有时，有ØØ 讨论讨论讨论讨论l l 角动量守恒不仅适用于刚体，也同样适用于非刚体。

角动量守恒不仅适用于刚体，也同样适用于非刚体角动量守恒不仅适用于刚体，也同样适用于非刚体角动量守恒不仅适用于刚体，也同样适用于非刚体1)(1)(1)(1)对于刚体角动量守恒时，转动惯量和角速度均保持不对于刚体角动量守恒时，转动惯量和角速度均保持不对于刚体角动量守恒时，转动惯量和角速度均保持不对于刚体角动量守恒时，转动惯量和角速度均保持不变，刚体绕定轴作匀角速转动；变，刚体绕定轴作匀角速转动；变，刚体绕定轴作匀角速转动；变，刚体绕定轴作匀角速转动；(2)(2)对非刚体，角动量守恒时，转动惯量和角速度同时改对非刚体，角动量守恒时，转动惯量和角速度同时改对非刚体，角动量守恒时，转动惯量和角速度同时改对非刚体，角动量守恒时，转动惯量和角速度同时改变，但两者乘积不变：当变，但两者乘积不变：当变，但两者乘积不变：当变，但两者乘积不变：当J J变大时，角速度变小；当变大时，角速度变小；当变大时，角速度变小；当变大时，角速度变小；当J J变小时，角速度变大变小时，角速度变大变小时，角速度变大变小时，角速度变大花样滑冰运动员通过改变身体姿态（花样滑冰运动员通过改变身体姿态（花样滑冰运动员通过改变身体姿态（花样滑冰运动员通过改变身体姿态（转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量）来改变转速）来改变转速）来改变转速）来改变转速l l 在非定轴转动的情况下，只要作用在物体的外在非定轴转动的情况下，只要作用在物体的外在非定轴转动的情况下，只要作用在物体的外在非定轴转动的情况下，只要作用在物体的外 力对过质心轴的合外力矩为零，则它对过质心力对过质心轴的合外力矩为零，则它对过质心力对过质心轴的合外力矩为零，则它对过质心力对过质心轴的合外力矩为零，则它对过质心 的同一轴的角动量也保持不变。

的同一轴的角动量也保持不变的同一轴的角动量也保持不变的同一轴的角动量也保持不变l l 角动量守恒不仅适用于宏观物体，也同样适用角动量守恒不仅适用于宏观物体，也同样适用角动量守恒不仅适用于宏观物体，也同样适用角动量守恒不仅适用于宏观物体，也同样适用 于天体运动和微观粒子的运动于天体运动和微观粒子的运动于天体运动和微观粒子的运动于天体运动和微观粒子的运动l l分析人和转盘组成的系统当双臂由分析人和转盘组成的系统当双臂由分析人和转盘组成的系统当双臂由分析人和转盘组成的系统当双臂由r r1 1变为变为变为变为r r2 2后，系统转动惯后，系统转动惯后，系统转动惯后，系统转动惯量、转动角速度和机械能的变化情况量、转动角速度和机械能的变化情况量、转动角速度和机械能的变化情况量、转动角速度和机械能的变化情况由角动量守恒，有由角动量守恒，有由角动量守恒，有由角动量守恒，有非保守内力作正功，机械能增加非保守内力作正功，机械能增加非保守内力作正功，机械能增加非保守内力作正功，机械能增加得得得得系统机械能的变化系统机械能的变化系统机械能的变化系统机械能的变化 一质量为一质量为一质量为一质量为mm，长度为，长度为，长度为，长度为l l的均质细杆可绕一水平轴自由转动。

开的均质细杆可绕一水平轴自由转动开的均质细杆可绕一水平轴自由转动开的均质细杆可绕一水平轴自由转动开始时杆子处于铅垂状态现有一质量为始时杆子处于铅垂状态现有一质量为始时杆子处于铅垂状态现有一质量为始时杆子处于铅垂状态现有一质量为mm0 0的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v v0 0与细杆在其与细杆在其与细杆在其与细杆在其3 3l l/4/4处发生完全非弹性碰撞且和杆子粘在一起处发生完全非弹性碰撞且和杆子粘在一起处发生完全非弹性碰撞且和杆子粘在一起处发生完全非弹性碰撞且和杆子粘在一起 (1) (1) 碰撞后系统的角速度碰撞后系统的角速度碰撞后系统的角速度碰撞后系统的角速度   ；；；；(2) (2) 碰撞后细杆能上摆的最大角度碰撞后细杆能上摆的最大角度碰撞后细杆能上摆的最大角度碰撞后细杆能上摆的最大角度   0 01)(1)(1)(1)碰撞过程系统的合外力矩为零，系统的角动量守恒碰撞过程系统的合外力矩为零，系统的角动量守恒碰撞过程系统的合外力矩为零，系统的角动量守恒碰撞过程系统的合外力矩为零，系统的角动量守恒例例解解求求而而而而则有则有则有则有(2) (2) 上摆过程机械能守恒，取细杆下端上摆过程机械能守恒，取细杆下端上摆过程机械能守恒，取细杆下端上摆过程机械能守恒，取细杆下端水平面为重力势能零点，则有水平面为重力势能零点，则有水平面为重力势能零点，则有水平面为重力势能零点，则有  如图，在光滑水平面上放一质量为如图，在光滑水平面上放一质量为如图，在光滑水平面上放一质量为如图，在光滑水平面上放一质量为mm、长为、长为、长为、长为l l的均质细棒，细的均质细棒，细的均质细棒，细的均质细棒，细棒可绕中心固定的光滑竖直轴转动，细棒开始静止。

若有一棒可绕中心固定的光滑竖直轴转动，细棒开始静止若有一棒可绕中心固定的光滑竖直轴转动，细棒开始静止若有一棒可绕中心固定的光滑竖直轴转动，细棒开始静止若有一质量为质量为质量为质量为mm0 0 的小球，以垂直于细棒的水平速度的小球，以垂直于细棒的水平速度的小球，以垂直于细棒的水平速度的小球，以垂直于细棒的水平速度v v0 0冲击细棒的一冲击细棒的一冲击细棒的一冲击细棒的一个顶端，设冲击是完全弹性碰撞个顶端，设冲击是完全弹性碰撞个顶端，设冲击是完全弹性碰撞个顶端，设冲击是完全弹性碰撞碰撞后小球的反弹速度碰撞后小球的反弹速度碰撞后小球的反弹速度碰撞后小球的反弹速度v v和细棒的角速度和细棒的角速度和细棒的角速度和细棒的角速度   例例解解求求外力对转轴外力对转轴外力对转轴外力对转轴C C的合外力矩为零，碰的合外力矩为零，碰的合外力矩为零，碰的合外力矩为零，碰撞时系统角动量守恒，有撞时系统角动量守恒，有撞时系统角动量守恒，有撞时系统角动量守恒，有由于碰撞是完全弹性碰撞，系统机由于碰撞是完全弹性碰撞，系统机由于碰撞是完全弹性碰撞，系统机由于碰撞是完全弹性碰撞，系统机械能守恒，则械能守恒，则械能守恒，则械能守恒，则 设子弹与细棒以初速设子弹与细棒以初速v0 0接触相碰时为接触相碰时为起始状态，子弹以速度起始状态，子弹以速度v0 0/4穿出棒时穿出棒时为末状态为末状态（用两种不同的解法）（用两种不同的解法）。

如图，一质量为如图，一质量为m1，长度为，长度为l的均质细棒，可绕过其顶端的的均质细棒，可绕过其顶端的光滑水平轴自由转动质量为光滑水平轴自由转动质量为m2的子弹以水平速度的子弹以水平速度v0 0射入静射入静止的细棒下端，穿出后子弹的速度减小为止的细棒下端，穿出后子弹的速度减小为v0 0/4子弹穿出后棒所获得的角速度子弹穿出后棒所获得的角速度 解解求求例例(1)应用动量定理和角动量定理求解应用动量定理和角动量定理求解设棒对子弹的阻力为设棒对子弹的阻力为F，对子弹应用动量定理，对子弹应用动量定理(1)子弹对细棒的冲击力为子弹对细棒的冲击力为F′, ,对细棒应用角动量定理对细棒应用角动量定理(2)而而 (2)且且 (1)比较式比较式(1)(1)和式和式(3)(3)可得可得则式则式(2)(2)变为变为 (3)(2) 应用系统角动量守恒定律求解应用系统角动量守恒定律求解 取子弹和细棒为一系统在子弹射入棒端并从棒中穿出取子弹和细棒为一系统。

在子弹射入棒端并从棒中穿出的过程中，子弹与细棒之间的作用力为内力，轴承上的作用的过程中，子弹与细棒之间的作用力为内力，轴承上的作用力以及重力均不产生力矩，故系统所受合外力矩为零，系统力以及重力均不产生力矩，故系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒应用系统角动量守恒定律，有角动量守恒应用系统角动量守恒定律，有由此解得由此解得 所以所以 且且 如图，一个质量为如图，一个质量为m1 1，半径为，半径为R 的圆形水平转台可绕通过其的圆形水平转台可绕通过其中心的光滑竖直轴转动质量为中心的光滑竖直轴转动质量为m2 2的人站在转台的边缘，开的人站在转台的边缘，开始时，人和转台都相对于地面静止始时，人和转台都相对于地面静止解解求求例例当人沿转台边缘走完一周时，转台对地面转过的角度当人沿转台边缘走完一周时，转台对地面转过的角度取人和转台作为系统系统所受合外力取人和转台作为系统系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒矩为零，系统角动量守恒人和转台对轴的转动惯量为人和转台对轴的转动惯量为设人和转台对地的角速度分别为设人和转台对地的角速度分别为 和和Ω，则，则 以以  和和Θ分别表示人和转台对地的角坐标，则分别表示人和转台对地的角坐标，则 两边积分，有两边积分，有当人在转台上走动一周时，人对转台走过当人在转台上走动一周时，人对转台走过2 2 ，对地走过，对地走过则得则得下面分三个物理过程进行计算下面分三个物理过程进行计算 如图，一根长为如图，一根长为l, 质量为质量为m1的均质细杆的均质细杆,可绕其一端的水平轴可绕其一端的水平轴O作无摩擦转动。

现将另一端悬挂于一劲度系数为作无摩擦转动现将另一端悬挂于一劲度系数为k的轻弹簧的轻弹簧下端，开始时细杆静止并处于水平状态有一质量为下端，开始时细杆静止并处于水平状态有一质量为m2的小的小球（球（m2<< m1）从距杆）从距杆h高处落到杆的中点，并粘于杆上和它高处落到杆的中点，并粘于杆上和它一起运动设杆旋转微小角度一起运动设杆旋转微小角度  后，角速度就减小到零后，角速度就减小到零此时弹簧的伸长量此时弹簧的伸长量解解求求例例小球未落下时，细杆受重力和小球未落下时，细杆受重力和弹性力处于平衡状态，所受合弹性力处于平衡状态，所受合力矩为零，设此时弹簧的伸长力矩为零，设此时弹簧的伸长量为量为x0，则有，则有(1)(2) 小球和细杆发生完全非弹性碰撞过程，由于系统小球和细杆发生完全非弹性碰撞过程，由于系统（小球（小球和细杆）和细杆）受到的合外力矩为零，则系统角动量守恒设系受到的合外力矩为零，则系统角动量守恒设系统绕轴转动的角速度为统绕轴转动的角速度为  ，则有，则有(3)(2)(1) 小球自高小球自高h处自由下落，到与杆接触的前一瞬间，具有处自由下落，到与杆接触的前一瞬间，具有速率为速率为v，则有，则有(3) 杆与球碰撞后系统的下降过程，共同以角速度杆与球碰撞后系统的下降过程，共同以角速度 转动，具转动，具 有的转动动能为有的转动动能为当转动微小角度当转动微小角度   时，弹簧又伸长了时，弹簧又伸长了 x，，且且(4)根据动能定理，有根据动能定理，有(5)由式由式(1)(1)、、(2)(2)、、(3)(3)、、(4)(4)、、(5)(5)可解得可解得总伸长量为总伸长量为& 应用角动量守恒定律求解刚体力学综合问题的一般思路应用角动量守恒定律求解刚体力学综合问题的一般思路l 需要先分清过程再写方程；需要先分清过程再写方程；l 质点与刚体的碰撞过程满足角动量守恒定律，而不是动量守恒定律；质点与刚体的碰撞过程满足角动量守恒定律，而不是动量守恒定律；l 角动量定理和角动量守恒定律只适用于惯性系。

角动量定理和角动量守恒定律只适用于惯性系质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度质量质量转动惯量转动惯量力力力矩力矩运动规律运动规律转动定律转动定律动量动量动量动量角动量角动量角动量角动量动量定理动量定理角动量定理角动量定理质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动量守恒动量守恒角动量守恒角动量守恒力的功力的功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能动能定理动能定理动能定理动能定理重力势能重力势能重力势能重力势能机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）3.5.3 3.5.3 角动量守恒定律在工程技术上的应用角动量守恒定律在工程技术上的应用角动量守恒定律在工程技术上的应用角动量守恒定律在工程技术上的应用uu 陀螺仪与导航陀螺仪与导航陀螺仪与导航陀螺仪与导航支架支架支架支架S S外环外环外环外环陀螺陀螺陀螺陀螺GG内环内环内环内环l陀螺仪：陀螺仪：能够绕其对称轴高速能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。

旋转的厚重的对称刚体l陀螺仪的特点：陀螺仪的特点：具有轴对称性和具有轴对称性和绕对称轴有较大的转动惯量绕对称轴有较大的转动惯量 l陀螺仪的定向特性：陀螺仪的定向特性：由于不受外由于不受外力矩作用，陀螺角动量的大小和力矩作用，陀螺角动量的大小和方向都保持不变；无论怎样改变方向都保持不变；无论怎样改变框架的方向，都不能使陀螺仪转框架的方向，都不能使陀螺仪转轴在空间的取向发生变化轴在空间的取向发生变化uu 直升机螺旋桨的设置直升机螺旋桨的设置直升机螺旋桨的设置直升机螺旋桨的设置l尾桨的设置：尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋转，产生一个向下的角动量为了不让机身作这样的反向转，产生一个向下的角动量为了不让机身作这样的反向旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用l对转螺旋桨的设置：对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安装了一对转向相反的螺旋桨。

工作时它们转向相反，保持装了一对转向相反的螺旋桨工作时它们转向相反，保持系统的总角动量仍然为零系统的总角动量仍然为零 §3.6§3.6￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿进进进进￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿动动动动主要内容：主要内容：1. 进动现象进动现象2. 进动效应的理论分析进动效应的理论分析3. 进动特性的技术应用进动特性的技术应用uu 进动现象进动现象进动现象进动现象l现象：现象：陀螺仪受到净力矩的作用时，其陀螺仪受到净力矩的作用时，其在绕其对称轴高速转动的同时，横杆也在绕其对称轴高速转动的同时，横杆也会在水平面内绕竖直轴缓慢地转动会在水平面内绕竖直轴缓慢地转动l进动：进动：高速转动物体的自转轴绕另一高速转动物体的自转轴绕另一轴线的旋转运动形式轴线的旋转运动形式 uu 进动效应的理论分析进动效应的理论分析进动效应的理论分析进动效应的理论分析l陀螺仪所受外力矩陀螺仪所受外力矩M与总角动量与总角动量L（近似等于自转角动量）（近似等于自转角动量）垂直，即垂直，即 ，其角动量的增量，其角动量的增量dL的方向与的方向与M方向相同，也即方向相同，也即 ，则，则L的大小保持不变，只是其方向的大小保持不变，只是其方向发生变化。

发生变化设设dt时间内与该自转轴相应的角位移为时间内与该自转轴相应的角位移为d  l 进动规律的定量描述进动规律的定量描述由角动量定理，有由角动量定理，有角动量增量的大小为角动量增量的大小为则则比较式比较式(1)(1)和式和式(2)(2)，得，得 (1) (2) 而进动角速度而进动角速度 l炮弹飞行姿态的控制：炮弹飞行姿态的控制：炮弹在飞行时，空气阻力对炮弹质心的力矩会使炮弹在飞行时，空气阻力对炮弹质心的力矩会使炮弹在空中翻转；若在炮筒内壁上刻出了螺旋线（称之为来复线），当炮弹在空中翻转；若在炮筒内壁上刻出了螺旋线（称之为来复线），当炮弹由于发射药的爆炸所产生的强大推力推出炮筒时，炮弹还同时绕自炮弹由于发射药的爆炸所产生的强大推力推出炮筒时，炮弹还同时绕自己的对称轴高速旋转由于这种自转作用，它在飞行过程中受到的空气己的对称轴高速旋转由于这种自转作用，它在飞行过程中受到的空气阻力将不能使它翻转，而只能使它绕着质心前进的方向进动阻力将不能使它翻转，而只能使它绕着质心前进的方向进动uu 进动特性的技术应用进动特性的技术应用进动特性的技术应用进动特性的技术应用l进动效应的有害作用：进动效应的有害作用：高速旋转的物体，其自转轴方向的变化与进动高速旋转的物体，其自转轴方向的变化与进动效应是相伴随的。

效应是相伴随的l原子中电子的进动：原子中电子的进动：电子同时参与绕核的运动和它本身的自旋电子同时参与绕核的运动和它本身的自旋翻转翻转外力外力外力外力进动进动1.1.1.1.刚体绕定轴转动运动学描述刚体绕定轴转动运动学描述刚体绕定轴转动运动学描述刚体绕定轴转动运动学描述(1) (1) 角坐标角坐标角坐标角坐标   (2) (2) 角速度角速度角速度角速度   (3) (3) 角加速度角加速度角加速度角加速度   本章小结本章小结 (4) (4) 线量和角量的关系线量和角量的关系线量和角量的关系线量和角量的关系(5) (5) 匀变速定轴转动匀变速定轴转动匀变速定轴转动匀变速定轴转动 2. 2. 刚体绕定轴转动的转动惯量刚体绕定轴转动的转动惯量刚体绕定轴转动的转动惯量刚体绕定轴转动的转动惯量------------刚体转动惯性的量度刚体转动惯性的量度刚体转动惯性的量度刚体转动惯性的量度(1) (1) 转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量或或或或(2) (2) 平行轴定理平行轴定理平行轴定理平行轴定理 3. 3. 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律4. 4. 刚体绕定轴转动的功和能刚体绕定轴转动的功和能刚体绕定轴转动的功和能刚体绕定轴转动的功和能(1) (1) 刚体转动动能刚体转动动能刚体转动动能刚体转动动能(2) (2) 力矩的功力矩的功力矩的功力矩的功(3) (3) 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理(4) (4) 刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能(5) (5) 机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律当当当当 时，时，时，时， 常量常量常量常量5. 5. 刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量(1) (1) 刚体的角动量刚体的角动量刚体的角动量刚体的角动量(2) (2) 刚体的角动量定理刚体的角动量定理刚体的角动量定理刚体的角动量定理(3) (3) 角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律当当当当 时，时，时，时，常量常量常量常量(4) (4) 刚体进动的角速度公式刚体进动的角速度公式刚体进动的角速度公式刚体进动的角速度公式三峡左岸电站三峡左岸电站14#14#水轮发电机组转子水轮发电机组转子 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！。