芝罘区数学立体几何复习知识点汇总.docx

学习必备 欢迎下载芝罘区数学立体几何学问点汇总（全）1．平面平面的基本性质：把握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题；（1）. 证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点上，线在面内 ，推出点在面内） ， 这样可依据公理 2 证明这些点都在这两个平面的公共直线上；（2）. 证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线；（3）. 证共面问题一般先依据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合2. 空间直线 .（1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面 . 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内， 无公共点[ 注] ：①两条异面直线在同一平面内射影肯定是相交的两条直线 . （）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交③如直线 a、b 异面， a 平行于平面 ，b 与 的关系是相交、平行、在平面 内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点 .⑤在平面内射影是直线的图形肯定是直线 . （）（射影不肯定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，就斜线长相等 . （）（并非是从平面外一．点．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦ a,b是夹在两平行平面间的线段，如a b ，就 a, b的位置关系为相交或平行或异面 .⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平学习必备 欢迎下载面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线 . （不在任何一个平面内的两条直线）（2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线相互平行 .等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等；（直线与直线所成角[ 0 ,90 ] ）（向量与向量所成角[0 ,180 ]〕推论：假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等 .（3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度 .空间两条直线垂直的情形：相交（共面）垂直和异面垂直 .[ 注] ：l1 ,l 2 是异面直线， 就过 l1 , l 2 外一点 P，过点 P 且与 l1 ,l 2 都平行平面有一个或没有，但与l1 ,l 2 距离相等的点在同一平面内 . （ L 1 或 L 2 在这个做出的平面内不能叫 L 1 与 L 2 平行的平面）3. 直线与平面平行、直线与平面垂直 .（1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内 .（2）. 直线与平面平行判定定理：假如平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 . （“线线平行 线面平行”）[ 注] ：①直线 a 与平面 内一条直线平行，就 a ∥ . （）（平面外一条直线）②直线 a 与平面 内一条直线相交，就 a 与平面 相交. （）（平面外一条直线）③如直线 a 与平面 平行，就 内必存在很多条直线与 a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面， 那么另一条也平行于这个平面 . （ ）（可能在此平面内）⑤平行于同一个平面的两直线平行 . （）（两直线可能相交或者异面）⑥直线 l 与平面 、 所成角相等，就 ∥ . （）（ 、 可能相交）（3）. 直线和平面平行性质定理：假如一条直线和一个平面平行，经过这学习必备 欢迎下载条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 . （“线面平行 线线平行”）（4）. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只P有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .O a如 PA ⊥ ， a ⊥ AO ，得 a ⊥ PO （三垂线定理）， A三垂线定理的逆定理亦成立 .直线与平面垂直的判定定理一： 假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面 . （“线线垂直 线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二： 假如平行线中一条直线垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面 .性质：假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 .（ 5） a. 垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等， 射影较长的斜线段较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短 .[ 注] 垂线在平面的射影为一个点 . [ 一条直线在平面内的射影是一条直线 . （） ]b. 射影定理推论： 假如一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等， 那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上；4. 平面平行与平面垂直 .（1）. 空间两个平面的位置关系：相交、平行 .（2）. 平面平行判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 . （“线面平行 面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面相互平行； 平行于同一平面的两个平面平行.[ 注] ：一平面内的任始终线平行于另一平面 .（3）. 两个平面平行的性质定理：假如两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行 . （“面面平行 线线平行”）（4）. 两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，就两个平面垂直 .两个平面垂直判定二： 假如一条直线与一个平面垂直， 那么经过这条直线的平面学习必备 欢迎下载垂直于这个平面 . （“线面垂直 面面垂直”）注：假如两个二面角的平面分别对应相互垂直， 就两个二面角没有什么关系 .（5）. 两个平面垂直性质定理：假如两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面 .推论：假如两个相交平面都垂直于第三平面，就它们交线垂直于第三平面 . P简证：如图，在平面内过 O作 OA、OB分别垂直于l 1,l 2 ，B M A由于 PM, OA, PM, OB就 PMOA, PMθ OOB . 所以结论成立（6）. 两异面直线任意两点间的距离公式： l为锐角取减， 为钝角取加，综上，都取减就必有m2 n2 d 20, ）22mncos （（1）a. 最小角定理：coscos1 cos2 （ 1 为最小角，如图）b. 最小角定理的应用（∠ PBN为最小角）θ1θ θ2图2图1简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，肯定有 4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，肯定有 2 条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，肯定有 3 条或者 2 条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，肯定有 1 条或者没有 .5. 棱柱. 棱锥（1）. 棱柱.a. ①直棱柱侧面积： SCh （ C 为底面周长， h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面绽开图为矩形得出的 .②斜棱住侧面积： S C1l （ C1 是斜棱柱直截面周长， l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面绽开图为平行四边形得出的 .b.{ 四棱柱 } { 平行六面体 } { 直平行六面体 } { 长方体 } { 正四棱柱 } { 正方体}.{ 直四棱柱 } { 平行六面体 }={ 直平行六面体 }.四棱柱底 面 是 平行四边形平行六面体侧棱垂直底面直平行六面体底面是矩形长方体底面是正方形正四棱柱侧 面 与 底面边长相等正方体c. 棱柱具有的性质：学习必备 欢迎下载①棱柱的各个侧面都是平行四边形， 全部的侧棱都相等； 直棱柱的各．个．侧．面．都．是．矩．形．；正棱柱的各个侧面都是全等．的．矩．形．． .②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等．．多边形 .③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 .注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可估计是直棱柱 . （）（直棱柱不能保证底面是矩形 , 可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直 .d. 平行六面体：定理一：平．行．六．面．体．的．对．角．线．交．于．一．点． ，并且在交点处相互平分 .[ 注] ：四棱柱的对角线不肯定相交于一点 .定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和 .推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为 , , ，就cos2cos2cos2 1.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为 , , ，就cos2cos2cos2 2 .[ 注] ：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 . （）（斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形）②各侧面都是正方形的棱柱肯定是正棱柱 . （）（应是各侧面都是正方形的直 ．棱柱才行）③对角面都是全等的矩形的直四棱柱肯定是长方体 . （）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，如两条边相交，就应是充要条件）（2）. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[ 注] ：①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形 .②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V 棱柱Sh 3V 棱 柱 .a. ①正棱锥定义： 底面是正多边形； 顶点在底面的射影为底面正多边形的中学习必备 欢迎下载心.[ 注] ：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形 . （不是等边三角形）ii. 正四周体是各棱相等， 而正三棱锥是底面为正三角形， 侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论： 如一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形 （即侧棱相等）；底面为正多边形 .②正棱锥的侧面积： S1 Ch （底面周长为 C ，斜高为2h ）③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：为 ）S底S侧cos（侧面与底面成的二面角附：以知 c ⊥ l ， cos1a b ， 为二面角 a l b .1cS底 a就 S1a l ①， S22l b ②， cos2a b ③ ①②③得 S侧. l bcos注： S 为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法） .b. 棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高） .②正棱锥的高、 斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形， 正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形 .。