考研试题分析九(重积分).pdf
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考研试题分析九（重积分）考研试题分析九（重积分） 例例 1．．(2005 年高数一) 设22222yxRzyxz−−=+=Ω与半球面是由锥面围成的空间区域，的整个边界的外侧，则 Ω∑是∫∫ ∑=++zdxdyydzdxxdydz [答案] 3R)22(π− [分析] 用 Gauss 公式和求空间物体体积，此题无其它技巧 [解答] 用 Gauss 公式得 ∫∫∫∫∫ ∑Ω=++dvzdxdyydzdxxdydz3 即 空 间 区 域体 积 的 三 倍 容 易 求 出 锥 面Ω22yxz+=与 半 球 面 222yxRz−−=的交线为 222)2(Ryx=+ 用柱坐标求积分， rdrrrRdzrdrddvRRrRr)(6332 022202 022 −−==∫∫∫∫∫∫∫ Ω−πθπ[]2032222 31)31 31(6RrRrrR−−−π= )22(3−π=R 例例 2．．(2005 年高数一) 设{}[]2222yx1,0y, 0x,2yx)y, x(D++≥≥≤+=表示不超过的最大整数，计算二重积分∫∫ 22yx1++++D22dxdy]yx1 [xy[分析] 由于含圆，所以用极坐标求解。
[解法 1] drrrddxdyyxxyD]1 [cossin]1 [22 0203224 +=++∫∫∫∫θθθπdrrrd]1 [cossin22 02034 +=∫∫π θθθ 1⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=∫∫4213103221drrdrr .83= [解法2 ] 记 {}0, 0, 1),(22 1≥≥0时，).(2)(tGtFπ> [分析] (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可. )(tF′[解] (1) 因为 ∫∫ ∫∫∫∫∫==ttttrdrrfdrrrfrdrrfddrrrfdd tF020222002200022)()(2)(sin)( )(πππθϕϕθ ， 202022])([)()()( 2)( rdrrfdrrtrrfttf tFtt∫∫− =′， 所以在上，故F(t) 在), 0(+∞0)(>′ tF), 0(+∞内单调增加. （2） 因 5∫∫=ttdrrfrdrrf tG0202)()( )(π ， 要证明t>0时)(2)(tGtFπ>，只需证明t>0时，0)(2)(>−tGtFπ，即 . 0])([)()( 00202222>−∫∫∫tttrdrrfdrrfdrrrf令 ， ∫∫∫−=tttrdrrfdrrfdrrrftg 00202222])([)()()(则 ，故g(t)在0)( )()()(2022>−=′∫drrtrftftgt), 0(+∞内单调增加. 因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0, 因此，当t>0时，).(2)(tGtFπ> 注：注： 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明： ， dxxgdxxfdxxgxfbababa∫∫∫⋅≤)()(])()([222在上式中取f(x)为rrf)(2，g(x)为)(2rf即可。
例例 7、、 （2005年高数三） 设∫∫+=DdyxI,cos22 1σ, ∫∫+=DdyxIσ)cos(22 2∫∫+=DdyxIσ222 3)cos(,其中{}则,1),(22≤+=yxyxD A、 B、 .123III>>.321III>>C、 D、 （ A ） .312III>>.213III>>[分析] 由重积分的性质：在区域上，如果D( , )( , )f x yg x y≤，则 ( , )( , )DDf x y dg x y dσσ≤∫∫∫∫， 来进行比较 [解] 在积分区域}{1),(22≤+=yxyxD 上有2222222(yxyxyx+≤+≤+） 6且等号仅在区域D的边界{}1),(22=+ yxyx 上成立，从而在积分区域D上有 2222222cos)cos()cos(yxyxyx+≥+≥+ 且等号也仅仅在区域D的边界{}1),(22=+ yxyx 上成立，此外，三个被积函数又都在区域D上连续，按二重积分的性质即得，故应选结论（A） 123III>>注 ：注 ：考虑D上，2222222cos)cos()cos(yxyxyx+≥+≥+，注意在 cosx⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡π∈2, 0x 上单调减少性即可。
另外，用到二重积分的性质 例例 8、、 （2001年高数一）交换二次积分的积分顺序 0112( , )ydyf x y dx−−∫∫= [分析] 这是一道基础题目，画出积分区域容易解答 [解] 画出积分区域，知道它是由三条直线：1xy+=，2x =，围成故 0y =01211210( , )( , )yxdyf x y dxdxf x y dy−−−=∫∫∫∫例例 9、、 （1994年高数一、二）设区域，则222{( , ):}Dx yxyR=+≤2222()Dxydxdyab+∫∫= [分析] 这是一道基础题目，最好用极坐标求解比较简单 [解] 2222222222200cossin()()RDxyrrdxdydrdababπθθθ+=+∫∫∫∫22 3 220Rabr dra bπ+=∫ 2222() 4abR a bπ+=4 例例 10、、 （1988年高数二）计算2414sinsin22xxxxxxdxdydxdyyyππ+∫∫∫∫ [分析] 由于sin2x yπ作为的函数其原函数不能用初等函数表示， 因此应该考虑交y7换积分顺序。
[解] 由于区域由直线Dyx=，2y =及抛物线y=x所围成，因此区域可以写成，故 D2{( , ):12,}Dx yyyxy=≤≤≤≤2414sinsinsin22xxxx Dxxdxdydxdydxdyyy2x yπππ+=∫∫∫∫∫∫221sin2yyxdydxyπ=∫∫212(cos)2yydyπ π=−∫38(12)π π=+。
