变速问题(带答案).doc

变速问题教学目的1、 可以运用此前学习的知识理清变速变道问题的核心点2、 可以运用线段图、算术、方程措施解决变速变道等综合行程题3、 变速变道问题的核心是如何解决“变”知识精讲变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段解决等多种解决问题等解题措施对于这种分段变速问题，运用算术措施、折线图法和方程措施解题各有特点算术措施对于运动过程的把握非常细致,但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于拟定;方程的长处在于无需考虑得非常仔细，只需要懂得变速点就可以列出等量关系式,把大量的推理过程转化成了计算．行程问题常用的解题措施有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种措施看似简朴,其实也有诸多技巧,使用公式不仅涉及公式的原形,也涉及公式的多种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉,可以推知需要的条件;⑵图示法在某些复杂的行程问题中，为了明确过程,常用示意图作为辅助工具．示意图涉及线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点.此外在多次相遇、追及问题中,画图分析往往也是最有效的解题措施;⑶比例法行程问题中有诸多比例关系,在只懂得和差、比例时，用比例法可求得具体数值.更重要的是，在某些较复杂的题目中，有些条件（如路程、速度、时间等)往往是不拟定的,在没有具体数值的状况下,只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中,公式不能直接合用.这时一般把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的措施去分析，然后再把成果结合起来；⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.模块一、变速问题【例 1】 小红和小强同步从家里出发相向而行。

小红每分走 52 米，小强每分走 7０ 米，二人在途中的　A 处相遇若小红提前　4 分出发，且速度不变，小强每分走　9０ 米,则两人仍在　A 处相遇小红和小强两人的家相距多少米？ 【解析】 由于小红的速度不变，相遇的地点不变，因此小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第二次走的时间比第一次少 ４　分钟7０×4)÷(９0-70)=1４　分钟　可知小强第二次走了　14分钟,她第一次走了 1４＋４＝18 分钟; 两人家的距离：（52+７０）×18＝2196(米）　.【例 2】 甲、乙两人沿 4０0　米环形跑道练习跑步,两人同步从跑道的同一地点向相反方向跑去相遇后甲比本来速度增长 2 米/秒，乙比本来速度减少 ２ 米／秒，成果都用 24　秒同步回到原地求甲本来的速度解析】 由于相遇前后甲，乙的速度和没有变化，如果相遇后两人和跑一圈用　24 秒，则相遇前两人和跑一圈也用　24 秒以甲为研究对象，甲以原速Ｖ 跑了 24 秒的路程与以（Ｖ +2 )跑了 24 秒的路程之和等于 400米，２４V　+2４(Ｖ +２ ）=400 易得V ＝ 米／秒 【例 3】 (日本小学算术奥林匹克大赛)上午点整,甲从地出发匀速去地，点分甲与从地出发匀速去地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到本来的倍,乙速度不变;点分，甲,乙两人同步达到各自的目的地.那么,乙从地出发时是点　　 　 分.【解析】 点分相遇,此时甲距离地的距离是甲走了分钟的路程,点分时乙达到目的地，阐明乙走这段路程花了分钟,因此乙的速度是甲速度的两倍，当甲把速度提高到原速的倍时，此时甲的速度是乙速度的倍，甲从相遇点走到点花了分钟,因此乙原先花了(分钟)，因此乙是点分出发的．【例 4】 (难度级别　※※※）A、 Ｂ 两地相距 ７200 米，甲、乙分别从 Ａ，　Ｂ 两地同步出发，成果在距 B　地 ２40０ 米处相遇．如果乙的速度提高到本来的 3倍，那么两人可提前1０分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？【解析】 第一种状况中相遇时乙走了 24０0 米，根据时间一定，速度比等于路程之比,最初甲、乙的速度比为 (720０ －24００) ： ２４00 =２ ：1,因此第一状况中相遇时甲走了全程的2/3.乙的速度提高　３倍后,两人速度比为 2　：　3,根据时间一定,路程比等于速度之比，因此第二种状况中相遇时甲走了全程的.两种状况相比,甲的速度没有变化,只是第二种状况比第一种状况少走 1０ 分钟，因此甲的速度为 (米/分）.【例 5】 （难度级别　※※※)甲、乙两车分别从 Ａ, B 两地同步出发相向而行,６　小时后相遇在 Ｃ 点．如果甲车速度不变,乙车每小时多行 5 千米,且两车还从 A， B　两地同步出发相向而行,则相遇地点距 C 点　12 千米;如果乙车速度不变,甲车速度每小时多行 ５ 千米，则相遇地点距　C 点　16 千米.甲车本来每小时行多少千米?【解析】 设乙增长速度后，两车在 D 处相遇,所用时间为 Ｔ 小时。

甲增长速度后，两车在 E 处相遇由于这两种状况,两车的速度和相似，因此所用时间也相似于是,甲、乙不增长速度时,经 T 小时分别达到 Ｄ、EＤＥ＝1２+16=28(千米）由于甲或乙增长速度每小时　5 千米，两车在　D 或　E 相遇,因此用每小时 5　千米的速度,Ｔ 小时 走过　28 千米,从而 Ｔ=２８÷5＝小时，甲用 ６－＝（小时),走过 12 千米,因此甲本来每小时行 １2÷＝３０(千米） 【巩固】 (难度级别 ※※※)甲、乙二人分别从　A、Ｂ 两地同步出发相向而行,5 小时后相遇在 C 点如果甲速度不变，乙每小时多行 ４　千米,且甲、乙还从 A、B 两地同步出发相向而行，则相遇点 D 距　Ｃ 点 lO 千米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米,且甲、乙还从 A、B 两地同步出发相向而行,则相遇点 E距　C　点 5 千米问：甲本来的速度是每小时多少千米？ 【解析】 当乙每小时多行 4 千米时，5 小时可以多行　20 千米,因此当两人相遇后继续向前走到 5 小时，甲可以走到 Ｃ 点,乙可以走到 C　点前面 ２０ 千米而相遇点　D 距 C　点 lO 千米,因此两人各走了 1０ 千米,因此甲乙二人此时速度相等,即本来甲比乙每小时多行 ４　千米。

同理可得,甲每小时多行 3　千米时,乙走　5 千米的时间甲可以走 10 千米,即甲的速度是乙的 2 倍 (4+3）÷(2-1）+4＝11(千米／小时)，因此甲本来的速度是每小时 11　千米　【例 6】 A、 B 两地间有一座桥（桥的长度忽视不计)，甲、乙二人分别从两地同步出发,3　小时后在桥上相遇.如果甲加迅速度，每小时多走 2 千米,而乙提前　0.5　小时出发，则仍能恰在桥上相遇．如果甲延迟 0.５ 小时出发，乙每小时少走 2 千米,还会在桥上相遇．则 A、　B 两地相距多少千米?【解析】 由于每次相遇的地点都在桥上，因此在这三种状况中，甲每次走的路程都是同样的,同样乙每次走的路程也是同样的．在第二种状况中,乙速度不变,因此乙到桥上的时间还是 3 小时，她提前了　0.5 小时,那么甲到桥上的时间是 3 -0.５ =２.5小时.甲每小时多走 2 千米，2.5小时就多走 ２ ×2.5= ５千米，这 5 千米就是甲本来 3-　２.5 =0.5小时走的，因此甲的速度是 5 ÷0.５=　10千米/时.在第三种状况中,甲速度不变,因此甲到桥上的时间还是 3　小时，她延迟了 ０.5 小时，那么乙到桥上的时间是 3+ ０.５ =3.5小时．乙每小时少走 2 千米，3.5小时就少走 2 ×3.5 =7千米，这　7 千米就是甲本来　3.5 －3＝ 0.5小时走的，因此乙的速度就是 7　÷０.5 =１4千米／时．因此 A、 Ｂ 两地的距离为 (1０　＋14) ×３ =72千米.【例 7】 一列火车出发 1 小时后因故停车 ０.5 小时，然后以原速的3／4迈进,最后达到目的地晚１.５ 小时．若出发　1　小时后又迈进 90 公里再因故停车 0.5　小时，然后同样以原速的3/4迈进，则达到目的地仅晚１ 小时,那么整个路程为多少公里?【解析】 出发 1 小时后因故停车 0.5 小时,然后以原速的迈进，最后达到目的地晚1.5 小时,所后来面以原速的迈进的时间比原定期间多用小时，而速度为本来的，所用时间为本来的，所后来面的一段路程原定期间为小时,原定全程为 ４ 小时；出发 １　小时后又迈进 90 公里再因故停车 0.5 小时,然后同样以原速的迈进，则达到目的地仅晚１　小时,类似分析可知又迈进 ９0 公里后的那段路程原定期间为小时．因此原速度行驶　９0 公里需要1．5　小时，而原定全程为 ４ 小时,因此整个路程为 公里．【例 8】 王叔叔开车从北京到上海,从开始出发，车速即比原筹划的速度提高了１/９，成果提前一种半小时达到;返回时，按原筹划的速度行驶 28０　千米后,将车速提高1/6，于是提前1　小时 40　分达到北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？【解析】 从开始出发，车速即比原筹划的速度提高了1／9,即车速为原筹划的10/９，则所用时间为原筹划的1÷１0/9=９/１0，即比原筹划少用1／10的时间，因此一种半小时等于原筹划时间的1／10,原筹划时间为:1.5÷1/10=１５(小时);按原筹划的速度行驶　2８0 千米后，将车速提高１／６，即此后车速为本来的７/6，则此后所用时间为原筹划的１÷7/６=６/7,即此后比原筹划少用１／７的时间，因此1 小时 40 分等于按原筹划的速度行驶　28０ 千米后余下时间的1／7,则按原筹划的速度行驶 ２8０ 千米后余下的时间为：5／3÷1/７=35/3(小时），因此，原筹划的速度为：84（千米／时)，北京、上海两市间的路程为：84 ×15＝ １２60(千米).【例 9】 上午　8　点整，甲从　A地出发匀速去 B 地,8 点　20　分甲与从 Ｂ 地出发匀速去　A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到本来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同步达到各自的目的地.那么，乙从 B 地出发时是 ８ 点几分．【解析】 　甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到本来的 3 倍,又走了 １０ 分钟达到目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么背面的路甲需要走10× ３=　30分钟,所此前后两段路程的比为 20　: ３0 =2　: ３，由于甲走　2０ 分钟的路程乙要走　1０ 分钟，因此甲走 30 分钟的路程乙要走 １5　分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟,因此乙从 B 地出发时是 ８　点5 分．【例 10】 （难度级别 ※※)甲、乙两人同步从山脚开始爬山,达到山顶后就立即下山，她们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍,并且甲比乙速度快。

两人出发后　1 小时,甲与乙在离山顶 ６00 米处相遇，当乙达到山顶时，甲正好到半山腰那么甲回到出发点共用多少小时？ 【解析】 甲如果用下山速度上山,乙达到山顶时,甲走过的路程应当是一种单程的 １×1.5+1/２=2　倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍 两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路,这段下山路乙上山用了 1 小时,因此甲下山要用1/2 小时 甲一共走了　1＋1/2=1．5(小时） 【例 11】 小华以每小时８/3千米的速度登山,走到途中　A点后，她将速度改为每小时 ２千米,在接下来的1小时中,她走到山顶，又立即下山,并走到 A点上方　5０0米的地方.如果她下山的速度是每小时　4千米,下山比上山少用了 52.5分钟.那么,她来回共走了多少千米？【解析】 11千米【例 12】 （难度级别　※※※※)甲、乙两车从 A、 B　两地同步出发相向而行，5　小时相遇；如果乙车提前 1 小时出发,则差 １3千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前 1 小时出发,则过中点 37 。