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证明两角相等的方法黄冈中学 初三数学备课组【重点解读】证明两角相等是中考命题中常见的一种题型， 此类证明看似简单， 但方法不当也会带来 麻烦， 特别是在中考有限的两个小时中 恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果在 教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考相关定理或常见结论】1、相交线、平行线：（1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等；（4）凡直角都相等；（5）角的平分线分得的两个角相等 .2、三角形（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一） ；（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和（4）全等三角形的对应角相等；（5）相似三角形的对应角相等 .3、四边形（1）平行四边形的对角相等；（2）菱形的每一条对角线平分一组对角；（3）等腰梯形在同一底上的两个角相等 .4、圆（1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 . ，圆心角相等（3 ）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补 ；并且每一个外角都等于它的内对角（5 ）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角（6 ）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；5、 利用等量代换、等式性质 证明两角相等•6、 利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】（一） 利用全等相关知识证明角相等例1已知：如图，CD丄AB于点D , BE丄AC于点E , BE与CD交于点0，且BD CE •求证：A0平分 BAC • 分析：要证 A0平分 BAC，因为CD丄AB于点D , BE丄AC于点E，所以只要证明OD=OE若能证明若能证厶 OBD^A OCE即可，因为可证/ ODB=/ OEC=90 , / BOD=/ COE 而 BD=CE 故问题得到解决.证明：••• CD丄AB于点D , BE丄AC于点E•••/ ODB2 OEC=90在△ ^。

和厶OC冲/ ODB2 OEC-/ BOD2 COEBD=CE•••△ OBD^A OCE• OD=OE•/ CD丄AB于点D , BE丄AC于点E• AO 平分 BAC •F说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理例2如图，在梯形 ABCD中, AD// BC E是梯形内一点，EDLAD, BE=DC/ ECB=45 •求证：/ EBC=Z EDC分析：要证明/ EBC=Z EDC容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果能构造出两个全等的三角形即可延长 DE与BC交于点于点F,这样就很容易证△ BEF^A DCF从而问题得到解决证明：延长DE与BC交于点于点FAD// BC, EDL AD••• DFL BC•••/ BFE=Z DFC=90•••/ ECB=45•••/ ECB=/ CEB=45)• CF=EF在 Rt △ BEF和 Rt △ DCF中EF=CF, BE=DC• Rt △ BEF^ Rt △ DCF•••/ EBC=Z EDC说明：本例运用全等三角形的对应角相等，来证明两角相等例3如图，已知四边形 ABCD是等腰梯形，CD// BA四边形AEBC是平行四边形.求证：/ABD=Z ABE分析：要证/ ABD=Z ABE若能证△ ABD^A ABE艮卩可.因为可证 BE : =AC= BD AE= BC= AD而AB为公共边，故问题得到解决.证明：•••四边形 ABCDI等腰梯形，• AD= BC AC= BD.•••四边形AEBC1平行四边形，• BC= AE AC= BE 瓦• AD= AE BD= BE又••• AB= AB ABD^A ABE•••/ ABD=Z ABE说明：本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证明两角相等.总结：这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质，在中考中也是常考的题型，在证明过程中，特别要抓住一些基本图形，同时还要注意常用辅助线的作法。

二）利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系 例4 .已知：△ ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE DGL CE G是垂足,求证：⑴G是CE的中点；⑵/ B=2/ BCE.分析：⑴已知中多垂直和中线条件，可联想直角三角形斜边上的中线性质；要证明G是CE的中点，结合已知条件 DG! CE符合等腰三角形三线合一中的两个条件，故连结DE证明△ DCE是等腰三角形，由 DGL CE可得G是CE的中点.⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， BE=DE / B转化为/ EDB.证明：⑴连结DE•••/ ADB=90 , E 是 AB的中点，••• DE=AE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ， 又••• DC=BE「・ DC=DE又••• DGL CE• G是CE中点（等腰三角形底边上的高平分底边）⑵••• DE=DC「./ DCE2 DEC（等边对等角）,•••/ EDB=Z DEC+Z DCE=2/ BCE （三角形的外角等于两不相邻内角的和）又••• DE=BE^Z B=Z EDB :丄 B=2Z BCE直角三角形、等腰三角形等特殊三角形， 其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式： 已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线•特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着 密切关系•例5如图，直线AC // BD，连结AB，直线AC, BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分•当动点P落在某个部分时，连结 PA, PB ,构成 PAC， APB， PBD三个角.(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是O角.)(1)当动点P洛在第①部分时，求证：APBPACPBD ;(2)当动点P落在第②部分时， APBPACPBD是否成立(直接回答成立或不成立)(3)当动点P在第③部分时，全面探究PAC ,APB ,PBD之间的关系，并写出动分析：本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理和外角性质A③CD©图3(1)解法一：如图1延长BP交直线AC于点E•/ AC // BD , ••• / PEA = / PBD .•/ / APB = / PAE + / PEA ,• / APB = / PAC + / PBD .解法二：如图2过点P作FP// AC ,• / PAC = / APF .•/ AC// BD , • FP// BD .• / FPB =/ PBD .• / APB =/APF + / FPB = / PAC + / PBD .解法三：如图3,•••AC// BD , • / CAB +/ABD = 180 °即 / PAC +Z PAB +Z PBA +Z PBD = 180 ° .又/ APB +Z PBA +Z PAB = 180 ° ,• / APB =Z PAC +Z PBD .(2) 不成立.(3) (a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是吵E在证明角之间的关系时，题中没有三角形，常通过作辅助线构造三角形。

外角性质及其应用，在求 把所求的角集中在同一个三角常考虑利用三角形的内角/ PBD=/ PAC+Z APB .(b) 当动点P在射线BA上，结论是/ PBD =Z PAC +Z APB .或/ PAC =Z PBD +Z APB 或 Z APB = 0 ° ,Z PAC =Z PBD (任写一个即可).(c) 当动点P在射线BA的左侧时，结论是Z PAC =Z APB +Z PBD .选择(a)证明：如图4,连接PA 连接PB交AC于M•/ AC// BD ,••• Z PMC =Z PBD .又 tZ PMC =Z PAM +Z APM ,• Z PBD =Z PAC +Z APB .选择(b)证明：如图5•/ 点 P在射线 BA上，•••/ APB = 0 ° .•/ AC // BD , •••/ PBD =Z PAC .• Z PBD =Z PAC +Z APB或 Z PAC =Z PBD+Z APB或Z APB = 0 ° ,Z PAC =Z PBD.选择(c)证明：如图6,连接PA连接PB交AC于F•/ AC / BD , •••/ PFA =Z PBD .•/ Z PAC =Z APF +Z PFA ,• Z PAC =Z APB +Z PBD总结：这类题主要考查平行线的性质，三角形的内角和, 解角的度数时，一般运用三角形的角及外角的关系， 形中，然后利用内角和求角度， 和定理和外角性质，若(三) 禾U用四边形的相关知识证明角的有关问题例6已知：如图，在△ ABC中，AB= AC, E是AB的中点，以点 E为圆心，EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED并延长ED到点F,使，连结FC.求证：Z F=Z A.分析：要证明/ F=Z A,由图知只要证明四边形 AEFC是平行四边形即可。

证明：•/ AB=AC•••/ ABC=/ ACB•/ EB=ED•••/ EBD=/ EDB•••/ EDB玄 ACB• EF// ACE是AB的中点• AE=EB•/ DF= DE EB=ED• AE=EB= DF= DE• AE+EB= DF+DE即 AB=EF•/ AB=AC• EF=AC又••• EF/ AC•四边形AEFC是平行四边形• / F=Z A说明：本例的证明用到了等腰三角形的两底角相等，平行四边形的对角相等四) 禾U用圆的相关知识 例7如图，已知 BC是直径，AB AG , AD丄BC.求证：(1)Z EAF=Z AFE分析：由BC是直径，得到/BAC是直角，再利用 ABAG ,(2) BE=AE=EF得到/ ABE玄BAE 再证/ EAF=Z FA吕证明：(1)v BC是直径•••/ BAC=9(f•••/ ABE+Z EFA=90o，/ BAE+ EAF=90°•/ AB AG• Z ABEZ BAE• Z EAFZ AFE(2) 略说明：本例的证明用到了等弧所对的圆周角相等，等角的余角相等 例8已知：如图，AD为锐角△ ABC外接圆的直径， AE± BC于E,交O O于F。

求证：Z 1 = Z 2分析：Z 1和Z 2分别是BD和CF所对的两个圆周角，故只需证CBD =CF，但不易证明，由于Z 2+Z C=90 ° ,联想到把Z 1放到直 角三角形中，连结 BD,可得Z ABD=90，从而问题得证证明：连结BD•/ AD为直径。