自动控制理论第版邹伯敏第章2ppt课件.ppt

第三章第三章控制系控制系统的的时域分析域分析自自动控制理控制理论普通高等教育普通高等教育普通高等教育普通高等教育““““十一五〞国家十一五〞国家十一五〞国家十一五〞国家级规级规划教材划教材划教材划教材典型典型输入信号条件：条件：1 能反映能反映实际输入；入；2 在形式上尽可能在形式上尽可能简单，便于分析；，便于分析；3 使系使系统运行在最不利的工作状运行在最不利的工作状态t f(t)01考考考考查查系系系系统对统对恒恒恒恒值值信号的跟踪能力信号的跟踪能力信号的跟踪能力信号的跟踪能力第一节第一节 典型的测试信号典型的测试信号 R=1 R=1，称，称，称，称单单位斜坡函数位斜坡函数位斜坡函数位斜坡函数, ,记为记为 t t，，，， 2. 斜坡函数 （等速度函数） t f(t)0考考查系系统对匀速信号的跟踪能力匀速信号的跟踪能力 3. 抛物线函数〔等加速度函数）R=1R=1，称，称，称，称单单位抛物位抛物位抛物位抛物线线函数函数函数函数, ,记为记为t f(t)0考考查系系统的机的机动跟踪能力跟踪能力 4. 脉冲函数具有左具有左图形状的信号被称形状的信号被称为矩型脉矩型脉动信号信号,其数学表达式其数学表达式为:由由图可可见, 脉脉动信号信号的面的面积为R. 当脉当脉动信号的信号的宽度度时, 其高度其高度为, 但但面面积乃乃为R. 把把宽度度时的矩型脉的矩型脉动信号定信号定义为脉脉冲信号冲信号, 而其面而其面积R称称为脉冲信号的脉冲脉冲信号的脉冲强度度.当当R=1时, 叫做叫做单位脉冲信号位脉冲信号, 用用 其数学表达式其数学表达式为而其面而其面积为:单位脉冲信号位脉冲信号用下用下图表示表示:强度不度不为1而而为R的脉冲信号用的脉冲信号用表示表示.表示表示,考考查系系统在脉冲在脉冲扰动下的恢复情况下的恢复情况 各函数间关系：（（（（5 5〕正弦函数〕正弦函数〕正弦函数〕正弦函数补充：充：时域性能指域性能指标c(t) = ct(t) + css(t) c(t) = ct(t) + css(t) = = 暂态响应暂态响应暂态响应暂态响应 + + 稳态响应稳态响应稳态响应稳态响应 1. 暂态性能指标 图图图图3 3－－－－2 2 (1) (1) 延延延延迟时间迟时间tdtd：：：：c(t)c(t)从从从从0 0到到到到0.5c(∞)0.5c(∞)的的的的时间时间。

2)(2)上上上上升升升升时时间间trtr：：：：c(t)c(t)第第第第一一一一次次次次达达达达到到到到c(∞)c(∞)的的的的时时间间无无无无超超超超调调时时, , c(t)c(t)从从从从0.1 0.1 c(∞)c(∞)到到到到0.9 c(∞)0.9 c(∞)的的的的时间时间3) (3) 峰峰峰峰值时间值时间tptp：：：： c(t) c(t)到达第一个峰到达第一个峰到达第一个峰到达第一个峰值值的的的的时间时间(4)(4)调节时间调节时间ts ts：：：： c(t) c(t)衰减到与衰减到与衰减到与衰减到与稳态值稳态值之差不超之差不超之差不超之差不超过过±2%±2%或或或或±5%±5%所需的所需的所需的所需的时间时间通常该该偏差范偏差范偏差范偏差范围围称作称作称作称作误误差差差差带带, ,用符号用符号用符号用符号△△△△表示，表示，表示，表示，即即即即 △△△△ =2% =2%或或或或 △△△△ =5% =5% 5)(5)超超超超调调量量量量 ：：：：c(t) c(t) 最最最最大大大大峰峰峰峰值值偏偏偏偏离离离离稳稳态态值值的的的的部部部部分分分分，，，，常常常常用用用用百百百百分分分分数数数数表表表表示示示示，，，，描述的系描述的系描述的系描述的系统统的平的平的平的平稳稳性。

性2. 2. 稳态稳态性能指性能指性能指性能指标标 稳态误稳态误差差差差essess：：：：稳稳定系定系定系定系统误统误差的差的差的差的终值终值即最后一最后一节细讲凡是可用一凡是可用一阶微分方程描述的系微分方程描述的系统，称，称为一一阶系系统T T＝＝＝＝RCRC，，，，时间时间常数其典型其典型其典型其典型传递传递函数及函数及函数及函数及结结构构构构图为图为：：：：第二第二节 一一阶系系统的的时域响域响应 R C r(t) c(t) 1Ts﹣+R(s)C(s) 1Ts+1R(s)C(s)一、一、一、一、 数学模型数学模型数学模型数学模型tc(t)　０　 T　 2T 3T 4T 当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应二、二、二、二、 单单位位位位阶跃阶跃响响响响应应 响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应无振荡0.6320.950.9820.8651.0一一一一阶阶系系系系统统的瞬的瞬的瞬的瞬态态响响响响应应指指指指标标 一一一一阶阶系系系系统统响响响响应应具具具具备备两个两个两个两个重要的特点：重要的特点：重要的特点：重要的特点：①①①①可以用可以用可以用可以用时间时间常数常数常数常数T T去度量去度量去度量去度量系系系系统输统输出量的数出量的数出量的数出量的数值值。

②②②②响响响响应应曲曲曲曲线线的初始斜率等于的初始斜率等于的初始斜率等于的初始斜率等于1/T1/T　０　 T　 2T 3T 4T tc(t)0.6320.950.9820.8651.0T反映了系反映了系统的的惯性T越小越小惯性越小，性越小，响响应快！快！T越大，越大，惯性越性越大，响大，响应慢三、三、三、三、 单单位斜坡响位斜坡响位斜坡响位斜坡响应应 [ r(t) = t ] [ r(t) = t ] tc(t)0r(t)= tc(t) = t ﹣T + Te﹣t/T 稳态稳态响响应应是一个与是一个与输输入斜坡函数斜率相同但在入斜坡函数斜率相同但在时间时间上上迟迟后了一个后了一个时间时间常数常数T T的斜坡函数的斜坡函数TT稳态分量〔跟踪项+常值）暂态分量 表明表明过渡渡过程程结束后，其束后，其稳态输出与出与单位斜坡位斜坡输入之入之间，在位，在位置上仍有置上仍有误差，一般叫做跟踪差，一般叫做跟踪误差比比较阶跃响响应曲曲线和斜坡响和斜坡响应曲曲线：： 在在阶跃响响应中，中，输出量与出量与输入量之入量之间的位置的位置误差随差随时间而减小，而减小，最最终趋于于0 0，而在初始状，而在初始状态下，位置下，位置误差最大，响差最大，响应曲曲线的斜率也的斜率也最大；无差跟踪最大；无差跟踪 在斜坡响在斜坡响应中，中，输出量与出量与输入量之入量之间的位置的位置误差随差随时间而增大，而增大，最最终趋于常于常值T T，在初始状，在初始状态下，位置下，位置误差和响差和响应曲曲线的斜率均等的斜率均等于于0 0。

有差跟踪有差跟踪　0 tc(t)1.0tc(t)0r(t)= tTT四、四、四、四、单单位脉冲响位脉冲响位脉冲响位脉冲响应应 [R(s)=1] [R(s)=1] 它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲〔冲激〕响应函数，以h(t)标志 求系求系求系求系统闭环传统闭环传函提供了函提供了函提供了函提供了实验实验方法，以方法，以方法，以方法，以单单位脉冲位脉冲位脉冲位脉冲输输入信号作用于入信号作用于入信号作用于入信号作用于系系系系统统，，，，测测定出系定出系定出系定出系统统的的的的单单位脉冲响位脉冲响位脉冲响位脉冲响应应，可以得到，可以得到，可以得到，可以得到闭环传递闭环传递函数对应对应T 2T 3Tth(t)01/T0.368/T0./T0.05/T线线性定常系性定常系性定常系性定常系统统的重要性的重要性的重要性的重要性质质 2. 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定 1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数。

例：已知一例：已知一阶元件的元件的传递函数函数为K0G (s)KHrC(s)– ,今系今系统采用采用负反反馈的的办法将法将过渡渡时间ts减小减小为原来的原来的0.1 倍，并保倍，并保证总放大系数不放大系数不变 ，求，求K0,KH解：解：一、一、一、一、 二二二二阶阶系系系系统统的数学模型的数学模型的数学模型的数学模型 标标准化二准化二准化二准化二阶阶系系系系统统的的的的结结构构构构图为图为：：：： 　　　　闭环传递函数函数为 二阶系统有两个结构参数ξ (阻尼比)和n(无阻尼振荡频率) 二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的第三第三节 二二阶系系统的的时域分析域分析s(s+2ξ n)R(s)C(s) n2 ﹣+开开环传递函数函数为微分方程式微分方程式为：： 对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的含义是不同的 例如例如: RLC电路路RCr(t)c(t)L j  0二、　二二、　二二、　二二、　二阶阶系系系系统统的的的的闭环闭环极点极点极点极点二二阶系系统的的闭环特征方程，即特征方程，即 s 2 + 2ξ n s +  n2 = 0其两个特征根其两个特征根为：： 上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比ξ 的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有不同的分布规律。

分述如下：s1s2(1)ξ >1 时，特征根，特征根为一一对不等不等值的的负实根，位于根，位于s 平面的平面的负实轴上，使得系上，使得系统的响的响应表表现为过阻尼的(3) 0 < ξ < 1 时，特征根，特征根为一一对具有具有负实部的共部的共轭复根，位于复根，位于s平面平面 的左半平面上，使得系的左半平面上，使得系统的响的响应表表现为欠阻尼的欠阻尼的2) ξ=1时，特征根，特征根为一一对等等值的的负实根，位于根，位于s 平面的平面的负实轴上，上，使得系使得系统的响的响应表表现为临界阻尼的界阻尼的 j  0s1= s2 =    n ns1s2 j d   ξ n j  0 j  0 (4) ξ=0 时，特征根，特征根为一一对幅幅值相等的虚根，位于相等的虚根，位于s平面的平面的虚虚轴上，使得系上，使得系统的响的响应表表现为无阻尼的等幅振无阻尼的等幅振荡过程 j n j  0 (5) ξ < 0 时，特征根位于，特征根位于s平面的右半平面，使得系平面的右半平面，使得系统的的响响应表表现为幅幅值随随时间增加而增加而发散。

散s1s2 j  0s1s2 j  0s1=s2 ns1s2 jd  ξ n j  0 j  0 jn 阻阻尼尼比比取取不不同同值时，，二二阶系系统根根的的分分布布ξ > 1ξ = 10<ξ < 1ξ = 0三、二三、二三、二三、二阶阶系系系系统统的的的的单单位位位位阶跃阶跃响响响响应应由式由式，其输出的拉氏变换为式中式中s1，，s2是系是系统的两个的两个闭环特征根 对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达式阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s 平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律下面分别加以讨论1 1、欠阻尼情况、欠阻尼情况 0<ξ<1 0<ξ<1 j  ns1s2 jd  ξ n 0 （（1 1）、）、单位位阶跃响响应查表可得：表可得： 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成：稳态分量为1，表明系统在1(t)作用下不存在稳态位置误差；瞬态响应是阻尼正弦项，其振荡频率为阻尼振荡频率ωd，而其幅值则按指数曲线衰减，两者均由参数ξ 和n决定。

c(t) t 01衰减振衰减振荡 (2)响应曲线Mp（（（（3 3〕〕〕〕动态动态性能指性能指性能指性能指标标 常用常用tr , tp , Mp , ts 四个性能指四个性能指标来衡量瞬来衡量瞬态响响应的好的好坏　　c(t) t 010.50.05或或0.02tr tp tstd①①上升上升时间时间tr ：从零上升至第一次到达：从零上升至第一次到达稳态值稳态值所所需的需的时间时间，是系，是系统统响响应应速度的一种度量速度的一种度量tr 越小，越小，响响应应越快②②峰峰值时间值时间tp：响：响应应超超过稳态值过稳态值，到达第一个峰，到达第一个峰值值所需的所需的时间时间③③超超调调量量Mp：响：响应应曲曲线线偏离偏离阶跃阶跃曲曲线线最大最大值值，用百分比，用百分比表示 Mp只是只是ξ 的函数，其大小与自然的函数，其大小与自然频率率ωn无关ξ   Mp ④④调节时间调节时间ts ：响：响应应曲曲线线衰减到与衰减到与稳态值稳态值之差不超之差不超过过5%所需要的所需要的时间时间 工程上，当0.1 < ξ < 0.9 时，通常用下列二式近似计算调节时间。

△△ = 5% c(∞)△△ = 2% c(∞)⑤⑤延延迟时间迟时间td ：从零第一次上升至：从零第一次上升至稳态值稳态值的一半所需的的一半所需的时间时间总结：：各性能指各性能指标之之间是有矛盾的是有矛盾的 (1) ωn 一定，使tr tp  ξ  使 ts  ξ  ( ξ 一定范围 )必需必需必需必需必需(2) ξ 一定，使一定，使 tr tp ts  ωn  (3) ξ  Mp 只由ξ 决议必有必有例例3-1　　单位位负反反馈随随动系系统如如图所示所示(1) (1) 确定系确定系确定系确定系统统的阻尼比和无阻尼自然的阻尼比和无阻尼自然的阻尼比和无阻尼自然的阻尼比和无阻尼自然频频率率率率 2) (2) 若若若若K = 16(rad/s)K = 16(rad/s)、、、、T = 0.25(s)T = 0.25(s)，，，，试计试计算系算系算系算系统统的的的的动态动态性能指性能指性能指性能指标标 解解解解: (1) : (1) 系系系系统统的的的的闭环传递闭环传递函数函数函数函数为为与典型二与典型二阶系系统比比较可得：可得： K/T=  n2 1/T = 2ns(Ts+1)R(s)C(s)K ﹣+(2) K = 16，，T = 0.25时时(  =0.05 )K/T=  n2 1/T = 2n例例3-2　已知　已知单位位负反反馈系系统的的单位位阶跃响响应曲曲线如如图所示，所示，试求系求系统的开的开环传递函数。

函数 解：由系解：由系统的的单位位阶跃响响应曲曲线，直接求出超，直接求出超调量和峰量和峰值时间 Mp = 30% tp = 0.1求解上述二式，得到求解上述二式，得到  = 0.357，， n= 33.65(rad/s)于是二于是二阶系系统的开的开环传递函数函数为1c(t) t 01.30.1 (2) (2)无阻尼情况无阻尼情况ξ=0ξ=0c(t) t 0等幅振等幅振荡（（3 3〕〕临界阻尼情况界阻尼情况ξ=1ξ=1 s1,2= s1,2= n n 此时响应是稳态值为1 的非周期上升过程，其变化率t = 0，变化率为0； t > 0变化率为正，c(t) 单调上升； t →∞ ，变化率趋于0整个过程不出现振荡，无超调，稳态误差＝0tc(t)01（（4 4〕〕过阻尼情况阻尼情况 ξ>1 ξ>1 响应特性包含两个单调衰减的指数项，且它们的代数和不会超过1，因而响应是非振荡的调节速度慢不同于一阶系统）　0 tc(t)1.0ts（（5〕不〕不稳定系定系统 ξ<0，不，不讨论总结：： 1〕〕ξ<0时，响，响应发散，系散，系统不不稳定；定； 2〕〕ξ>＝＝1时，响，响应与一与一阶系系统相似，无超相似，无超调，但，但调节速度速度慢；慢； 3〕〕ξ＝＝0时，无，无过渡渡过程，直接程，直接进入入稳态，响，响应等幅振等幅振荡；； 4〕〕0<ξ<1时，响，响应有超有超调，但上升速度快，，但上升速度快，调节时间短，短，合理合理ξ选择可使既快又平可使既快又平稳，工程上把，工程上把ξ＝＝0.707的二的二阶系系统称称为二二阶最最优系系统；；G(s)，，H(s) 一般是复一般是复变量量s 的多的多项式之比，故上式可式之比，故上式可记为第四第四节　高　高阶系系统的的时域分析域分析一、　高一、　高一、　高一、　高阶阶系系系系统统的的的的时时域响域响域响域响应应 控制系控制系控制系控制系统统的基本的基本的基本的基本结结构如构如构如构如图图所示。

所示 其其闭环传递函数函数为G(s)R(s)C(s)﹣+H(s) 式中式中0 < ξ k <1 即系统有有q 个个实极点和极点和r 对共共轭复数复数极点 称称为系系统闭环特征根，或特征根，或闭环极点 根据能量的有限性，分子多项式的阶次m不高于分母多项式的阶次n对上式进行因式分解，可以表示为 取拉氏反取拉氏反取拉氏反取拉氏反变换变换，并，并，并，并设设全部初始条件全部初始条件全部初始条件全部初始条件为为零，得到系零，得到系零，得到系零，得到系统单统单位位位位阶跃阶跃响响响响应应的的的的时间时间表达式：表达式：表达式：表达式： 于是，系于是，系统单位位阶跃响响应的拉氏的拉氏变换：：式中式中 　　　　　　　　　　 ；；k =arccos ξ k ；；Ak、、Bk是与是与C(s)在在对应闭环极点上的留数有关的常数极点上的留数有关的常数 上式表明，如果系上式表明，如果系统的所有的所有闭环极点都具有极点都具有负实部，部，系系统时间响响应的各的各暂态分量都将随分量都将随时间的增的增长而而趋近于零，近于零，这时称高称高阶系系统是是稳定的。

定的二、　二、　闭环主主导极点极点 1〕高〕高阶系系统瞬瞬态响响应各分量的衰减快慢由各分量的衰减快慢由 pi ，，ξk n决定，也即决定，也即闭环极点极点负实部的部的绝对值越大，相越大，相应的分量衰减越快的分量衰减越快 2〕各分量所〕各分量所对应的系数由系的系数由系统的零极点分布决定的零极点分布决定 3〕系〕系统的零极点共同决定了系的零极点共同决定了系统瞬瞬态响响应曲曲线的形状4〕〕对系系统瞬瞬态响响应起主起主导作用的极点，称作用的极点，称为闭环主主导极点 条件：条件： 1 距离距离s平面虚平面虚轴较近，且周近，且周围没有其它的没有其它的闭环极点和零点；极点和零点； 对应的的暂态分量衰减分量衰减缓慢，起主要作用慢，起主要作用 不会构成不会构成闭环偶极子，偶极子，产生零极点相消生零极点相消现象 2 其其实部的部的绝对值比其它极点小比其它极点小5倍以上 应用用闭环主主导极点的概念，可以把一些高极点的概念，可以把一些高阶系系统近似近似为一一阶或二或二阶系系统，以，以实现对高高阶系系统动态性能的近似性能的近似评估。

估 一般情况，高一般情况，高阶系系统具有振具有振荡性，所以主性，所以主导极点常常是一极点常常是一对共共轭复数极点找到了一复数极点找到了一对共共轭复数极点，高复数极点，高阶系系统的的动态性能就可性能就可以以应用二用二阶系系统的性能指的性能指标来近似估来近似估计稳稳定性是定性是定性是定性是对对系系系系统统的基本要求，探的基本要求，探的基本要求，探的基本要求，探讨讨系系系系统统的的的的稳稳定条件，提出定条件，提出定条件，提出定条件，提出保保保保证证系系系系统稳统稳定的措施定的措施定的措施定的措施一　一　一　一　稳稳定的概念和定定的概念和定定的概念和定定的概念和定义义 如果系如果系统受到受到扰动，当，当扰动取消后，系取消后，系统都能初始平都能初始平衡状衡状态，，则这种系种系统称称为稳定系定系统；； 线性控制系性控制系统稳定性的定定性的定义如下：若如下：若线性控制系性控制系统在初始在初始扰动(t)的影响下，其的影响下，其过渡渡过程随着程随着时间的推移的推移逐逐渐衰减并衰减并趋向于零，向于零，则称系称系统为稳定反之，定反之，则为不不稳定 第五节第五节 线性定常系统的稳定性线性定常系统的稳定性二、二、线性系性系统稳定的充要条件定的充要条件 线性系性系统的的稳定性只取决于系定性只取决于系统自自身固有特性，而与身固有特性，而与输入信号无关。

入信号无关 根据定根据定义输入入扰动(t)(t)，，设扰动响响应为Cn(t)Cn(t)如果当 t→∞ t→∞时，， Cn(t) Cn(t)收收敛到原到原来的平衡点，即有来的平衡点，即有那么，那么，线性系性系统是是稳定的　　 线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面〔不包括虚轴） 根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面的代替方法，后面就介绍劳斯代数稳定判据 不失一般性，不失一般性，设n 阶系系统的的闭环传递函数函数为三、三、三、三、线线性系性系性系性系统稳统稳定的必要条件定的必要条件定的必要条件定的必要条件 系系系系统稳统稳定的必要条件：定的必要条件：定的必要条件：定的必要条件：设线设线性系性系性系性系统统的的的的闭环闭环特征方程特征方程特征方程特征方程为为 式中，式中，si〔〔i =1,2 ,  , n〕是系〕是系统的的n个个闭环极点。

根极点根据代数方程的基本理据代数方程的基本理论〔〔韦达定理），下列关系式成立：达定理），下列关系式成立： 从上式可以从上式可以导出，系出，系统特征根都具有特征根都具有负实部的必要部的必要条件条件为：：ai aj > 0 ( i, j =1,2,  , n)即，即，闭环特征方程各特征方程各项同号且不缺同号且不缺项 如果特征方程不如果特征方程不满足上式的条件，系足上式的条件，系统必然非必然非渐近近稳定但满足上式，足上式，还不能确定一定是不能确定一定是稳定的，因定的，因为上式上式仅是必要条件下面是必要条件下面讲解解劳斯斯稳定判据 必要条件只起否定作用必要条件只起否定作用, 也即只要不也即只要不满足必要条件足必要条件, 系系统必不必不稳定定, 必要条件不起保必要条件不起保证作用作用, 也即也即满足必要条件足必要条件,系系统不一定不一定稳定定.一、一、 劳斯判据斯判据 系系统稳定的充要条件是：特征方程式的全部定的充要条件是：特征方程式的全部系数系数为正，且由正，且由该方程式作出的方程式作出的劳斯表中第一列斯表中第一列全部元素都全部元素都为正。

正 若不若不满足，足，则不不稳定 并且并且劳斯表中第一列元素符号改斯表中第一列元素符号改变的次数，的次数，等于相等于相应特征方程式位于右半特征方程式位于右半s平面上根的个数平面上根的个数第六节第六节 劳斯稳定判据劳斯稳定判据表中：表中：1 1〕最左一列元素按〕最左一列元素按s s 的的幂次排列，由高到低，只起次排列，由高到低，只起标识作作 用，不参与用，不参与计算 2 2〕第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入〕第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入 3 3〕从第三行起各元素，是根据前二行的元素〕从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到a0 a2 a4 …a1 a3 a5 …b1 b2 b3 …┋ ┋…ansnsn−1 sn−2 ┋ ┋s1 s0 劳斯表的构造：斯表的构造： 二二. .　　劳斯判据的斯判据的应用用 1 1、判断系、判断系统的的稳定性定性 例例3-3 3-3 设有下列特征方程有下列特征方程 D(s) = s4 +2s3 + D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 03s2 + 4s + 5 = 0，，试用用劳斯判据判斯判据判别该特征方程特征方程的正的正实部根的数目。

部根的数目 解：解：劳斯表斯表第一列元素第一列元素 符号改符号改变了了2次，次，∴∴系系统不不稳定，且定，且s 右半平右半平面有面有2个根s4s3s2s1s01 3 52 4 6155例例3-4 系系统的特征方程的特征方程为 D(s) = s3  3s + 2 = 0试用用劳斯判据确定正斯判据确定正实数根的个数数根的个数解：系解：系统的的劳斯表斯表为第一种特殊情况：第一种特殊情况：第一种特殊情况：第一种特殊情况：劳劳斯表中某斯表中某斯表中某斯表中某行的第一列元素行的第一列元素行的第一列元素行的第一列元素为为零，而其余零，而其余零，而其余零，而其余各各各各项项不不不不为为零，或不全零，或不全零，或不全零，或不全为为零对对此情况，可作如下此情况，可作如下此情况，可作如下此情况，可作如下处处理：理：理：理：s3s2s1s01 3 0 2∞①①用一个很小的正数用一个很小的正数ε ε 来代替第一列来代替第一列为零的零的项，从而使，从而使劳斯表斯表继续下去。

下去②②可用因子〔可用因子〔s+as+a〕乘以原特征方程，其中〕乘以原特征方程，其中a a可可为任意正数，任意正数，再再对新的特征方程新的特征方程应用用劳斯判据∵∵ε→0+时，，b1< 0，，劳斯表斯表中第一列元素符号改中第一列元素符号改变了两了两次次∴∴系系统有两个正根，不有两个正根，不稳定 用〔s+3〕乘以原特征方程，得新的特征方程为： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3  3s2  7s + 6 = 0s3s2s1s01 3 0(ε) 22s4s3s2s1s0 1 3 6 3 7 2/3 6 20 6会得到相同的判断会得到相同的判断会得到相同的判断会得到相同的判断结结果果果果例例3-5 设某某线性系性系统的的闭环特征方程特征方程为 D(s) = s4 + s3  3s2  s + 2 = 0 试用用劳斯判据判断系斯判据判断系统稳定性。

定性解解:　　该系系统的的劳斯表如下斯表如下第二种特殊情况：第二种特殊情况：第二种特殊情况：第二种特殊情况：劳劳斯表中某行元素全斯表中某行元素全斯表中某行元素全斯表中某行元素全为为零此时时，特征，特征，特征，特征方程中存在关于原点方程中存在关于原点方程中存在关于原点方程中存在关于原点对对称的根〔称的根〔称的根〔称的根〔实实根，共根，共根，共根，共轭轭虚根或共虚根或共虚根或共虚根或共轭轭复复复复数根）对对此情况，可作如下此情况，可作如下此情况，可作如下此情况，可作如下处处理：理：理：理：s4s3s2s1s0 1 3 2 1 1 2 2 0 0 由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，∴系统有两个正根，系统不稳定通过解辅助方程可求出关于原点对称的根： s1=1 和 s2= 1 对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为 s3=1 和 s4= 2 用全零行的上一行的系数构成一个用全零行的上一行的系数构成一个辅助方程，助方程，对辅助助方程求方程求导，用所得方程的系数代替全零行，，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。

斯表s4s3s2s1s0 1 3 2 1 1 2 2 　　  4 2F(s) =  2s2+ 2 F (s)=  4s2 2、分析参数、分析参数、分析参数、分析参数变变化化化化对稳对稳定性的影响定性的影响定性的影响定性的影响 例例例例3-6 3-6 已知系已知系已知系已知系统结统结构构构构图图如下，如下，如下，如下，试试确定使系确定使系确定使系确定使系统稳统稳定定定定时时KK的取的取的取的取值值范范范范围围 解：系统特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0要使系要使系统稳定，定，劳斯表中第斯表中第一列元素均大于零一列元素均大于零0< K < 6s3s2s1s0 1 2 3 K(6 K)/3 Ks(s+1)(s+2)R(s)C(s) K﹣+3 3、确定系、确定系、确定系、确定系统统的相的相的相的相对稳对稳定性定性定性定性 例例3-7 检验多多项式式2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0是否有根在是否有根在s 右半平面，并右半平面，并检验有几个根在垂直有几个根在垂直线 s = 1的右的右边？？解：解：1) 劳斯表中第一列元素均为正∴系统在s 右半平面没有根，系统是稳定的。

2) 令 s1 = s + 1 坐标平移， 得新特征方程为 2 s13 + 4 s12  s1  1 = 0s3s2s1s0 2 13 10 412.2 4-1sS1 劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在s1 右半平面有一个根因此，系统在垂直线 s = 1的右边有一个根s13s12s11s10 2 1 4 10.5 1第七节　线性系统的稳态误差第七节　线性系统的稳态误差一、一、一、一、误误差的基本概念差的基本概念差的基本概念差的基本概念 1. 误差的定义 误差的定义有两种： ① 从系统输入端定义，它等于系统的输入信号与反馈信号之差，即 E(s)=R(s) B(s) ② 从系统输出端定义，它定义为系统输出量的期望值与实际值之差 E′(s) =R ′(s) C(s) R ′(s)：输出的期望值G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)B(s) 由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。

2. 2.　两种定　两种定义的关系的关系对于于单位反位反馈系系统，两种定，两种定义是一致的是一致的 3.　稳态误差ess：误差的终值 4. 4.　　终值定理法定理法 终值终值定理的条件：定理的条件：定理的条件：定理的条件： 除原点外，在虚除原点外，在虚除原点外，在虚除原点外，在虚轴轴及及及及s s平面的右半平面无极平面的右半平面无极平面的右半平面无极平面的右半平面无极点例例例例3-83-8　　　　设单设单位反位反位反位反馈馈控制系控制系控制系控制系统统的开的开的开的开环传环传函函函函为为：：：：(1) 当当 r(t) = t2/2 R(s) =1/s3试求当求当输入信号分入信号分别为r(t) = t2/2 ，，r(t) = 1(t) ，， r(t) = t ，， r(t) = sinωt 时，控制系，控制系统的的稳态误差 解：解：(2)　当　当 r(t) = 1(t) R(s) =1/s(3)　当　当 r(t) = t R(s) =1/s2(4)　当　当r(t) = sinωt R(s) = ω/(s2 + ω2) 终值终值定理的条件不成立！定理的条件不成立！定理的条件不成立！定理的条件不成立！ 终值终值定理的条件：定理的条件：定理的条件：定理的条件： 除原点外，在虚除原点外，在虚除原点外，在虚除原点外，在虚轴轴及及及及s s平面的右半平面无极点。

平面的右半平面无极点平面的右半平面无极点平面的右半平面无极点二、二、二、二、 给给定作用下的定作用下的定作用下的定作用下的稳态误稳态误差差差差( ( ( (静静静静态误态误差系数法差系数法差系数法差系数法) ) ) )不失一般性，不失一般性，闭环系系统的开的开环传递函数可写函数可写为：：υ = 0 称称为 0 型系型系统；；υ = 1 称称为Ⅰ型系型系统；；υ = 2 称称为Ⅱ型系型系统等等在一般情况下，系在一般情况下，系统误差的拉氏差的拉氏变换为：：1.1.1.1.　　　　阶跃输阶跃输入作用下的入作用下的入作用下的入作用下的稳态误稳态误差差差差令令称称称称为为系系系系统统的静的静的静的静态态位置位置位置位置误误差系数差系数差系数差系数 0 型系统： Kp = K ess = A/ (1+ K)Ⅰ型及Ⅰ型以上系统： Kp = ∞ ess = 02.2.2.2.　斜坡　斜坡　斜坡　斜坡输输入作用下的入作用下的入作用下的入作用下的稳态误稳态误差差差差令令静静静静态态速度速度速度速度误误差系数差系数差系数差系数 0 型系统：Kv = 0 ess = ∞，0型系统无法跟踪斜坡输入 Ⅰ型系统：Kv = K ess = A/ K， 有差跟踪Ⅱ型及Ⅱ型以上系统： Kv = ∞ ess = 0， 无差跟踪3.3.3.3.　加速度　加速度　加速度　加速度输输入作用下的入作用下的入作用下的入作用下的稳态误稳态误差差差差令令静静静静态态加速度加速度加速度加速度误误差系数差系数差系数差系数 0 型系统： Ka = 0 ess = ∞ Ⅰ型系统： Ka = 0 ess = ∞ Ⅱ型系统： Ka = K ess = A/ K Ⅲ型及Ⅲ型以上系统：Ka = ∞ ess = 0阶跃阶跃、斜坡、加速度、斜坡、加速度、斜坡、加速度、斜坡、加速度输输入作用下的入作用下的入作用下的入作用下的稳态误稳态误差差差差r(t)=At2/2r(t)=At2/2r(t)=A tr(t)=A·1(t)r(t)=A·1(t)静静静静态误态误差系数差系数差系数差系数系系统型型别ess=A/Ka ess=A/Ka ess=A/Kv ess=A/(1+ Kp ) ess=A/(1+ Kp ) Kp Kv Kp Kv KaKaυ∞ ∞∞A/(1+ K ) A/(1+ K ) K 0 K 0 0 00∞ ∞A/K A/K 00 0 ∞ ∞ K ∞ ∞ K2A/K 0 0 ∞ K ∞ K 0 01例例3-9 已知两个系已知两个系统如如图所示，当参考所示，当参考输入入 r(t) = 4 + 6 t + 3t 2 ，，试分分别求出两个系求出两个系统的的稳态误差。

差 解：解：图〔〔a），），ⅠⅠ型系型系统 Kp = ∞，， Kv =10/4 ，，Ka = 0图〔〔b），），Ⅱ型系型系统Kp = ∞，， Kv = ∞ ，，Ka = 10/4 10s(s+4)R(s)C(s)E(s)（（a））﹣+10(s+1) s2(s+4)R(s)C(s)E(s)（（b））﹣+三、三、三、三、 扰动扰动作用下的作用下的作用下的作用下的稳态误稳态误差差差差 所有的控制系所有的控制系所有的控制系所有的控制系统统除承受除承受除承受除承受输输入信号作用外，入信号作用外，入信号作用外，入信号作用外，还经还经常常常常处处于各种于各种于各种于各种扰动扰动作用之下因此，系作用之下因此，系作用之下因此，系作用之下因此，系统统在在在在扰动扰动作用下的作用下的作用下的作用下的稳态稳态误误差数差数差数差数值值，反映了系，反映了系，反映了系，反映了系统统的抗干的抗干的抗干的抗干扰扰能力 计计算系算系算系算系统统在在在在扰动扰动作用下的作用下的作用下的作用下的稳态误稳态误差，同差，同差，同差，同样样可以采可以采可以采可以采用用用用终值终值定理法。

定理法 例例例例3-10 3-10 3-10 3-10 控制系控制系控制系控制系统统如如如如图图G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)D(s)++H(s) =1H(s) =1，，，，G1(s)=K1G1(s)=K1，，，，G2(s)=K2 / s(Ts+1) G2(s)=K2 / s(Ts+1) 试试求系求系求系求系统统在在在在单单位位位位阶跃给阶跃给定和定和定和定和单单位位位位阶跃扰动阶跃扰动共同作用下的共同作用下的共同作用下的共同作用下的稳稳态误态误差解：（解：（1〕〕单位位阶跃给定作用下的定作用下的稳态误差差:系系统是是Ⅰ型系型系统：： Kp = ∞ essr = 0 （（2〕〕单位位阶跃扰动作用下的作用下的稳态误差系系统误差的拉氏差的拉氏变换为 K1R(s)C(s)﹣+E(s)K2 K2 s(Ts+1)s(Ts+1)D(s)++ 系系统结构构稳定定，，且且满足足终值定定理理的的使使用用条条件件扰动单独独作用作用时稳态误差差为 （3〕根据线性系统的叠加原理，系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为四、四、 提高系提高系统稳态精度的方法精度的方法 上面的分析和例上面的分析和例题可知：可知： 通通过调整系整系统的的结构和参数，可以提高系构和参数，可以提高系统精度，比如：增加精度，比如：增加积分分环节的个数或增大开的个数或增大开环放大倍数；但放大倍数；但积分分环节个数一般不能超个数一般不能超过2个，个，K也不能任意也不能任意扩大，否大，否则会造成会造成动态品品质变差，甚至造成系差，甚至造成系统不不稳定。

定 解决的解决的办法是引入与法是引入与给定或定或扰动作用有关的附加控制作用，构成作用有关的附加控制作用，构成复合控制系复合控制系统例例3-8 控制系控制系统结构构图如如图所示图中中 试确定确定补偿通道的通道的传递函数，使系函数，使系统在在单位斜坡位斜坡给定作用下无定作用下无稳态误差Gb(s)R(s)R(s)C(s)﹣+E(s)E(s)G (s)++解：系解：系统误差的拉氏差的拉氏变换为(根据梅根据梅逊公式公式)1 基本知识点 A 各阶系统的数学模型及典型阶跃输入下的时域响应的特点，特别是二阶系统动态性能指标的计算p106； B 劳斯稳定判据p121； C 稳态误差的定义及计算！p126； D 改善动态性能及提高精度的措施p129；第三章第三章 线性系性系统的的时域分析法域分析法2有关例题二、设某系统的特征方程式为，求其特征根，并判断系统 的稳定性 三、控制系三、控制系统方方块图如如图所示：所示：四、四、(10分分) 在如在如图所示的系所示的系统中中,、、n(t)=4t求系统的的稳态误差 。