二次函数图象与性质（3）y=a(x-h)2.ppt

y=axy=ax2 2+ +k k可可由由 y=ax y=ax2 2的图像的图像上下上下平移平移而而得到得到当当k k>0>0 时，向时，向上上平移平移k k个单位个单位; ;当当k k<0<0 时，向时，向下下平移平移︱︱k k︱︱个单位 上一节我们从探索y=3x²的图像出发，研究了y=ax²及y=ax²+k的图像和性质.问题1函数y=ax²+k和函数和函数y=ax²的图像有什么联系？的图像有什么联系？都是抛物线且开口方向及大小完全相同，只是图像位都是抛物线且开口方向及大小完全相同，只是图像位置不同置不同y=ax²+k的图象的图象可以由可以由y=ax²的图象沿对称轴平的图象沿对称轴平移得到函数关系式函数关系式图像图像开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y=ax2 y=ax2+k抛物线抛物线a>0a>0向上向上a<0a<0向下向下y y轴轴（（0 0，，0 0））抛物线抛物线a>0a>0向上向上a<0a<0向下向下y y轴轴（（0 0，，k k）） 问题2 函数y=ax²+k和函数和函数y=ax²的图像有什么性质？的图像有什么性质？ 函数关系式函数关系式最值最值y=ax²y=ax²+k当当x=0时，时，y最小最小=0a>0a<0当当x=0时，时，y最大最大=0a>0当当x=0时，时，y最小最小=ka<0当当x=0时，时，y最大最大=k函数关系式函数关系式增减性增减性y=ax²y=ax²+ka>0当当x<0时，时， y随着随着x的增大而减小。

的增大而减小当当x>0时，时， y随着随着x的增大而增大的增大而增大a<0当当x<0时，时， y随着随着x的增大而增大的增大而增大 当当x>0时，时， y随着随着x的增大而减小的增大而减小a>0当当x<0时，时， y随着随着x的增大而减小的增大而减小当当x>0时，时， y随着随着x的增大而增大的增大而增大 a<0 当当x<0时，时， y随着随着x的增大而增大的增大而增大 当当x>0时，时， y随着随着x的增大而减小的增大而减小 画出二次函数画出二次函数 , , 、、 的图像的图像, ,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点: :x x……-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3……解解: :先列表先列表描点描点1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10-2-2……0 0 -0.5-0.5 -2-2-0.5-0.5-8-8……-4.5-4.5-8-8……-2-2-0.5-0.5 0 0-4.5-4.5-2-2……-0.5-0.5可以看出可以看出, ,抛物线的开口向下抛物线的开口向下, ,对对称轴是经过点称轴是经过点( (－－1,0)1,0)且且与与x x轴垂直的直线轴垂直的直线, ,我们把它我们把它记为记为x=x=－－1,1,顶点是顶点是( (－－1,0);1,0);抛物线抛物线 呢呢? x=x=－－1 1观察观察、、讨论：函数讨论：函数 , 和和 的图象的的图象的性性质质.函数函数像图像图开口开口方向方向顶点坐顶点坐标标对称对称轴轴y随随x变化规律变化规律最值最值抛物线抛物线抛物线抛物线抛物线抛物线向下向下向下向下向下向下（0，0）（1，0）（-1，0）直线直线x=o直线直线x=1直线直线x=-1以直线以直线x=o为界限线为界限线以直线以直线x=1为界限线为界限线以直线以直线x=-1为界限线为界限线X=0时时最大值最大值为为0X=1时时最大值最大值为为0X=-1时最大时最大值为值为0抛物线抛物线 与抛物线与抛物线 、、 位置和形状有什么关系位置和形状有什么关系? ? 1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10可以发现可以发现, ,抛物线抛物线 向左平移向左平移1 1个单位个单位, ,就得到就得到抛物线抛物线; ;向向左左平移平移1 1个单位个单位 把抛物线把抛物线 向右平移向右平移1 1个单位个单位, ,就得到抛物就得到抛物 线线 . .向向右右平移平移1 1个单位个单位即即: :顶点顶点(0,0)(0,0)顶点顶点(2,0)(2,0)直线直线x=x=－－2 2直线直线x=2x=2向向右右平移平移2 2个单位个单位向向左左平移平移2 2个单位个单位顶点顶点( (－－2,0)2,0)对称轴对称轴:y:y轴轴即直线即直线: x=0: x=0在同一坐标系中作出下列二次函数在同一坐标系中作出下列二次函数: :观察三条抛物线的观察三条抛物线的相互关系相互关系, ,并分别指并分别指出它们的开口方向出它们的开口方向, ,对称轴及顶点对称轴及顶点. .向向右右平移平移2 2个单位个单位向向右右平移平移2 2个单位个单位向向左左平移平移2 2个单位个单位向向左左平移平移2 2个单位个单位二次函数二次函数y=a(x-h)2的性质的性质抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴开口方向开口方向y随随x变化规律变化规律最值最值y=a(x-h)2 (a>0)y=a(x-h)2 (a<0)（（h，，0））（（h，，0））直线直线x=h直线直线x=h向上向上向下向下当当x=h时时,最小值为最小值为0.当当x=h时时,最大值为最大值为0.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大的增大而减小而减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随随着着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大的增大而增大而增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随随着着x的增大而减小的增大而减小. 越小越小,开口越大开口越大. 越大越大,开口越小开口越小.开口大小开口大小对于二次函数对于二次函数 请回答下列问题请回答下列问题:1.1.把函数把函数 的图象作怎样的平移变换得的图象作怎样的平移变换得 到函数到函数 的图象的图象. .2.2.说出函数说出函数 的图象的顶点坐标和对称轴的图象的顶点坐标和对称轴. . 并说明并说明x x取何值时，函数取最大值？取何值时，函数取最大值？顶点是顶点是(6,0),(6,0),向向右右平移平移6 6个单位个单位抛物线抛物线 对称轴是直线对称轴是直线x=6.x=6.当当x=6x=6时时, ,函数函数y y有最大值有最大值,y,y最大最大=0 .=0 .练习4、填表二次函数二次函数开口开口方向方向对称轴对称轴顶点顶点坐标坐标增减增减 性、极值性、极值函数函数y=3(x-1)²+1的图像有什么特点的图像有什么特点 ？？函数函数y=-3(x+1)²+1的图像呢？的图像呢？图像是图像是抛物线抛物线顶点是顶点是（（1.1））对称轴对称轴直线直线x=1开口方向开口方向向上向上理由是y=3(x-1)²+1的图像可以看成是的图像可以看成是y=3(x-1)²平移得到的平移得到的二次函数二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的图象和性质的图象和性质１１. .顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴２２. .位置与开口方向位置与开口方向３３. .增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（（h h，，k k））（（h h，，k k））直线直线x=hx=h直线直线x=hx=h由由h h和和k k的符号确定的符号确定由由h h和和k k的符号确定的符号确定向上向上向下向下当当x=hx=h时时, ,最小值为最小值为k.k.当当x=hx=h时时, ,最大值为最大值为k.k.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 根据图形填表：根据图形填表：w1.2. 二次函数二次函数y=a(x-h)²+k与与y=ax²的关系的关系w(2)都是轴对称图形都是轴对称图形. w(3)都有最都有最(大或小大或小)值值.w(4)a>0时时, 开口向上开口向上,在对称轴左侧在对称轴左侧,y都随都随x的增大而减小的增大而减小,在对称在对称轴右侧轴右侧,y都随都随 x的增大而增大的增大而增大. a<0时时,开口向下开口向下,在对称轴左侧在对称轴左侧,y都都随随x的增大而增大的增大而增大,在对称轴右侧在对称轴右侧,y都随都随 x的增大而减小的增大而减小 . (2)对称轴不同对称轴不同:分别是直线分别是直线x= -h和和y轴轴. 3.联系联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以的图象可以由由y=ax²的图象的图象平移得到。

平移得到1)形状相同形状相同(图像都是抛物线图像都是抛物线,开口方向相同开口方向相同). 只是位置不同只是位置不同(1)顶点不同顶点不同:分别是分别是(-h,k)和和(0,0). (3)最值不同最值不同:分别是分别是k和和0.x轴轴|h|对称轴对称轴先先 沿沿 整体整体向向左左(右右)平移平移 个单位个单位(当当h>0时时,向右平移向右平移;当当h<0时时,向左平移向左平移),再沿再沿 整体上整体上(下下)平移平移|k|个单位个单位 (当当k>0时时向上平移向上平移;当当k<0时时,向下平移向下平移)得到的得到的.w⑴⑴完成下表完成下表x-3-2-101234 　　　　　　　272712123 30 03 312122727 　　　　　　　272712123 30 03 312122727 272712123 30 03 312122727问题问题 函数函数y=a(x-h)²的图像是什么的图像是什么?它与它与y=ax²的图像有什么关系？的图像有什么关系？我们从探索我们从探索y=3(x-1)²与与y=3x²的关系开始的关系开始。

w比较比较y=3x²和和y=3(x-1)²的值的值,它们之间有什么关系它们之间有什么关系? y=3(x-1)²的值比的值比y=3x²的值落后的值落后问题问题 函数y=a(x-h)²的图像是什么?它与y=ax²的图像有什么关系？我们从探索我们从探索y=3(x-1)²与与y=3x²的关系开始的关系开始在下列平面直角坐标系中，做出在下列平面直角坐标系中，做出y=（（3x-1））²的图像的图像 x-2-10123y=3x²1230312y=3(x-1)²1230312观察图象,回答问题( (2 2) )函函 数数 y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的的图图象象与与y=3xy=3x2 2的的图图象象有有什么关系什么关系? ?问题问题 函数y=a(x-h)²的图像是什么?它与y=ax²的图像有什么关系？我们从探索我们从探索y=3(x-1)²与与y=3x²的关系开始的关系开始把把y=3x²的图像沿轴向右平移的图像沿轴向右平移1个单位就得到个单位就得到y=3(x-1)²的图像的图像图象是轴对称图形图象是轴对称图形对称轴是平行于对称轴是平行于y轴的直线轴的直线:x=1.顶点坐标顶点坐标是点是点(1,0).二次函数二次函数y=y=3(x-1)3(x-1)2 2与与y=3x2的图象形状的图象形状相同相同,可以看作是抛可以看作是抛物线物线y=3x2整体沿整体沿x轴轴向右平移了向右平移了1 个单位个单位(3)(3)函函数数y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的的图图象象与与y=3xy=3x2 2的的图图象象有有什什么关系么关系? ?它的对称轴和顶点坐标分别是什么它的对称轴和顶点坐标分别是什么? ? 二次项系数相同二次项系数相同a>0,开口都向上开口都向上.在对称轴在对称轴(直线直线:x=1)左侧左侧(即即x<1时时),函数函数y=3(x-1)2的值随的值随x的增大而减少的增大而减少,.顶点是最低点顶点是最低点,函数函数有最小值有最小值.当当x=1时时,最小值是最小值是0..二次函数二次函数y=y=3(x-1)3(x-1)2 2与与y=3x2的增减性类似的增减性类似.在对称轴在对称轴(直线直线:x=1)左侧左侧(即即x>1时时),函数函数y=3(x-1)2的值随的值随x的增大而增大的增大而增大,.(3)(3)函函数数y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的的图图象象与与y=3xy=3x2 2的的图图象象的的对对称称轴轴和顶点坐标分别是什么和顶点坐标分别是什么? ? w猜猜一一猜猜,在同一坐标系中作二次函数在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象的图象,会在什么位置会在什么位置? 函数函数图像图像开口开口方向方向顶点坐顶点坐标标对称轴对称轴y随随x变化规律变化规律y=3xy=3x2 2抛物线抛物线向上向上（（0，，0））直线直线x=0以直线以直线x=0为界线为界线y=3(xy=3(x- -1)1)2 2抛物线抛物线向上向上（（1，，0））直线直线x=1以直线以直线x=1为界线为界线二次函数二次函数y=3(x+1)²的的值随自变量变化有什么规律？值随自变量变化有什么规律？w列表看一看列表看一看 x-4-3-2-1012342712303122727123031227 123031227 2712 30312 27 y=3(x-1)²的值比的值比y=3x²的值落后，的值落后，y=3(x+1)²的值比的值比y=3x²的值提前。

的值提前画图看一看画图看一看把把y=3x²的图像沿轴向右平移的图像沿轴向右平移1个单位就得到个单位就得到y=3(x-1)²的图像的图像把把y=3x²的图像沿轴向左平移的图像沿轴向左平移1个单位就得到个单位就得到y=3(x+1)²的图像的图像图象是轴对称图形图象是轴对称图形.对称轴是平行于对称轴是平行于y轴的直线轴的直线:x= -1.顶点坐标顶点坐标是点是点(-1,0).二次函数二次函数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2与与y=3x2的图象形状的图象形状相同相同,可以看作是抛可以看作是抛物线物线y=3x2整体沿整体沿x轴轴向左平移了向左平移了1 个单位个单位.二次项系数相同二次项系数相同a>0,开口都向上开口都向上.w想一想想一想, ,二次函数二次函数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的图象的增减性会怎样的图象的增减性会怎样? ?在对称轴在对称轴(直线直线:x=-1)左侧左侧(即即x<-1时时),函数函数y=3(x+1)2的值随的值随x的增大而减少的增大而减少,.顶点是最低点顶点是最低点,函数函数有最小值有最小值.当当x=-1时时,最小值是最小值是0..二次函数二次函数y=y=3(x+1)3(x+1)2 2与与y=3x2的增减性类似的增减性类似.在对称轴在对称轴(直线直线:x=-1)右侧右侧(即即x>-1时时),函数函数y=3(x+1)2的值随的值随x的增大而增大的增大而增大,.结束寄语•读书要从薄到厚读书要从薄到厚, ,再从厚到薄再从厚到薄. .下课了!。