正五边形的画法.doc

[正五边形的画法]圆内接正五边形的画法如下:1、任作一圆 O2、任作圆 O 中互相垂直的两直径 AB、CD3、作 OD 的垂直平分线交 OD 于 E4、以 E 为圆心，EA 长为半径作弧，交 CD 于 F5、在圆 O 上顺序作弦 AG=GH=HM=MN=NA=AF则得正五边形 AGHMN已知边长作正五边形的近似画法如下:①作线段 AB 等于定长 l,并分别以 A,B 为圆心,已知长 l 为半径画弧与 AB 的中垂线交于 K.②以 K 为圆心，取 AB 的 2/3 长度为半径向外侧取 C 点，使 CK=2/3AB③以 C 为圆心,已知边长 AB 为半径画弧,分别与前两弧相交于 M,N.④顺次连接 A,B,N,C,M 各点即近似作得所要求的正五边形.正多边形的尺规作图是大家感兴趣的.正三边形很好做;正四边形稍难一点;正六边形也很好做;正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法.确实，有的困难一些，有的容易一些.正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢?人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易;一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来?数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的.人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来.这个悬案一直悬而未决两千余年.17 世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如Fi (i 为右下角标)=22i(底数 2 指数 2 的 i 次幂)+1 的数.费马的一个著名猜想是，当 n≥3 时，不定方程 xn+yn=zn 没有正整数解.现在他又猜测Fi 都是素数，对于 i=0，1，2，3，4 时，容易算出来相应的 Fi：F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65 537验证一下，这五个数的确是素数.F5=225+1 是否素数呢?仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了!F5 是两素数之积：F5=641×6 700 417.当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年?何以需要欧拉这样的人来解决问题?更奇怪的是，不仅 F5 不是素数，F6，F7 也不是素数，F8，F9，F10，F11 等还不是素数，甚至，对于 F14 也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道.至今，人们还只知 F0，F1，F2，F3，F4 这样 5 个数是素数.由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如 22i+1 的素数只有有限个.但对此也未能加以证明.当然，形如 Fi=22i+1 的素数被称为费马素数.由于素数分解的艰难，不仅对形如Fi=22i+1 的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个 Fi 也不是一件简单的事.更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现 F5 不是素数之后的 60 多年，一位德国数学家高斯，在他仅 20 岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正 n 边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k(2 的 k 次幂)或 2k×p1×p2×…×ps，(1，2…s 为右下角标)其中，p1，p2，…，ps 是费马素数.正 7 边形可否尺规作图呢?否!因为 7 是素数，但不是费马素数.倒是正 17 边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正 17 边形.根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正 257 边形.就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连.正 17 边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了 17 等分，其图形更觉完美、好看.高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正 17 边形图案.高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为 3 和 5 都是费马素数(3=F0，5=F1);对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正 11 边形、正 13 边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为 7、11、13 都不是费马素数;对于正 257 边形、正 65 537 边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的;此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢?因为 4=22，因为 6= 2· 3 而 3=F0. 费马数费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式： 其中 n 为非负整数。

若 2n + 1 是素数，可以得到 n 必须是 2 的幂若 n = ab，其中 1 2 是整数，则方程 x^n+y^n=z^n 没有满足 xyz≠0的整数解这个是不定方程，它已经由美国数学家外尔斯证明了(1995 年)，证明的过程相当艰深 2 2. .欧欧拉拉引入欧拉函数， 得到著名的欧拉定理 ——费马小定理推广； 研究了连分数展开问题；用解析方法证明了素数无限；讨论平方和问题及哥德巴赫猜想——加性数论内容 3 3. .高高斯斯被誉为“数学王子” 解决了正多边形尺规作图问题， 将它和费马数联系起来高斯的著作 《算术研究》提出了同余理论， 讨论了平方剩余问题，发现了二次互反律 高斯提出了著名的 素数定理（当时是猜想），研究了指标和估计问题 ——表示论的雏形素素数数定定理理定定理理定理描述素数 素数的大致分布情况 素数的出现规律一直困惑著数学家一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律可是总体地看，素数的个数竟然有规可循对正实数 x，定义 π(x)为不大于 x 的素数个数数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长以下是第一个这样的估计 π(x)≈x/ln x 其中 ln x 为 x 的自然对数。

上式的意思是当 x 趋近∞，π(x) 和 x/ln x 的比趋 近 1（注：该结果为 高斯所发现） 但这不表示它们的数值随着 x 增大而接近 下面是对 π(x)更好的估计： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，当 x 趋近∞ 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计，详见大 O 符号 下表比较了 π(x)，x/ln x 和 Li(x)： x π(x) π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x) x/π(x) 佩尔方程由费尔马提出，但后来欧拉误记为佩尔提出，并写入他的著作中后人多称佩尔方程沿续至今 设 d 是正整数，且 d 不含平方因子 下面的不定方程称为佩尔（ Pell）方程： x^2-dy^2=1 求正整数解 (x,y). 这是初等数论中最经典的内容之一 假设(x_0,y_0)是一个最小 解， 那么所有的解可写为 x_n+y_n*(d)^0.5=(x_0+y_0*(d)^0.5)^(n+1) 佩尔方程与 连分数，二次型，代数数域等等都有密切联系 在一般的函数域上，我们也有类似的佩尔方程， 它和向量丛的稳定性有着微妙的关系。

以上的公式就是 Pell 方程的一般形态 . 对于 当 n 为完全平方数时无解； 1. 首先构造一个系数矩阵 ,显然为了构造这个矩阵，我们需要先得到 下面方程的一个最小特解 (x,y>0) 利用 Euler 的算法 1: p[−1] ⇐ 1; p[−2] ⇐ 0 2: q[−1] ⇐ 0; q[−2] ⇐ 1 3: a[0] ⇐sqrt(n) 4: g[−1] ⇐ 0; h[−1] ⇐ 1 5: for i = 0 → ∞ do { 6: g[i] ⇐ −g[i−1] + a[i]h[i−1] 7: h[i] ⇐ （n−g[i]*g[i]） / h[i-1] 8: a[i+1] ⇐ floor( (g[i]+a[0]) / h[i] 9: p[i] ⇐ a[i]p[i−1] + p[i−2] 10: q[i] ⇐ a[i]q[i−1] + q[i−2] if( p[i]*p[i]-n*q[i]*q[i]=1 ) return (p[i],q[i]); }假设我们得到了以上方程的最小特解 : x0 y0 (x0,y0>0,并是最小的满足条件的解 ) C++程序求解佩尔方程： 。