相似三角形中的辅助线归纳总结.doc

相似三角形中的辅助线相似三角形中的辅助线 在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件， 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到 成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等 量关系主要的辅助线有以下几种：一、作平行线 例 1. 如图，的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 AD＝AE，DE 延长线与ABCBC 延长线相交于 F，求证：BF CFBD CEB D A C F E 证明：证明：过点 C 作 CG//FD 交 AB 于 GB G D A C F E AD AGAE AC又，Q ADAEAGACDGCE，Q GCDF/ /BD DGBF CFBD CEBF CF小结：小结：本题关键在于 AD＝AE 这个条件怎样使用由这道题还可以增加一种证明线段 相等的方法：相似、成比例例 2. 如图，△ABC 中，AB

分析：分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明欲证，需证，而这四条线段所在的两个三角形显然AB DFAC EFAB ACEF DF不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加 平行线方法一：方法一：过 E 作 EM//AB，交 BC 于点 M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三 角形相似） EM ABEC ACEM ACAB EC即，AB ACEM EC同理可得EMFDBFEF DFEM BD，又，Q BDECEM ECEM BD（为中间比），EM BDAB ACEF DF，AB DFAC EF 方法二：方法二：如图，过 D 作 DN//EC 交 BC 于 N则有，，BDNBACBD ABDN ACBD ACAB DN，即（比例的基本性质）AB ACBD DN同理，ECFDNFEC DNEF DFBDEC，而（已知）BD DNEC DNEC DN（为中间比），AB ACEF DFAB DFAC EF，二、作垂线3. 已知：如图两个等积、，若 AC、BD 交于 E，EF∥AB，EG∥CD，分ABCDBC 别交 BC 于 F、G，求证：CF=BG。

证明：∵ EF∥AB ∴ EG∥CD ∴ ACCE BCCFBDBE BCBG∵ ∴ ∴ DBCABCSSEDCABESSENCDMEAB即 ∴ EMEN CDABAECE DEBE∴ ∴ ∴ CF=BGACCE BDBEBCBG BCCF4. 如图从 ABCD 顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF，垂足分别为 E、F，求证：2ACAFADAEABABCFDEABCFDENM证明：过 B 作 BM⊥AC 于 M，过 D 作 DN⊥AC 于 N ∴ ∽ABMACE∴ ∴ （1）ACAB AEAMAMACAEAB又 ∽ ∴ ∴ （2）ADNACFACAD AFANANACAFAD（1）+（2）)(ANAMACANACAMACAFADAEAB又 ∴ AN=CM BCMADN∴ 2)(ACCMAMACAFADAEAB三、作延长线例 5. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，若∠BCD 的平分线 CH⊥AB 于点H，BH=3AH，且四边形 AHCD 的面积为 21，求△HBC 的面积。

分析：分析：因为问题涉及四边形 AHCD，所以可构造相似三角形把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决解：解：延长 BA、CD 交于点 P∵CH⊥AB，CD 平分∠BCD∴CB=CP，且 BH=PH∵BH=3AH∴PA：AB=1：2∴PA：PB=1：3∵AD∥BC∴△PAD∽△PBC∴：：△△SSPADPBC 19∵△△SSPCHPBC1 2∴：△四边形SSPADAHCD 27∵四边形SAHCD 21∴△SPAD 6∴SPBC△ 54∴△△SSHBCPBC1 227例 6. 如图，RtABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC于 F，FGAB 于 G，求证：FG =CFBF2解析：解析：欲证式即 由“三点定形” ，ΔBFG 与 ΔCFG 会相似吗？显然不可FGCF BFFG能 （因为 ΔBFG 为 RtΔ） ，但由 E 为 CD 的中点，∴可设法构造一个与 ΔBFG 相似的三 角形来求解 不妨延长 GF 与 AC 的延长线交于 H则 ECFH EDFG AEAF∴ ECFH EDFG又 ED=EC ∴FG=FH又易证 RtΔCFH∽RtΔGFB∴ ∴FG·FH=CF·BF BFFH FGCF∵FG=FH ∴FG2=CF·BF四、作中线例 7 如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC 于 E，D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求ABC AC。

解：解：取 BC 的中点 M，连 AM ∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C又 BD=DC ∴ ∴ DCBDBCDBCC1∴ ∽ ∴ 又 DC=1 MC=BCMACDBCBCAC DCMC21∴ （1）2 21BCDCBCMCAC又 ∽ 又 ∵ EC=1 ∴ （2）AECRtBACRtBCBCCEAC2由（1） （2）得， ∴ 4 21ACAC 32AC小结：小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取 BC 中点 M，构造与MAC 相似是解题关键DBC综合练习题1、在△ABC 中，D 为 AC 上的一点，E 为 CB 延长线上的一点，BE=AD，DE 交 AB 于 F 求证：EF×BC=AC×DF2、中，，AC=BC，P 是 AB 上一点，Q 是 PC 上一点（不是中点） ，ABC90ACB MN 过 Q 且 MN⊥CP，交 AC、BC 于 M、N，求证：CNCMPBPA::3、. 理由？如图，中，，，那么吗？试说明ABCABACBD ACBCCA CD22（用三种解法）1、证明：、证明： 过过 D 作作 DG∥∥BC 交交 AB 于于 G，则，则△△DFG 和和△△EFB 相似，相似，∴∴∵BE∵BE＝＝AD,∴AD,∴ ①①DGDF BEEFDGDF ADEF由由 DG∥∥BC 可得可得△△ADG 和和△△ACB 相似，相似，∴∴ ∴∴ ②②DGAD BCACDGBC ADAC由由①②①②得，得，DFBC EFAC∴∴EF××BC＝＝AC××DF 2、证明：、证明： 过 P 作 PE⊥AC 于 E，PF⊥CB 于 F，则 CEPF 为矩形∴ PFEC ∵ ∴ ∽//45BAAEPRtPFBRt∴ ∵ EC=PF ∴ （1）PFPEPBAP::ECPE PFPE PBPA在和中：CP⊥MN 于 Q ∴ ECPCNM90QNCQCN又 ∵ ∴ 90QCMQCNCNQMCQ∴ ∽ ∴ 即 （2）PECRtMCNRtCNEC CMEPCNCM ECEP由（1） （2）得CNCM PBPA3、 方法一：方法一：如图（1） ，设 BC 中点为 E，连接 AE。

图（1）ABACBECEAE BCAECBDCCCBDCAEC   90oBC ACCD CEBC CEAC CDCEBCBCCA CD1 222方法二：方法二：如图（2） ，在 DA 上截取 DE=DC图（2）在△BED 与△BCD 中，BD CEBDEBDC DEDCBDBDBEDBCDBECCABACABCC        90o ABCBCEAC BCBC ECBCAC ECAC CD22方法三：方法三：如图（3） ，过 B 作 BE⊥BC 于 B，交 CA 的延长线于 E图（3）ABACCABCCEABCABEEABEABAEABACAEAC       9090oo易得Rt CBDRt CEBBCCD CECECABCCA CD  2 2 22。