【学而思 高中数学讲义】直线与圆锥曲线.板块二.直线与双曲线.学生版.doc

学而思高中数学讲义】板块二.直线与双曲线1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程：①，焦点是，，且．②，焦点是，，且．3．椭圆的几何性质（用标准方程研究）：⑴范围：，；⑵对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段．⑸椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于，椭圆越扁；反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆．4．直线：与圆锥曲线：的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线：，圆锥曲线：，由消去（或消去）得：．若，，相交；相离；相切．若，得到一个一次方程：①为双曲线，则与双曲线的渐近线平行；②为抛物线，则与抛物线的对称轴平行．因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为．两根差公式：如果满足一元二次方程：，则（）．6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．典例分析【例1】 若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则的取值范围是_______【例2】 过双曲线的右焦点直线交双曲线于、两点，若，则这样的直线有_____条 【例3】 过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______【例4】 直线与双曲线相交于两点、，则=_________．【例5】 若直线与双曲线没有公共点，求的取值范围．【例6】 若直线与双曲线有且只有一个公共点，求的的值．【例7】 若直线与双曲线有两个相异公共点，求的取值范围．【例8】 直线与双曲线的一支有两个相异公共点，求的取值范围．【例9】 若直线与双曲线的两支各有一个公共点，求的取值范围．【例10】 若直线与双曲线的右支有两个相异公共点，求的取值范围．【例11】 已知不论取何实数，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围．【例12】 直线与双曲线交于、两点．①当为何值时，、分别在双曲线的两支上？②当为何值时，以为直径的圆过坐标原点？【例13】 已知直线与双曲线相交于两个不同点、．①求的取值范围；②若轴上的点到、两点的距离相等，求的值．【例14】 已知直线与双曲线，记双曲线的右顶点为，是否存在实数，使得直线与双曲线的右支交于两点，且，若存在，求出值：若不存在，请说明理由．【例15】 已知点，，动点满足条件，记动点的轨迹为．⑴求的方程；⑵若、是曲线上不同的两点，是坐标原点，求的最小值．【例16】 直线与双曲线的右支交不同的，两点，⑴求实数取值范围；⑵是否存在实数，使得以线段直径的圆经过双曲线的右焦点．若存在，求出值：若不存在，请说明理由．【例17】 双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．⑴求双曲线的方程；⑵设直线：与双曲线交于、两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点．【例18】 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过其右焦点且倾斜角为的直线被双曲线截得的弦的长为．⑴求此双曲线的方程；⑵若直线与该双曲线交于两个不同点、，且以线段为直径的圆过原点，求定点到直线的距离的最大值，并求此时直线的方程．___________________________________________________________________________________________________________________________ / / / / / /○/ / / / / /○/ / / / / /○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○/ / / / / /○/ / / / / /○/ / / / / / 密 封 线 内 不 要 答 题 【例19】 在中，已知、，动点满足．⑴求动点的轨迹方程；⑵设点，，过点作直线垂直，且与直线交于点，试在轴上确定一点，使得；⑶在⑵的条件下，设点关于轴的对称点为，求的值．【例20】 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．⑴求双曲线的方程；⑵若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的取值范围．【例21】 已知双曲线，设过点的直线的方向向量 ．⑴当直线与双曲线的一条渐近线平行时，求直线的方程及与的距离；⑵证明：当>时，在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为．【例22】 已知双曲线的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为．⑴求双曲线的方程； ⑵如图，是双曲线上一点，，两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，，求面积的取值范围．【例23】 已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率．⑴求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；⑵如图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交与、两点，求的面积．【例24】 已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为，轨迹与轴的交点为．⑴求轨迹的方程；⑵设直线过点且与轨迹有两个不同的交点，，求直线的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，若，证明直线过定点，并求出这个定点的坐标．【例25】 已知点为双曲线（为正常数）上任一点，为双曲线的右焦点，过 作右准线的垂线，垂足为，连接并延长交轴于． ⑴求线段的中点的轨迹的方程；⑵设轨迹与轴交于、两点，在上任取一点，直线，分别交轴于两点．求证：以为直径的圆过两定点．（焦点在轴上的标准双曲线的准线方程为）【例26】 已知双曲线的离心率为，右准线方程为．⑴求双曲线的方程；⑵设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值．。