工程力学4空间任意力系.ppt

1 1工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的 力系a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；(b)图中去了风力为空间平行力系迎 面 风 力侧 面 风 力b2 2第五章 空间力系§5–1 空间汇交力系§5–2 空间力偶系§5–3 力对点的矩与力对轴的矩§5–4 空间一般力系向一点的简化 §5–5 空间一般力系简化结果的讨论§5–6 空间一般力系的平衡方程及应用习题课 3 3一、力在空间轴上的投影与分解： 1.力在空间的表示： 力的三要素： 大小、方向、作用点(线) 大小： 作用点：在物体上的着力点 方向：由、、g三个方向角确定 由仰角 与俯角 来确定g FxyO§5-1 空间汇交力系4 42、一次投影法(直接投影法)由图可知：3、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易确 定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上，即5 54、力沿坐标轴分解：若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则： 而：所以：FxFyFz6 61、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。

即：合力等于各分力的矢量和2、解析法：由于 代入上式合力由 为合力在x轴的投影，∴ 二、空间汇交力系的合成：7 73、合力投影定理：空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和8 8三、空间汇交力系的平衡：称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程∴解析法平衡充要条件为：∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭空间汇交力系平衡的充要条件是： 力系的合力为零，即：9 9§5-2 空间力偶系由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力 偶的作用面，所以空间力偶矩必须用矢量表示一、力偶矩用矢量表示：力偶的转向为右手螺旋定 则从力偶矢末端看去， 逆时针转动为正空间力 偶是一个自由矢量1010[证] ①作II//Ⅰ，cd // ab②作一对平衡力R, R' (在E点,且使-R=R')③由反向平行力合成得：F1与R合成得F2，作用在d点F1'与R'合成得F2'，作用在c点且R-F1=F2 ，R'- F1'= F2' ④在I内的力偶（F1，F1‘）等效变成II内的(F2， F2‘) 二、空间力偶的等效定理作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。

1111由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要 素： ①力偶矩的大小=②力偶矩的方向—与力偶作用面法线方向相同③转向——遵循右手螺旋规则三、空间力偶系的合成与平衡由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于 是矢量，它的合成符合矢量运算法则合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和1212投影式为：显然空间力偶系的平衡条件是：1313在平面中：力对点的矩是代数量在空间中：力对 点的矩是矢量 [例] 汽车反镜的球铰链§5-3 力对点的矩与力对轴的矩一、力对点的矩的矢量表示如果r 表示A点的矢径，则：1414即：力对点的矩等于矩心到 该力作用点的矢径与该力的 矢量积两矢量夹角为O1515定义：它是代数量，方向规定 + –二、力对轴的矩结论：力对//它的轴 的矩为零即力F与轴共面时，力对轴 之矩为零[证]1616力对//它的轴的矩为零即力F与轴共面时，力对轴之矩为零1717即：三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系 [证]通过O点作任一轴Z，则：由几何关系：所以：1818定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。

这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系 又由于所以力对点O的矩为：1919把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间 一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空 间坐标系 §5-4 空间一般力系向一点简化设作用在刚体上有 空间一般力系向O点简化（O点任选）2020①根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空间汇交力系： 和附加力偶系[注意] 分别是各力对O点的矩②由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点2121③合成 得主矢即（主矢 过简化中心O，且与O点的选择无关）合成 得主矩即： （主矩 与简化中心O有关）2222若取简化中心O点为坐标原点，则：主矢大小主矢方向根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:则主矩大小为：主矩方向：2323空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下 面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论§5-5 空间一般力系简化结果的讨论1、若 , 则该力系平衡(下节专门讨论)2、若 则力系可合成一个合力偶，其矩等 于原力系对于简化中心的主矩MO。

此时主矩与简化中心的位置无关）3、若 则力系可合成为一个合力 ，主 矢 等于原力系合力矢 ，合力通过简化中心O点此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩 不为零）24244、若 此时分两种情况讨论即： ① ②由于做①若时可进一步简化，将MO变成( R'',R)使R'与R''抵消 只剩下R2525②若 时，——为力螺旋的情形（新概念，又 移动又转动） [例] ①拧螺丝 ②炮弹出膛时炮弹螺线③R′不平行也不垂直M0，最一般的成任意角在此种情况下 首先把MO 分解为M//和M 将M//和M 分别按①、②处理2626M 使主矢R'搬家，搬家的矩离：所以在O'点处形成一个力螺旋因为M// 是自由矢量，可将M//搬到O'处M//不变，2727[注意] 力系简化中的不变量（不随简化中心改变）有：R′ ， M// 当简化中心为O时：为M，当简化中心为O′时，为 M′，但M//总是不变的(它是原力系中的力偶,与简化中心无关)2828空间力系向O点简化后得主矢R'和主矩MO , 若 MOR'，可进一步合成为一个作用在新简化中心O' 点的合力R 。

空间力系的合力矩定理：2929一、空间任意力系的平衡充要条件是：所以空间任意力系的平衡方程为：还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件§5-6 空间一般力系的平衡方程及应用3030空间汇交力系的平衡方程为： 因为各力线都汇交于一点，各轴都通过 该点，故各力矩方程都成为了恒等式空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴因为均成为了恒等式31311、球形铰链二、空间约束观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍 ，有阻碍就有约束反力阻碍移动为反力，阻碍转 动为反力偶[例]3232球形铰链33332、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承34343、滑动轴承 35354、止推轴承 36365、带有销子的夹板37376、空间固定端3838一、概念及内容：1、空间力偶及空间力对点之矩是矢量，2、空间力对轴之矩和平面力偶、平面力对点之矩是代数量3、空间力系合力投影定理：4、空间力系的合力矩定理：5、空间力对点之矩与对轴之矩的关系：第五章 《空间力系》习题课3939二、基本方程1、空间力系的平衡方程空间一般力系空间汇交力系空间力偶系空间∥x轴力系空间∥xoy 面的力系四矩式、五矩式和六 矩式的附加条件均为 使方程式独立。

4040三、解题步骤、技巧与注意问题：1、解题步骤：①选研究对象(与平面的相同)②画受力图 ③选坐标、列方程 ④解方程、求出未知数 2、空间力系的几个问题： ①x , y, z (三个取矩轴和三个投影轴可以不重合)可以任选的六个轴 ②取矩方程不能少于三个（MO是矢量） ③空间力系独立方程六个（空间物体六个自由度）平面三个自由度41412、解题技巧： ①用取矩轴代替投影轴，解题常常方便 ②投影轴尽量选在与未知力，力矩轴选在与未知力平行或相交 ③一般从整体—>局部的研究方法3、注意问题： ①力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现） ②空间力偶是矢量，平面力偶是代数量4242[例1] 已知:P=2000N, C点在Oxy平面内求：力P对三个坐标轴的矩解： ①选研究对象；②画受力图；③选坐标列方程43434444[例2] 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求:绳BE、 BF的拉力和杆AB的内力解：分别研究C点和B点， 作受力图由C点：4545由B点：4646此题训练：①力偶不出现在投影式中②力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，类 似力在投影式中投影③力争一个方程求一个支反力④了解空间支座反力[例3] 曲杆ABCD, ∠ABC=∠BCD=900, AB=a, BC=b,CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?4747解：4848[例4] 已知：AB杆， AD，CB为绳，A、C 在同一垂线上，AB 重80N，A、B光滑接 触，∠ABC=∠BCE =600，且AD水平， AC铅直。

求平衡时 ，TA，TB及支座A、 B的反力解：思路：要巧选投影轴和取矩轴，使一个方程 解出一个未知数494950505151[例] 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N求：平衡时(匀速转动)力Q=？(Q力作用 在C轮的最低点）和轴承A , B的约束反力？解：①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程最好使每一个方程有一个未知数，方便求解525253535454方法(二) ：将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己 练习求解55555656。